math — Mathematical functions

---

Bu modül, C standardı tarafından tanımlanan matematiksel fonksiyonlara erişim sağlar.

Bu fonksiyonlar karmaşık sayılarla kullanılamaz; karmaşık sayılar için desteğe ihtiyacınız varsa cmath modülündeki aynı isimli fonksiyonları kullanın. Karmaşık sayıları destekleyen ve desteklemeyen fonksiyonlar arasındaki ayrım, çoğu kullanıcının karmaşık sayıları anlamak için gereken kadar matematik öğrenmek istememesi nedeniyle yapılmıştır. Karmaşık bir sonuç yerine bir istisna almak, parametre olarak kullanılan beklenmedik karmaşık sayının daha erken tespit edilmesini sağlar, böylece programcı ilk etapta nasıl ve neden üretildiğini belirleyebilir.

Aşağıdaki fonksiyonlar bu modül tarafından sağlanır. Aksi açıkça belirtilmedikçe, tüm dönüş değerleri floattır.

Sayı teorisi ve temsil fonksiyonları

math.ceil(x)

x’in tavanını, yani x’ten büyük veya ona eşit en küçük tamsayıyı döndürür. Eğer x bir float değilse, bir Integral değeri döndürmesi gereken x.__ceil__’e delege eder.

math.comb(n, k)

Tekrarlama ve sıralama olmaksızın n öğe arasından k öğeyi seçmenin yollarının sayısını döndürür.

n! / (k! * (n - k)!) değerini k <= n olduğunda verir ve k > n olduğunda sıfır olarak değerlendirir.

Binom katsayısı olarak da adlandırılır. Çünkü (1 + x)ⁿ polinom açılımındaki k. terimin katsayısına eşittir.

Herhangi bir argümanın tamsayı olmaması durumunda TypeError fırlatır. Herhangi bir argümanın negatif olması durumunda ValueError fırlatır.

Added in version 3.8.

math.copysign(x, y)

Büyüklüğü (mutlak değeri) x olan ancak işareti y olan bir ondalıklı sayı döndürür. İşaretli sıfırları destekleyen platformlarda, copysign(1.0, -0.0) -1.0 döndürür.

math.fabs(x)

x’in mutlak değerini döndürür.

math.factorial(n)

n faktöriyeli tamsayı olarak döndürür. n tamsayı değil veya negatifse ValueError fırlatır.

3.9 sürümünden beri kullanım dışı: Tam sayı değerlere sahip ondalıklı değerlerin kabul edilmesi (5.0 gibi) kullanımdan kaldırılmıştır.

math.floor(x)

x*’ten küçük veya ona eşit en büyük tamsayı olan x’in tabanını döndürür. Eğer x bir ondalıklı sayı değilse, bir Integral değeri döndürmesi gereken x.__floor__ değerini vermelidir.

math.fmod(x, y)

Return the floating-point remainder of x / y, as defined by the platform C library function fmod(x, y). Note that the Python expression x % y may not return the same result. The intent of the C standard is that fmod(x, y) be exactly (mathematically; to infinite precision) equal to x - n*y for some integer n such that the result has the same sign as x and magnitude less than abs(y). Python’s x % y returns a result with the sign of y instead, and may not be exactly computable for float arguments. For example, fmod(-1e-100, 1e100) is -1e-100, but the result of Python’s -1e-100 % 1e100 is 1e100-1e-100, which cannot be represented exactly as a float, and rounds to the surprising 1e100. For this reason, function fmod() is generally preferred when working with floats, while Python’s x % y is preferred when working with integers.

math.frexp(x)

x*’in mantissa ve üssünü (m, e) çifti olarak döndürür. m bir ondalıklı sayı ve e bir tamsayıdır, bu yüzden x == m * 2**e doğru olarak eşittir. Eğer x sıfır ise (0.0, 0), aksi takdirde 0.5 <= abs(m) < 1 döndürür. Bu, bir ondalıklı sayının iç temsilini taşınabilir bir şekilde “ayırmak” için kullanılır.

math.fsum(iterable)

Return an accurate floating-point sum of values in the iterable. Avoids loss of precision by tracking multiple intermediate partial sums.

Algoritmanın doğruluğu IEEE-754 aritmetik garantilerine ve yuvarlama modunun yarı-çift olduğu tipik duruma bağlıdır. Bazı Windows dışı yapılarda, temel C kütüphanesi genişletilmiş hassasiyetli toplama kullanır ve bazen bir ara toplamı çift yuvarlayarak en az anlamlı bitinde eksik olmasına neden olabilir.

For further discussion and two alternative approaches, see the ASPN cookbook recipes for accurate floating-point summation.

math.gcd(*integers)

Belirtilen tamsayı bağımsız değişkenlerinin en büyük ortak bölenini döndürür. Bağımsız değişkenlerden herhangi biri sıfır değilse, döndürülen değer tüm bağımsız değişkenlerin bölenleri olan en büyük pozitif tamsayıdır. Tüm bağımsız değişkenler sıfırsa, döndürülen değer 0 olur. bağımsız değişkenler olmadan gcd() fonksiyonu 0 değerini döndürür.

Added in version 3.5.

3.9 sürümünde değişti: İsteğe bağlı sayıda bağımsız değişken için destek eklendi. Önceden sadece iki argüman destekleniyordu.

math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

Eğer a ve b değerleri birbirine yakınsa True, değilse False döndürür.

Whether or not two values are considered close is determined according to given absolute and relative tolerances. If no errors occur, the result will be: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).

rel_tol is the relative tolerance – it is the maximum allowed difference between a and b, relative to the larger absolute value of a or b. For example, to set a tolerance of 5%, pass rel_tol=0.05. The default tolerance is 1e-09, which assures that the two values are the same within about 9 decimal digits. rel_tol must be nonnegative and less than 1.0.

abs_tol is the absolute tolerance; it defaults to 0.0 and it must be nonnegative. When comparing x to 0.0, isclose(x, 0) is computed as abs(x) <= rel_tol  * abs(x), which is False for any nonzero x and rel_tol less than 1.0. So add an appropriate positive abs_tol argument to the call.

IEEE 754 özel değerleri olan NaN, inf ve -inf IEEE kurallarına göre ele alınacaktır. Özellikle, NaN, NaN dahil olmak üzere başka hiçbir değere yakın kabul edilmez. inf ve -inf yalnızca kendilerine yakın kabul edilir.

Added in version 3.5.

Ayrıca bakınız

PEP 485 – Yaklaşık eşitliği test etmek için bir fonksiyon

math.isfinite(x)

Eğer x sonsuz bir değer ya da NaN ise True, aksi takdirde False döndürür. (0.0 sonlu olarak kabul edilir.)

Added in version 3.2.

math.isinf(x)

Eğer x pozitif veya negatif bir sonsuz ise True, aksi takdirde False döndürür.

math.isnan(x)

Eğer x bir NaN (sayı değil) ise True, aksi takdirde False döndürür.

math.isqrt(n)

Negatif olmayan n tamsayısının tamsayı karekökünü döndürür. Bu, n tam karekökünün tabanıdır veya eşdeğer olarak a² ≤ n olacak şekilde en büyük a tamsayısıdır.

Bazı uygulamalar için, n ≤ a² olacak şekilde en küçük a tamsayısına veya başka bir deyişle n’nin tam karekökünün tavanına sahip olmak daha uygun olabilir. Pozitif n için bu, a = 1 + isqrt(n - 1) kullanılarak hesaplanabilir.

Added in version 3.8.

math.lcm(*integers)

Belirtilen tamsayı bağımsız değişkenlerinin en küçük ortak katını döndürür. Tüm bağımsız değişkenler sıfır değilse, döndürülen değer tüm bağımsız değişkenlerin katı olan en küçük pozitif tamsayıdır. Bağımsız değişkenlerden herhangi biri sıfırsa, döndürülen değer 0 olur. Bağımsız değişkenler olmadan lcm() işlevi 1 değerini döndürür.

Added in version 3.9.

math.ldexp(x, i)

x * (2**i) döndürür. Bu aslında frexp() fonksiyonunun tersidir.

math.modf(x)

x*’in kesirli ve tamsayı kısımlarını döndürür. Her iki sonuç da x işaretini taşır ve kayan değerdir.

math.nextafter(x, y, steps=1)

Return the floating-point value steps steps after x towards y.

If x is equal to y, return y, unless steps is zero.

Örnekler:

• math.nextafter(x, math.inf) yukarı gider: pozitif sonsuza doğru.

• math.nextafter(x, -math.inf) aşağı iner: eksi sonsuza doğru.

• math.nextafter(x, 0.0) sıfıra doğru gider.

• math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x)) sıfırdan uzaklaşır.

Ayrıca bakınız math.ulp().

Added in version 3.9.

3.12 sürümünde değişti: Added the steps argument.

math.perm(n, k=None)

Tekrarlama olmadan ve sırayla n öğe arasından k öğeyi seçmenin yollarının sayısını döndürür.

n! / (k! * (n - k)!) değerini k <= n olduğunda verir ve k > n olduğunda sıfır olarak değerlendirir.

If k is not specified or is None, then k defaults to n and the function returns n!.

Herhangi bir argümanın tamsayı olmaması durumunda TypeError fırlatır. Herhangi bir argümanın negatif olması durumunda ValueError fırlatır.

Added in version 3.8.

math.prod(iterable, *, start=1)

Girdi iterable içindeki tüm elemanların çarpımını hesaplar. Çarpım için varsayılan başlangıç değeri 1 ‘dir.

Yinelenebilir boş olduğunda, başlangıç değerini döndürür. Bu fonksiyon özellikle sayısal değerlerle kullanılmak üzere tasarlanmıştır ve sayısal olmayan türleri reddedebilir.

Added in version 3.8.

math.remainder(x, y)

x*’in y’ye göre IEEE 754 tarzı kalanını döndürür. Sonlu x ve sonlu sıfır olmayan y için bu, x - n*y farkıdır; burada n, x / y bölümünün tam değerine en yakın tamsayıdır. Eğer x / y ardışık iki tamsayının tam ortası ise, n için en yakın çift tamsayı kullanılır. Kalan r = remainder(x, y) böylece her zaman abs(r) <= 0.5 * abs(y) sağlar.

Özel durumlar IEEE 754’ü takip eder: özellikle, remainder(x, math.inf) herhangi bir sonlu x için x’dir ve remainder(x, 0) ve remainder(math.inf, x) NaN olmayan herhangi bir x için ValueError yükseltir. Eğer kalan işleminin sonucu sıfır ise, bu sıfır x ile aynı işarete sahip olacaktır.

On platforms using IEEE 754 binary floating point, the result of this operation is always exactly representable: no rounding error is introduced.

Added in version 3.7.

math.sumprod(p, q)

Return the sum of products of values from two iterables p and q.

Raises ValueError if the inputs do not have the same length.

Kabaca şuna eşdeğerdir:

sum(itertools.starmap(operator.mul, zip(p, q, strict=True)))

For float and mixed int/float inputs, the intermediate products and sums are computed with extended precision.

Added in version 3.12.

math.trunc(x)

Kesirli kısmı çıkarılmış ve tamsayı kısmı bırakılmış x döndürür. Bu 0’a yuvarlanır: trunc() pozitif x için floor() ve negatif x için ceil() ile eşdeğerdir. Eğer x bir float değilse, bir Integral değeri döndürmesi gereken x.__trunc__’a delege eder.

math.ulp(x)

float x öğesinin en az anlamlı bitinin değerini döndürür:

• Eğer x bir NaN (sayı değil) ise True, aksi takdirde False döndürür.

• Eğer x negatif ise, ulp(-x) döndürür.

• Eğer x pozitif bir sonsuzluk ise, x değerini döndürür.

• Eğer x sıfıra eşitse, temsil edilebilir en küçük pozitif normalize floatı döndürür (minimum pozitif normalize floattan daha küçük, sys.float_info.min).

• Eğer x pozitif olarak temsil edilebilen en büyük float değerine eşitse, x değerinden küçük olan ilk float değeri x - ulp(x) olacak şekilde x değerinin en küçük anlamlı bitinin değerini döndürür.

• Aksi takdirde (x pozitif bir sonlu sayıdır), x’in en az anlamlı bitinin değerini döndürür, öyle ki x’ten büyük ilk float x + ulp(x) olur.

ULP, “Son Yerdeki Birim” anlamına gelmektedir.

Ayrıca bakınız math.nextafter() ve sys.float_info.epsilon.

Added in version 3.9.

frexp() ve modf()’un C’deki eşdeğerlerinden farklı bir çağrı/çağrı modeline sahip olduğuna dikkat edin: tek bir argüman alırlar ve ikinci dönüş değerlerini bir ‘çıktı parametresi’ aracılığıyla döndürmek yerine bir çift değer döndürürler (Python’da böyle bir şey yoktur).

ceil(), floor() ve modf() fonksiyonları için, yeterince büyük büyüklükteki tüm kayan noktalı sayıların tam tamsayı olduğunu unutmayın. Python kayan noktalı sayıları tipik olarak 53 bitten fazla hassasiyet taşımaz (C platformundaki double tipiyle aynıdır), bu durumda abs(x) >= 2**52 olan herhangi bir x kayan noktalı sayısı zorunlu olarak kesirli bitlere sahip değildir.

Güç ve logaritmik fonksiyonlar

math.cbrt(x)

x*’in küp kökünü döndürür.

Added in version 3.11.

math.exp(x)

e’yi x kuvvetine yükseltilmiş olarak döndürür, burada e = 2.718281… doğal logaritma tabanıdır. Bu genellikle math.e ** x veya pow(math.e, x) değerinden daha doğrudur.

math.exp2(x)

2’nin x kuvvetine yükseltilmiş halini döndürür.

Added in version 3.11.

math.expm1(x)

Return e raised to the power x, minus 1. Here e is the base of natural logarithms. For small floats x, the subtraction in exp(x) - 1 can result in a significant loss of precision; the expm1() function provides a way to compute this quantity to full precision:

>>> from math import exp, expm1
>>> exp(1e-5) - 1  # gives result accurate to 11 places
1.0000050000069649e-05
>>> expm1(1e-5)    # result accurate to full precision
1.0000050000166668e-05

Added in version 3.2.

math.log(x[, base])

Bir bağımsız değişkenle, x’in doğal logaritmasını döndürür (e tabanına göre).

İki bağımsız değişkenle, log(x)/log(taban) şeklinde hesaplanan x değerinin verilen taban değerine göre logaritmasını döndürür.

math.log1p(x)

1+x’in (e tabanı) doğal logaritmasını döndürür. Sonuç, sıfıra yakın x için doğru olacak şekilde hesaplanır.

math.log2(x)

x*’in 2 taban logaritmasını döndürür. Bu genellikle log(x, 2) değerinden daha doğrudur.

Added in version 3.3.

Ayrıca bakınız

int.bit_length(), işaret ve baştaki sıfırlar hariç olmak üzere, bir tamsayıyı ikili olarak temsil etmek için gerekli bit sayısını döndürür.

math.log10(x)

x ‘in 10 tabanında logaritmasını döndürür. Bu genellikle log(x, 10) ‘dan daha doğrudur.

math.pow(x, y)

x`in y kuvvetine yükseltilmiş halini döndürür. İstisnai durumlar mümkün olduğunca IEEE 754 standardını takip eder. Özellikle, pow(1.0, x) ve pow(x, 0.0), x sıfır veya NaN olsa bile her zaman 1.0 döndürür. Eğer hem x hem de y sonlu ise, x negatif ise ve y bir tamsayı değilse, pow(x, y) tanımsızdır ve ValueError yükseltir.

Yerleşik ** operatörünün aksine, math.pow() her iki argümanını da float türüne dönüştürür. Tam sayı kuvvetlerini hesaplamak için ** veya yerleşik pow() fonksiyonunu kullanın.

3.11 sürümünde değişti: Özel durumlar pow(0.0, -inf) ve pow(-0.0, -inf), IEEE 754 ile tutarlılık için ValueError` yükseltmek yerine inf döndürmek üzere değiştirildi.

math.sqrt(x)

x’in karekökünü döndürür.

Trigonometrik fonksiyonlar

math.acos(x)

Radyan cinsinden x’in yay kosinüsünü döndürür. Sonuç 0 ile pi arasındadır.

math.asin(x)

Radyan cinsinden x’in yay sinüsünü döndürür. Sonuç -pi/2 ile pi/2 arasındadır.

math.atan(x)

Radyan cinsinden x’in yay tanjantını döndürür. Sonuç -pi/2 ile pi/2 arasındadır.

math.atan2(y, x)

Radyan cinsinden atan(y / x) döndürür. Sonuç -pi ile pi arasındadır. Düzlemde orijinden (x, y) noktasına kadar olan vektör, pozitif X ekseni ile bu açıyı yapar. atan2() ‘nin amacı, her iki girdinin de işaretlerinin bilinmesidir, böylece açı için doğru kadranı hesaplayabilir. Örneğin, atan(1) ve atan2(1, 1) her ikisi de pi/4 ‘tür, ancak atan2(-1, -1) ise -3*pi/4 ‘tür.

math.cos(x)

x radyanın kosinüsünü döndürür.

math.dist(p, q)

Her biri bir koordinat dizisi (veya yinelenebilir) olarak verilen iki p ve q noktası arasındaki Öklid mesafesini döndürür. İki nokta aynı boyuta sahip olmalıdır.

Kabaca şuna eşdeğerdir:

sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))

Added in version 3.8.

math.hypot(*coordinates)

Öklid normunu döndürür, sqrt(sum(x**2 for x in coordinates)). Bu, vektörün orijinden koordinatlar tarafından verilen noktaya olan uzunluğudur.

İki boyutlu bir (x, y) noktası için bu, Pisagor teoremi sqrt(x*x + y*y) kullanılarak bir dik üçgenin hipotenüsünün hesaplanmasına eşdeğerdir.

3.8 sürümünde değişti: n boyutlu noktalar için destek eklendi. Önceden sadece iki boyutlu durum destekleniyordu.

3.10 sürümünde değişti: Algoritmanın doğruluğu, maksimum hata 1 ulp’nin (son sıradaki birim) altında olacak şekilde geliştirildi. Daha tipik olarak, sonuç neredeyse her zaman 1/2 ulp içinde doğru şekilde yuvarlanır.

math.sin(x)

x radyanın sinüsünü döndürür.

math.tan(x)

x radyanın tanjantını döndürür.

Açısal dönüşüm

math.degrees(x)

Açıyı x radyandan dereceye dönüştürür.

math.radians(x)

Açıyı x dereceden radyana dönüştürür.

Hiberbolik fonksiyonlar

Hyperbolic functions are analogs of trigonometric functions that are based on hyperbolas instead of circles.

math.acosh(x)

x’in ters hiperbolik kosinüsünü döndürür.

math.asinh(x)

x’in ters hiperbolik sinüsünü döndürür.

math.atanh(x)

x’in ters hiperbolik tanjantını döndürür.

math.cosh(x)

x’in hiperbolik kosinüsünü döndürür.

math.sinh(x)

x’in hiperbolik sinüsünü döndürür.

math.tanh(x)

x’in hiperbolik tanjantını döndürür.

Özel fonksiyonlar

math.erf(x)

x adresindeki hata fonksiyonunu döndürür.

The erf() function can be used to compute traditional statistical functions such as the cumulative standard normal distribution:

def phi(x):
    'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
    return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

Added in version 3.2.

math.erfc(x)

x ‘de tamamlayıcı hata fonksiyonunu döndürür. Tamamlayıcı hata fonksiyonu 1.0 - erf(x) olarak tanımlanır. Birbirinden çıkarmanın anlamlılık kaybına neden olacağı büyük x değerleri için kullanılır.

Added in version 3.2.

math.gamma(x)

x adresindeki Gamma fonksiyonunu döndürür.

Added in version 3.2.

math.lgamma(x)

Gama fonksiyonunun x’deki mutlak değerinin doğal logaritmasını döndürür.

Added in version 3.2.

Sabitler

math.pi

Matematiksel sabit π = 3.141592…, mevcut hassasiyete göre.

math.e

Matematiksel sabit e = 2,718281…, mevcut hassasiyete göre.

math.tau

Matematiksel sabit τ = 6.283185…, mevcut hassasiyete göre. Tau, bir dairenin çevresinin yarıçapına oranı olan 2π’ye eşit bir daire sabitidir. Tau hakkında daha fazla bilgi edinmek için Vi Hart’ın Pi (hala) Yanlış videosuna göz atın ve Tau gününü iki kat daha fazla turta yiyerek kutlamaya başlayın!

Added in version 3.6.

math.inf

Bir kayan noktalı pozitif sonsuzluk. (Negatif sonsuzluk için -math.inf kullanın.) float('inf') çıktısına eşdeğerdir.

Added in version 3.5.

math.nan

A floating-point “not a number” (NaN) value. Equivalent to the output of float('nan'). Due to the requirements of the IEEE-754 standard, math.nan and float('nan') are not considered to equal to any other numeric value, including themselves. To check whether a number is a NaN, use the isnan() function to test for NaNs instead of is or ==. Example:

>>> import math
>>> math.nan == math.nan
False
>>> float('nan') == float('nan')
False
>>> math.isnan(math.nan)
True
>>> math.isnan(float('nan'))
True

Added in version 3.5.

3.11 sürümünde değişti: Artık her zaman kullanılabilir.

math modülü çoğunlukla platform C matematik kütüphanesi fonksiyonları etrafındaki ince sarmalayıcılardan oluşur. İstisnai durumlarda davranış, uygun olan yerlerde C99 standardının Ek F’sini takip eder. Mevcut uygulama, sqrt(-1.0) veya log(0.0) gibi geçersiz işlemler için :exc:ValueError (C99 Annex F geçersiz işlem veya sıfıra bölme sinyalini önerir) ve taşan sonuçlar için OverflowError (örneğin, exp(1000.0)) yükseltir. Girdi argümanlarından biri veya daha fazlası NaN olmadığı sürece yukarıdaki fonksiyonların hiçbirinden NaN döndürülmeyecektir; bu durumda, çoğu fonksiyon bir NaN döndürecektir, ancak (yine C99 Ek F’yi takip ederek) bu kuralın bazı istisnaları vardır, örneğin pow(float('nan'), 0.0) veya hypot(float('nan'), float('inf')).

Python’un sinyal veren NaN’ları sessiz NaN’lardan ayırt etmek için hiçbir çaba göstermediğini ve sinyal veren NaN’lar için davranışın belirtilmediğini unutmayın. Tipik davranış, tüm NaN’lara sessizmiş gibi davranmaktır.

Ayrıca bakınız

Modül cmath

Bu fonksiyonların çoğunun karmaşık sayı versiyonları.