cmath --- 複數的數學函式¶
本模組提供一些適用於複數的數學函式。本模組中的函式接受整數、浮點數或複數作為引數。它們也接受任何具有 __complex__() 或 __float__() 方法的 Python 物件：這些方法分別用於將物件轉換為複數或浮點數，然後再將函式應用於轉換後的結果。
備註
對於涉及分枝切割 (branch cut) 的函式，我們面臨的問題是決定如何定義在切割本身上的這些函式。遵循 Kahan 的論文 "Branch cuts for complex elementary functions"，以及 C99 的附錄 G 和後來的 C 標準，我們使用零符號來區分分枝切割的兩側：對於沿著（一部分）實數軸的分枝切割，我們查看虛部的符號，而對於沿虛軸的分枝切割，我們則查看實部的符號。
例如 cmath.sqrt() 函式具有一條沿負實軸的分枝切割。 引數 complex(-2.0, -0.0) 被視為位於分枝切割 下方 處理，因此給出的結果在負虛軸上：
>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
-1.4142135623730951j
但是引數 complex(-2.0, 0.0) 會被當成位於分枝切割上方處理：
>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
1.4142135623730951j
轉換到極座標和從極座標做轉換¶
Python 複數 z 是用 直角坐標 或 笛卡爾坐標 儲存在內部的。它完全是由其 實部 z.real 和 虛部 z.imag 所決定。
極座標 提供了另一種表示複數的方法。在極座標中，複數 z 由絕對值 (modulus) r 和相位角 (phase) phi 定義。絕對值 r 是從 z 到原點的距離，而相位角 phi 是從正 x 軸到連接原點到 z 的線段的逆時針角度（以弧度為單位）。
以下的函式可用於原始直角座標與極座標之間的相互轉換。
- cmath.phase(x)¶
以浮點數的形式回傳 x 的相位角（也稱為 x 的 引數 ）。
phase(x)等價於math.atan2(x.imag, x.real)。結果將位於 [-π, π] 的範圍內，且此操作的分枝切割將位於負實軸上。結果的符號會與x.imag的符號相同，即使x.imag為零：>>> phase(complex(-1.0, 0.0)) 3.141592653589793 >>> phase(complex(-1.0, -0.0)) -3.141592653589793
- cmath.polar(x)¶
回傳 x 在極座標中的表達方式。回傳一組數對
(r, phi)， r 是 x 的絕對值， phi 是 x 的相位角。polar(x)相當於(abs(x), phase(x))。
- cmath.rect(r, phi)¶
透過極座標 r 和 phi 回傳複數 x。相當於
complex(r * math.cos(phi), r * math.sin(phi))。
冪函數和對數函數¶
- cmath.exp(x)¶
回傳 e 的 x 次方，其中 e 是自然對數的底數。
- cmath.log(x[, base])¶
回傳 x 給定 base 的對數。如果未指定 base，則傳回 x 的自然對數。存在一條分枝切割，從 0 沿負實數軸到 -∞。
三角函數¶
- cmath.acos(x)¶
回傳 x 的反餘弦值。存在兩條分枝切割：一條是從 1 沿著實數軸向右延伸到 ∞。另一條從 -1 沿實數軸向左延伸到 -∞。
- cmath.atan(x)¶
回傳 x 的反正切值。有兩條分枝切割：一條是從
1j沿著虛軸延伸到∞j。另一條從-1j沿著虛軸延伸到-∞j。
- cmath.cos(x)¶
回傳 x 的餘弦值。
- cmath.sin(x)¶
回傳 x 的正弦值。
- cmath.tan(x)¶
回傳 x 的正切值。
雙曲函數¶
- cmath.acosh(x)¶
回傳 x 的反雙曲餘弦值。存在一條分枝切割，從 1 沿實數軸向左延伸到 -∞。
- cmath.asinh(x)¶
回傳 x 的反雙曲正弦值。存在兩條分枝切割：一條是從
1j沿著虛軸延伸到∞j。另一條從-1j沿著虛軸延伸到-∞j。
- cmath.atanh(x)¶
回傳 x 的反雙曲正切值。存在兩條分枝切割：一條是從
1沿著實數軸延伸到∞。另一條從-1沿著實數軸延伸到-∞。
- cmath.cosh(x)¶
回傳 x 的反雙曲餘弦值。
- cmath.sinh(x)¶
回傳 x 的反雙曲正弦值。
- cmath.tanh(x)¶
回傳 x 的反雙曲正切值。
分類函式¶
- cmath.isfinite(x)¶
如果 x 的實部和虛部都是有限的，則回傳
True，否則回傳False。在 3.2 版被加入.
- cmath.isinf(x)¶
如果 x 的實部或虛部是無窮大，則回傳
True，否則回傳False。
- cmath.isnan(x)¶
如果 x 的實部或虛部為 NaN，則回傳
True，否則回傳False。
- cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)¶
如果 a 和 b 的值相互接近，則回傳
True，否則回傳False。Whether or not two values are considered close is determined according to given absolute and relative tolerances. If no errors occur, the result will be:
abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).rel_tol is the relative tolerance -- it is the maximum allowed difference between a and b, relative to the larger absolute value of a or b. For example, to set a tolerance of 5%, pass
rel_tol=0.05. The default tolerance is1e-09, which assures that the two values are the same within about 9 decimal digits. rel_tol must be nonnegative and less than1.0.abs_tol is the absolute tolerance; it defaults to
0.0and it must be nonnegative. When comparingxto0.0,isclose(x, 0)is computed asabs(x) <= rel_tol * abs(x), which isFalsefor anyxand rel_tol less than1.0. So add an appropriate positive abs_tol argument to the call.IEEE 754 特殊值
NaN、inf和-inf將會根據 IEEE 規則進行處理。具體來說，NaN不被認為接近任何其他值，包括NaN。inf和-inf只被認為是接近它們自己的。在 3.5 版被加入.
也參考
PEP 485 -- 一個用來測試近似相等的函式
常數¶
- cmath.pi¶
數學常數 π，作為一個浮點數。
- cmath.e¶
數學常數 e，作為一個浮點數。
- cmath.tau¶
數學常數 τ，作為一個浮點數。
在 3.6 版被加入.
- cmath.inf¶
正無窮大的浮點數。相當於
float('inf')。在 3.6 版被加入.
- cmath.infj¶
實部為零和虛部為正無窮的複數。相當於
complex(0.0, float('inf'))。在 3.6 版被加入.
- cmath.nan¶
浮點「非數字」 (NaN) 值。相當於
float('nan')。在 3.6 版被加入.
- cmath.nanj¶
實部為零和虛部為 NaN 的複數。相當於
complex(0.0, float('nan'))。在 3.6 版被加入.
請注意，函式的選擇與模組 math 的類似，但並不完全相同。擁有兩個模組的原因是有些用戶對複數不感興趣，甚至根本就不知道它們是什麼。他們寧願讓 math.sqrt(-1) 引發異常，也不願它回傳複數。另請注意， cmath 中所定義的函式始終都會回傳複數，即使答案可以表示為實數（在這種情況下，複數的虛部為零）。
關於分枝切割的註釋：它們是沿著給定的不連續函式的曲線。它們是許多複變函數的必要特徵。假設你需要使用複變函數進行計算，你將會了解分枝切割的概念。請參閱幾乎所有關於複變函數的（不是太初級的）書籍以獲得啟發。對於如何正確地基於數值目的選擇分枝切割的相關訊息，以下內容應該是一個很好的參考：
也參考
Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165--211.