cmath --- 关于复数的数学函数


本模块提供了一些适用于复数的数学函数。 本模块中的函数接受整数、浮点数或复数作为参数。 它们也接受任意具有 __complex__()__float__() 方法的 Python 对象:这些方法分别用于将对象转换为复数或浮点数,然后再将函数应用于转换后的结果。

備註

对于涉及分支切割的函数,我们会有确定如何在切割本身上定义这些函数的问题。 根据 Kahan 的论文 "Branch cuts for complex elementary functions",以及 C99 的附录 G 和之后的 C 标准,我们使用零符号来区别分支切割的一侧和另一侧:对于沿实轴(一部分)的分支切割我们要看虚部的符号,而对于沿虚轴的分支切割我们则要看实部的符号。

例如,cmath.sqrt() 函数有一个沿着负实轴的分支切割。 参数 complex(-2.0, -0.0) 会被当作位于切支切割的 下方 来处理,因而将给出一个负虚轴上的结果。

>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
-1.4142135623730951j

但是参数 complex(-2.0, 0.0) 则会被当作是位于支割线的上方来处理:

>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
1.4142135623730951j

到极坐标和从极坐标的转换

使用 矩形坐标笛卡尔坐标 在内部存储 Python 复数 z。 这完全取决于它的 实部 z.real虚部 z.imag。 换句话说:

z == z.real + z.imag*1j

极坐标 提供了另一种复数的表示方法。在极坐标中,一个复数 z 由模量 r 和相位角 phi 来定义。模量 r 是从 z 到坐标原点的距离,而相位角 phi 是以弧度为单位的,逆时针的,从正X轴到连接原点和 z 的线段间夹角的角度。

下面的函数可用于原生直角坐标与极坐标的相互转换。

cmath.phase(x)

x 的相位 (或称 x参数) 作为一个浮点数返回。 phase(x) 等价于 math.atan2(x.imag, x.real)。 结果将位于 [-π, π] 范围内,且此操作的支割线将位于负实轴上。 结果的符号将与 x.imag 的符号相同,即使 x.imag 的值为零:

>>> phase(complex(-1.0, 0.0))
3.141592653589793
>>> phase(complex(-1.0, -0.0))
-3.141592653589793

備註

一个复数 x 的模数(绝对值)可以通过内置函数 abs() 计算。没有单独的 cmath 模块函数用于这个操作。

cmath.polar(x)

在极坐标中返回 x 的表达方式。返回一个数对 (r, phi)rx 的模数,phix 的相位角。 polar(x) 相当于 (abs(x), phase(x))

cmath.rect(r, phi)

通过极坐标的 rphi 返回复数 x。相当于 r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)

幂函数与对数函数

cmath.exp(x)

返回 ex 次方,e 是自然对数的底数。

cmath.log(x[, base])

返回 x 的以 base 为底的对数。 如果没有指定 base,则返回 x 的自然对数。 存在一条支割线,即沿着负实轴从 0 到 -∞。

cmath.log10(x)

返回底数为 10 的 x 的对数。它具有与 log() 相同的支割线。

cmath.sqrt(x)

返回 x 的平方根。 它具有与 log() 相同的支割线。

三角函数

cmath.acos(x)

返回 x 的反余弦。 存在两条支割线:一条沿着实轴从 1 到 ∞。 另一条沿着实轴从 -1 向左延伸到 -∞。

cmath.asin(x)

返回 x 的反正弦。它与 acos() 有相同的支割线。

cmath.atan(x)

返回 x 的反正切。 存在两条支割线:一条沿着虚轴从 1j 延伸到 ∞j。 另一条沿着虚轴从 -1j 延伸到 -∞j

cmath.cos(x)

返回 x 的余弦。

cmath.sin(x)

返回 x 的正弦。

cmath.tan(x)

返回 x 的正切。

双曲函数

cmath.acosh(x)

返回 x 的反双曲余弦。 存在一条支割线,沿着实轴从 1 向左延伸到 -∞。

cmath.asinh(x)

返回 x 的反双曲正弦。 存在两条支割线:一条沿着虚轴从 1j 延伸到 ∞j。 另一条沿着虚轴从 -1j 延伸到 -∞j

cmath.atanh(x)

返回 x 反双曲正切。 存在两条支割线:一条沿着实轴从 1 延伸到 。 另一条沿着实轴从 -1 延伸到 -∞

cmath.cosh(x)

返回 x 的双曲余弦值。

cmath.sinh(x)

返回 x 的双曲正弦值。

cmath.tanh(x)

返回 x 的双曲正切值。

分类函数

cmath.isfinite(x)

如果 x 的实部和虚部都是有限的,则返回 True,否则返回 False

在 3.2 版新加入.

cmath.isinf(x)

如果 x 的实部或者虚部是无穷大的,则返回 True,否则返回 False

cmath.isnan(x)

如果 x 的实部或者虚部是 NaN,则返回 True ,否则返回 False

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

ab 的值比较接近则返回 True,否则返回 False

根据给定的绝对和相对容差确定两个值是否被认为是接近的。

rel_tol 是相对容差 —— 它是 ab 之间允许的最大差值,相对于 ab 的较大绝对值。例如,要设置5%的容差,请传递 rel_tol=0.05 。默认容差为 1e-09,确保两个值在大约9位十进制数字内相同。 rel_tol 必须大于零。

abs_tol 是最小绝对容差 —— 对于接近零的比较很有用。 abs_tol 必须至少为零。

如果没有错误发生,结果将是: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)

IEEE 754特殊值 NaNinf-inf 将根据IEEE规则处理。具体来说, NaN 不被认为接近任何其他值,包括 NaNinf-inf 只被认为接近自己。

在 3.5 版新加入.

也參考

PEP 485 —— 用于测试近似相等的函数

常數

cmath.pi

数学常数 π ,作为一个浮点数。

cmath.e

数学常数 e ,作为一个浮点数。

cmath.tau

数学常数 τ ,作为一个浮点数。

在 3.6 版新加入.

cmath.inf

浮点正无穷大。相当于 float('inf')

在 3.6 版新加入.

cmath.infj

具有零实部和正无穷虚部的复数。相当于 complex(0.0, float('inf'))

在 3.6 版新加入.

cmath.nan

浮点“非数字”(NaN)值。相当于 float('nan')

在 3.6 版新加入.

cmath.nanj

具有零实部和 NaN 虚部的复数。相当于 complex(0.0, float('nan'))

在 3.6 版新加入.

请注意,函数的选择与模块 math 中的函数选择相似,但不完全相同。 拥有两个模块的原因是因为有些用户对复数不感兴趣,甚至根本不知道它们是什么。它们宁愿 math.sqrt(-1) 引发异常,也不想返回一个复数。 另请注意,被 cmath 定义的函数始终会返回一个复数,尽管答案可以表示为一个实数(在这种情况下,复数的虚数部分为零)。

关于支割线的注释:它们是沿着给定函数无法连续的曲线。它们是许多复变函数的必要特征。 假设您需要使用复变函数进行计算,您将会了解支割线的概念。 请参阅几乎所有关于复变函数的(不太基本)的书来获得启发。 对于如何正确地基于数值目的来选择支割线的相关信息,一个良好的参考如下:

也參考

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165--211.