cmath
--- 複數的數學函式¶
本模組提供一些適用於複數的數學函式。本模組中的函式接受整數、浮點數或複數作為引數。它們也接受任何具有 __complex__()
或 __float__()
方法的 Python 物件:這些方法分別用於將物件轉換為複數或浮點數,然後再將函式應用於轉換後的結果。
備註
對於涉及分枝切割 (branch cut) 的函式,我們面臨的問題是決定如何定義在切割本身上的這些函式。遵循 Kahan 的論文 "Branch cuts for complex elementary functions",以及 C99 的附錄 G 和後來的 C 標準,我們使用零符號來區分分枝切割的兩側:對於沿著(一部分)實數軸的分枝切割,我們查看虛部的符號,而對於沿虛軸的分枝切割,我們則查看實部的符號。
For example, the cmath.sqrt()
function has a branch cut along the
negative real axis. An argument of -2-0j
is treated as
though it lies below the branch cut, and so gives a result on the negative
imaginary axis:
>>> cmath.sqrt(-2-0j)
-1.4142135623730951j
But an argument of -2+0j
is treated as though it lies above
the branch cut:
>>> cmath.sqrt(-2+0j)
1.4142135623730951j
轉換到極座標和從極座標做轉換¶
Python 複數 z
是用 直角坐標 或 笛卡爾坐標 儲存在內部的。它完全是由其 實部 z.real
和 虛部 z.imag
所決定。
極座標 提供了另一種表示複數的方法。在極座標中,複數 z 由絕對值 (modulus) r 和相位角 (phase) phi 定義。絕對值 r 是從 z 到原點的距離,而相位角 phi 是從正 x 軸到連接原點到 z 的線段的逆時針角度(以弧度為單位)。
以下的函式可用於原始直角座標與極座標之間的相互轉換。
- cmath.phase(x)¶
以浮點數的形式回傳 x 的相位角(也稱為 x 的 引數 )。
phase(x)
等價於math.atan2(x.imag, x.real)
。結果將位於 [-π, π] 的範圍內,且此操作的分枝切割將位於負實軸上。結果的符號會與x.imag
的符號相同,即使x.imag
為零:>>> phase(-1+0j) 3.141592653589793 >>> phase(-1-0j) -3.141592653589793
- cmath.polar(x)¶
回傳 x 在極座標中的表達方式。回傳一組數對
(r, phi)
, r 是 x 的絕對值, phi 是 x 的相位角。polar(x)
相當於(abs(x), phase(x))
。
- cmath.rect(r, phi)¶
透過極座標 r 和 phi 回傳複數 x。相當於
complex(r * math.cos(phi), r * math.sin(phi))
。
冪函數和對數函數¶
- cmath.exp(x)¶
回傳 e 的 x 次方,其中 e 是自然對數的底數。
- cmath.log(x[, base])¶
回傳 x 給定 base 的對數。如果未指定 base,則傳回 x 的自然對數。存在一條分枝切割,從 0 沿負實數軸到 -∞。
三角函數¶
- cmath.acos(x)¶
回傳 x 的反餘弦值。存在兩條分枝切割:一條是從 1 沿著實數軸向右延伸到 ∞。另一條從 -1 沿實數軸向左延伸到 -∞。
- cmath.atan(x)¶
回傳 x 的反正切值。有兩條分枝切割:一條是從
1j
沿著虛軸延伸到∞j
。另一條從-1j
沿著虛軸延伸到-∞j
。
- cmath.cos(x)¶
回傳 x 的餘弦值。
- cmath.sin(x)¶
回傳 x 的正弦值。
- cmath.tan(x)¶
回傳 x 的正切值。
雙曲函數¶
- cmath.acosh(x)¶
回傳 x 的反雙曲餘弦值。存在一條分枝切割,從 1 沿實數軸向左延伸到 -∞。
- cmath.asinh(x)¶
回傳 x 的反雙曲正弦值。存在兩條分枝切割:一條是從
1j
沿著虛軸延伸到∞j
。另一條從-1j
沿著虛軸延伸到-∞j
。
- cmath.atanh(x)¶
回傳 x 的反雙曲正切值。存在兩條分枝切割:一條是從
1
沿著實數軸延伸到∞
。另一條從-1
沿著實數軸延伸到-∞
。
- cmath.cosh(x)¶
回傳 x 的反雙曲餘弦值。
- cmath.sinh(x)¶
回傳 x 的反雙曲正弦值。
- cmath.tanh(x)¶
回傳 x 的反雙曲正切值。
分類函式¶
- cmath.isfinite(x)¶
如果 x 的實部和虛部都是有限的,則回傳
True
,否則回傳False
。在 3.2 版被加入.
- cmath.isinf(x)¶
如果 x 的實部或虛部是無窮大,則回傳
True
,否則回傳False
。
- cmath.isnan(x)¶
如果 x 的實部或虛部為 NaN,則回傳
True
,否則回傳False
。
- cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)¶
如果 a 和 b 的值相互接近,則回傳
True
,否則回傳False
。兩數是否足夠接近取決於給定的絕對及相對容許偏差 (tolerance)。如果沒有錯誤發生,結果將為:
abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)
。rel_tol 為相對容許偏差 ── a 與 b 兩數差的最大容許值,與 a 及 b 兩數的絕對值中較大者相關。例如欲設置 5% 的容許偏差,則傳入
rel_tol=0.05
。其預設值為1e-09
,該值可確保兩數於大約 9 個十進數位內相同。rel_tol 須不為負且小於1.0
。abs_tol is the absolute tolerance; it defaults to
0.0
and it must be nonnegative. When comparingx
to0.0
,isclose(x, 0)
is computed asabs(x) <= rel_tol * abs(x)
, which isFalse
for anyx
and rel_tol less than1.0
. So add an appropriate positive abs_tol argument to the call.定義於 IEEE 754 浮點標準中的特殊值
NaN
、inf
和-inf
會根據該標準處理。更明確地說,NaN
不會與包含自身在內的任何數字足夠接近,而inf
及-inf
皆只與自身接近。在 3.5 版被加入.
也參考
PEP 485 ── 用於測試近似相等的函式
常數¶
- cmath.pi¶
數學常數 π,作為一個浮點數。
- cmath.e¶
數學常數 e,作為一個浮點數。
- cmath.tau¶
數學常數 τ,作為一個浮點數。
在 3.6 版被加入.
- cmath.inf¶
正無窮大的浮點數。相當於
float('inf')
。在 3.6 版被加入.
- cmath.infj¶
實部為零和虛部為正無窮的複數。相當於
complex(0.0, float('inf'))
。在 3.6 版被加入.
- cmath.nan¶
浮點「非數字」 (NaN) 值。相當於
float('nan')
。在 3.6 版被加入.
- cmath.nanj¶
實部為零和虛部為 NaN 的複數。相當於
complex(0.0, float('nan'))
。在 3.6 版被加入.
請注意,函式的選擇與模組 math
的類似,但並不完全相同。擁有兩個模組的原因是有些用戶對複數不感興趣,甚至根本就不知道它們是什麼。他們寧願讓 math.sqrt(-1)
引發異常,也不願它回傳複數。另請注意, cmath
中所定義的函式始終都會回傳複數,即使答案可以表示為實數(在這種情況下,複數的虛部為零)。
關於分枝切割的註釋:它們是沿著給定的不連續函式的曲線。它們是許多複變函數的必要特徵。假設你需要使用複變函數進行計算,你將會了解分枝切割的概念。請參閱幾乎所有關於複變函數的(不是太初級的)書籍以獲得啟發。對於如何正確地基於數值目的選擇分枝切割的相關訊息,以下內容應該是一個很好的參考:
也參考
Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165--211.