statistics — Funções estatísticas

Novo na versão 3.4.

Código-fonte: Lib/statistics.py

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Esse módulo fornece funções para o cálculo de estatísticas matemáticas de dados numéricos (para valores do tipo Real).

O módulo não tem a intenção de competir com bibliotecas de terceiros como NumPy, SciPy, ou pacotes proprietários de estatísticas com todos os recursos destinados a estatísticos profissionais como Minitab, SAS e Matlab. Ela destina-se ao nível de calculadoras gráficas e científicas.

A menos que seja explicitamente indicado, essas funções suportam int, float, Decimal e Fraction. O uso com outros tipos (sejam numéricos ou não) não é atualmente suportado. Coleções com uma mistura de tipos também são indefinidas e dependentes da implementação. Se os seus dados de entrada consistem de tipos misturados, você pode usar map() para garantir um resultado consistente, por exemplo map(float, dado_entrada).

Médias e medidas de valor central

Essas funções calculam a média ou o valor típico de uma população ou amostra.

mean()	Média aritmética dos dados.
fmean()	Média arimética de ponto flutuante rápida.
geometric_mean()	Média geométrica dos dados.
harmonic_mean()	Média harmônica dos dados.
median()	Mediana (valor do meio) dos dados.
median_low()	Mediana inferior dos dados.
median_high()	Mediana superior dos dados.
median_grouped()	Mediana, ou o 50º percentil dos dados agrupados.
mode()	Moda (valor mais comum) de dados discretos ou nominais.
multimode()	Lista de modas (valores mais comuns) de dados discretos ou nominais.
quantiles()	Divide os dados em intervalos com probabilidade igual.

Medidas de espalhamento

Essas funções calculam o quanto a população ou amostra tendem a desviar dos valores típicos ou médios.

pstdev()	Desvio padrão populacional dos dados.
pvariance()	Variância populacional dos dados.
stdev()	Desvio padrão amostral dos dados.
variance()	Variância amostral dos dados.

Detalhes das funções

Nota: as funções não exigem que os dados estejam ordenados. No entanto, para conveniência do leitor, a maioria dos exemplos mostrará sequências ordenadas.

statistics.mean(data)

Retorna a média aritmética amostral de data que pode ser uma sequência ou iterável.

A média aritmética é a soma dos dados dividida pela quantidade de dados. É comumente chamada apenas de “média”, apesar de ser uma das diversas médias matemáticas. Ela representa uma medida da localização central dos dados.

Se data for vazio, uma exceção do tipo StatisticsError será levantada.

Alguns exemplos de uso:

>>> mean([1, 2, 3, 4, 4])
2.8
>>> mean([-1.0, 2.5, 3.25, 5.75])
2.625

>>> from fractions import Fraction as F
>>> mean([F(3, 7), F(1, 21), F(5, 3), F(1, 3)])
Fraction(13, 21)

>>> from decimal import Decimal as D
>>> mean([D("0.5"), D("0.75"), D("0.625"), D("0.375")])
Decimal('0.5625')

Nota

The mean is strongly affected by outliers and is not necessarily a typical example of the data points. For a more robust, although less efficient, measure of central tendency, see median().

A média amostral fornece uma estimativa não enviesada da média populacional verdadeira, ou seja, quando a média é obtida para todas as possíveis amostras, mean(sample) converge para a média verdadeira de toda população. Se data representa toda população ao invés de uma amostra, então mean(data) é equivalente a calcular a verdadeira média populacional μ.

statistics.fmean(data)

Converte valores em data para ponto flutuante e calcula a média aritmética.

Essa função executa mais rapidamente do que a função mean() e sempre retorna um float. data pode ser uma sequência ou iterável. Se o conjunto de dados de entrada estiver vazio, levanta uma exceção StatisticsError.

>>> fmean([3.5, 4.0, 5.25])
4.25

Novo na versão 3.8.

statistics.geometric_mean(data)

Converte valores em data para ponto flutuante e calcula a média geométrica.

A média geométrica indica a tendência central ou valor típico de data usando o produto dos valores (em oposição à média aritmética que usa a soma deles).

Levanta uma exceção StatisticsError se a entrada do conjunto de dados for vazia, contiver um zero ou um valor negativo. data pode ser uma sequência ou iterável.

Nenhum esforço especial é feito para alcançar resultados exatos. (Mas, isso pode mudar no futuro).

>>> round(geometric_mean([54, 24, 36]), 1)
36.0

Novo na versão 3.8.

statistics.harmonic_mean(data)

Retorna a média harmônica de data, uma sequência ou iterável de números reais.

A média harmônica, às vezes chamada de média subcontrária, é a recíproca da média arimética calculada pela função mean() dos recíprocos dos dados. Por exemplo, a média harmônica de três valores a, b e c será equivalente a 3/(1/a + 1/b + 1/c). Se um dos valores for zero, o resultado também será zero.

A média harmônica é um tipo de média, uma medida de localização central dos dados. Ela é geralmente apropriada quando se está calculando a média de taxas ou razões, por exemplo velocidades.

Suponha que um carro viaje 10 km a 40 km/h, e em seguida viaje mais 10 km a 60 km/h. Qual é a velocidade média?

>>> harmonic_mean([40, 60])
48.0

Suponha que um investidor compre um valor igual de ações em cada uma de três companhias diferentes com uma razão P/L (preço/lucro) de 2,5, 3 e 10. Qual é a razão P/L média da carteira de investimentos desse investidor?

>>> harmonic_mean([2.5, 3, 10])  # For an equal investment portfolio.
3.6

StatisticsError é levantada se data for vazio ou se qualquer elemento for menor que zero.

O algoritmo atual tem uma saída antecipada quando encontra um zero na entrada. Isso significa que as entradas subsequentes não tem a validade testada. (Esse comportamento pode mudar no futuro.)

Novo na versão 3.6.

statistics.median(data)

Retorna a mediana (o valor do meio) de dados numéricos, usando o método comum de “média entre os dois do meio”. Se data for vazio, é levantada uma exceção StatisticsError. data pode ser uma sequência ou um iterável.

A mediana é uma medida robusta de localização central e é menos afetada por valores discrepantes. Quando a quantidade de pontos de dados for ímpar, o valor de meio é retornado:

>>> median([1, 3, 5])
3

Quando o número de elementos for par, a mediana é calculada tomando-se a média entre os dois valores no meio:

>>> median([1, 3, 5, 7])
4.0

Isso serve quando seus dados forem discretos e você não se importa que a média possa não ser um valor que de fato ocorre nos seus dados.

Caso os dados sejam ordinais (oferecem suporte para operações de ordenação) mas não são numéricos (não oferecem suporte para adição), considere usar a função median_low() ou median_high() no lugar.

statistics.median_low(data)

Retorna a mediana inferior de dados numéricos. Se data for vazio, a exceção StatisticsError é levantada. data pode ser uma sequência ou um iterável.

A mediana inferior sempre é um membro do conjunto de dados. Quando o número de elementos for ímpar, o valor intermediário é retornado. Se houver um número par de elementos, o menor entre os dois valores centrais é retornado.

>>> median_low([1, 3, 5])
3
>>> median_low([1, 3, 5, 7])
3

Use a mediana inferior caso seus dados forem discretos e você prefira que a mediana seja um valor que de fato existe nos seus dados ao invés de um valor interpolado.

statistics.median_high(data)

Retorna a mediana superior de dados numéricos. Se data for vazio, a exceção StatisticsError é levantada. data pode ser uma sequência ou um iterável.

A mediana superior sempre é um membro do conjunto de dados. Quando o número de elementos for ímpar, o valor intermediário é retornado. Se houver um número par de elementos, o maior entre os dois valores centrais é retornado.

>>> median_high([1, 3, 5])
3
>>> median_high([1, 3, 5, 7])
5

Use a mediana superior caso seus dados forem discretos e você prefira que a mediana seja um valor que de fato existe nos seus dados ao invés de um valor interpolado.

statistics.median_grouped(data, interval=1)

Retorna a mediana de dados contínuos agrupados, calculada como o 50º percentil, usando interpolação. Se data for vazio, a exceção StatisticsError é levantada. data pode ser uma sequência ou um iterável.

>>> median_grouped([52, 52, 53, 54])
52.5

No exemplo a seguir, os dados estão arredondados de forma que cada valor representa o ponto intermediário de classes de dados. Isto é, 1 é o meio da classe 0.5–1.5, 2 é o meio de 1.5–2.5, 3 é o meio de 2.5–3.5, etc. Com os dados oferecidos, o valor do meio cai em algum ponto na classe 3.5–4.5 e interpolação é usada para estimá-lo:

>>> median_grouped([1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5])
3.7

O argumento opcional interval representa o intervalo da classe e tem como valor padrão 1. Mudar o intervalo da classe irá mudar a interpolação:

>>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=1)
3.25
>>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=2)
3.5

Essa função não checa se os pontos de dados estão separados por uma distância que seja maior ou igual a interval.

CPython implementation detail: Em algumas circunstâncias median_grouped() pode converter os pontos de dados para pontos flutuantes. Esse comportamento provavelmente irá mudar no futuro.

Ver também

• “Statistics for the Behavioral Sciences”, Frederick J Gravetter and Larry B Wallnau (8th Edition).

• A função SSMEDIAN na planilha Gnome Gnumeric, incluindo essa discussão.

statistics.mode(data)

Retorna o valor mais comum dos dados discretos ou nominais em data. A moda (quando existe) é o valor mais típico e serve como uma medida de localização central.

Se existirem múltiplas modas com a mesma frequência, retorna a primeira encontrada em data. Se ao invés disso se desejar a menor ou a maior dentre elas, use min(multimode(data)) ou max(multimode(data)). Se a entrada data é vazia, a exceção StatisticsError é levantada.

mode assume que os dados são discretos e retorna um único valor. Esse é o tratamento padrão do conceito de moda normalmente ensinado nas escolas:

>>> mode([1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4])
3

A moda é única no sentido que é a única medida estatística nesse módulo que também se aplica a dados nominais (não-numéricos):

>>> mode(["red", "blue", "blue", "red", "green", "red", "red"])
'red'

Alterado na versão 3.8: Agora lida com conjunto de dados multimodais retornando a primeira moda encontrada. Anteriormente, ela levantava a exceção StatisticsError quando mais do que uma moda era encontrada.

statistics.multimode(data)

Retorna uma lista dos valores mais frequentes na ordem em que eles foram encontrados em data. Irá retornar mais do que um resultado se houver múltiplas modas ou uma lista vazia se data for vazio.

>>> multimode('aabbbbccddddeeffffgg')
['b', 'd', 'f']
>>> multimode('')
[]

Novo na versão 3.8.

statistics.pstdev(data, mu=None)

Retorna o desvio padrão populacional (a raiz quadrada da variância populacional). Veja os argumentos e outros detalhes em pvariance().

>>> pstdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
0.986893273527251

statistics.pvariance(data, mu=None)

Retorna a variância populacional de data, que deve ser uma sequência ou iterável não-vazio de números reais. A variância, o segundo momento estatístico a partir da média, é uma medida da variabilidade (espalhamento ou dispersão) dos dados. Uma variância grande indica que os dados são espalhados; uma variância menor indica que os dados estão agrupado em volta da média.

Se o segundo argumento opcional mu for dado, ele é tipicamente a média de data. Ele também pode ser usado para calcular o segundo momento em volta de um ponto que não é a média. Se ele não estiver presente ou for None (o padrão), a média aritmética será automaticamente calculada.

Use essa função para calcular a variância de toda a população. Para estimar a variância de uma amostra, a função variance() costuma ser uma escolha melhor.

Levanta StatisticsError se data for vazio.

Exemplos:

>>> data = [0.0, 0.25, 0.25, 1.25, 1.5, 1.75, 2.75, 3.25]
>>> pvariance(data)
1.25

Se você já calculou a média dos seus dados, você pode passar o valor no segundo argumento opcional mu para evitar recálculos:

>>> mu = mean(data)
>>> pvariance(data, mu)
1.25

Decimais e frações são suportadas:

>>> from decimal import Decimal as D
>>> pvariance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
Decimal('24.815')

>>> from fractions import Fraction as F
>>> pvariance([F(1, 4), F(5, 4), F(1, 2)])
Fraction(13, 72)

Nota

Quando os dados de entrada representarem toda a população, ele retorna a variância populacional σ². Se em vez disso, amostras forem usadas, então a variância amostral enviesada s², também conhecida como variância com N graus de liberdade é retornada.

Se de alguma forma você souber a verdadeira média populacional μ, você pode usar essa função para calcular a variância de uma amostra, fornecendo a média populacional conhecida como segundo argumento. Caso seja fornecido um conjunto de amostras aleatórias da população, o resultado será um estimador não enviesado da variância populacional.

statistics.stdev(data, xbar=None)

Retorna o desvio padrão amostral (a raiz quadrada da variância amostral). Veja variance() para argumentos e outros detalhes.

>>> stdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
1.0810874155219827

statistics.variance(data, xbar=None)

Retorna a variância amostral de data, que deve ser um iterável com pelo menos dois números reais. Variância, ou o segundo momento estatístico a partir da média, é uma medida de variabilidade (espalhamento ou dispersão) dos dados. Uma variância grande indica que os dados são espalhados, uma variância menor indica que os dados estão agrupados em volta da média.

Se o segundo argumento opcional xbar for dado, ele deve representar a média de data. Se ele não estiver presente ou for None (valor padrão), a média é automaticamente calculada.

Use essa função quando seus dados representarem uma amostra da população. Para calcular a variância de toda população veja pvariance().

Levanta a exceção StatisticsError se data tiver menos do que dois valores.

Exemplos:

>>> data = [2.75, 1.75, 1.25, 0.25, 0.5, 1.25, 3.5]
>>> variance(data)
1.3720238095238095

Se você já calculou a média dos seus dados, você pode passar o valor no segundo argumento opcional xbar para evitar recálculos:

>>> m = mean(data)
>>> variance(data, m)
1.3720238095238095

Essa função não verifica se você passou a média verdadeira como xbar. Usar valores arbitrários para xbar pode levar a resultados inválidos ou impossíveis.

Decimais e frações são suportados.

>>> from decimal import Decimal as D
>>> variance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
Decimal('31.01875')

>>> from fractions import Fraction as F
>>> variance([F(1, 6), F(1, 2), F(5, 3)])
Fraction(67, 108)

Nota

Essa é a variância amostral s² com a correção de Bessel, também conhecida como variância com N-1 graus de liberdade. Desde que os pontos de dados sejam representativos (por exemplo, independentes e distribuídos de forma idêntica), o resultado deve ser uma estimativa não enviesada da verdadeira variação populacional.

Caso você de alguma forma saiba a verdadeira média populacional μ você deveria passar para a função pvariance() como o parâmetro mu para obter a variância da amostra.

statistics.quantiles(data, *, n=4, method='exclusive')

Divide data em n intervalos contínuos com igual probabilidade. Retorna uma lista de n - 1 pontos de corte separando os intervalos.

Defina n como 4 para quartis (o padrão). Defina n como 10 para decis. Defina n como 100 para percentis, o que fornece os 99 pontos de corte que separam data em 100 grupos de tamanhos iguais. Levanta a exceção StatisticsError se n não for pelo menos 1.

data pode ser qualquer iterável contendo dados amostrais. Para resultados significativos, a quantidade de dados em data deve ser maior do que n. Levanta a exceção StatisticsError se não houver pelo menos dois pontos de dados.

Os pontos de corte são linearmente interpolados a partir dos dois pontos mais próximos. Por exemplo, se um ponto de corte cair em um terço da distância entre dois valores, 100 e 112, o ponto de corte será avaliado como 104.

O method para computar quantis pode variar dependendo se data incluir ou excluir os menores e maiores valores possíveis da população.

O valor padrão do parâmetro method é “exclusive” e é usado para dados amostrados de uma população que pode ter valores mais extremos do que os encontrados nas amostras. A porção da população que fica abaixo do i-ésimo item de m pontos ordenados é calculada como i / (m + 1). Dados nove valores, o método os ordena e atribui a eles os seguintes percentis: 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%.

Definimos o parâmetro method para “inclusive” para descrever dados da população ou para amostras que são conhecidas por incluir os valores mais extremos da população. O mínimo valor em data é tratado como o percentil 0 e o máximo valor é tratado como percentil 100. A porção da população que fica abaixo do i-ésimo item de m pontos ordenados é calculada como (i - 1) / (m - 1). Dados 11 valores, o método os ordena e atribui a eles os seguintes percentis: 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 100%.

# Decile cut points for empirically sampled data
>>> data = [105, 129, 87, 86, 111, 111, 89, 81, 108, 92, 110,
...         100, 75, 105, 103, 109, 76, 119, 99, 91, 103, 129,
...         106, 101, 84, 111, 74, 87, 86, 103, 103, 106, 86,
...         111, 75, 87, 102, 121, 111, 88, 89, 101, 106, 95,
...         103, 107, 101, 81, 109, 104]
>>> [round(q, 1) for q in quantiles(data, n=10)]
[81.0, 86.2, 89.0, 99.4, 102.5, 103.6, 106.0, 109.8, 111.0]

Novo na versão 3.8.

Exceções

Uma única exceção é definida:

exception statistics.StatisticsError

Subclasse de ValueError para exceções relacionadas a estatísticas.

Objetos NormalDist

NormalDist é uma ferramenta para criar e manipular distribuições normais de uma variável aleatória. É uma classe que trata a média e o desvio padrão das medições de dados como uma entidade única.

Distribuições normais surgem do Teorema Central do Limite e possuem uma gama de aplicações em estatísticas.

class statistics.NormalDist(mu=0.0, sigma=1.0)

Retorna um novo objeto NormalDist onde mu representa a média aritmética e sigma representa o desvio padrão.

Se sigma for negativo, levanta a exceção StatisticsError.

mean

Uma propriedade somente leitura para a média aritmética de uma distribuição normal.

median

Uma propriedade somente leitura para a mediana de uma distribuição normal.

mode

Uma propriedade somente leitura para a moda de uma distribuição normal.

stdev

Uma propriedade somente leitura para o desvio padrão de uma distribuição normal.

variance

Uma propriedade somente leitura para a variância de uma distribuição normal. Igual ao quadrado do desvio padrão.

classmethod from_samples(data)

Faz uma instância da distribuição normal com os parâmetros mu e sigma estimados a partir de data usando fmean() e stdev().

data pode ser qualquer iterável e deve consistir de valores que pode ser convertidos para o tipo float. Se data não contém pelo menos dois elementos, levanta a exceção StatisticsError porque é preciso pelo menos um ponto para estimar um valor central e pelo menos dois pontos para estimar a dispersão.

samples(n, *, seed=None)

Gera n amostras aleatórias para uma dada média e desvio padrão. Retorna uma list de valores float.

Se o parâmetro seed for fornecido, cria uma nova instância do gerador de número aleatório subjacente. Isso é útil para criar resultados reproduzíveis, mesmo em um contexto multithreading.

pdf(x)

Usando uma função densidade de probabilidade (fdp), calcula a probabilidade relativa que uma variável aleatória X estará perto do valor dado x. Matematicamente, é o limite da razão P(x <= X < x+dx) / dx quando dx se aproxima de zero.

A probabilidade relativa é calculada como a probabilidade de uma amostra ocorrer em um intervalo estreito dividida pela largura do intervalo (daí a palavra “densidade”). Como a probabilidade é relativa a outros pontos, seu valor pode ser maior que 1,0.

cdf(x)

Usando uma função distribuição acumulada (fda) <https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_distribui%C3%A7%C3%A3o_acumulada> _, calcula a probabilidade de que uma variável aleatória X seja menor ou igual a x. Matematicamente, é representada da seguinte maneira: P(X <= x).

inv_cdf(p)

Calcula a função distribuição acumulada inversa, também conhecida como função quantil <https://pt.wikipedia.org/wiki/Quantil> _ ou o função ponto percentual. Matematicamente, é representada como x : P(X <= x) = p.

Encontra o valor x da variável aleatória X de tal forma que a probabilidade da variável ser menor ou igual a esse valor seja igual à probabilidade dada p.

overlap(other)

Mede a concordância entre duas distribuições de probabilidade normais. Retorna um valor entre 0,0 e 1,0 fornecendo a área de sobreposição para as duas funções de densidade de probabilidade.

quantiles(n=4)

Divide a distribuição normal em n intervalos contínuos com probabilidade igual. Retorna uma lista de (n - 1) pontos de corte separando os intervalos.

Defina n como 4 para quartis (o padrão). Defina n como 10 para decis. Defina n como 100 para percentis, o que dá os 99 pontos de corte que separam a distribuição normal em 100 grupos de tamanhos iguais.

zscore(x)

Calcula a Pontuação Padrão (z-score) descrevendo x em termos do número de desvios padrão acima ou abaixo da média da distribuição normal: (x - mean) / stdev.

Novo na versão 3.9.

Instâncias de NormalDist suportam adição, subtração, multiplicação e divisão por uma constante. Essas operações são usadas para translação e dimensionamento. Por exemplo:

>>> temperature_february = NormalDist(5, 2.5)             # Celsius
>>> temperature_february * (9/5) + 32                     # Fahrenheit
NormalDist(mu=41.0, sigma=4.5)

A divisão de uma constante por uma instância de NormalDist não é suportada porque o resultado não seria distribuído normalmente.

Uma vez que distribuições normais surgem de efeitos aditivos de variáveis independentes, é possível adicionar e subtrair duas variáveis aleatórias independentes normalmente distribuídas <https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_normally_distributed_random_variables> _ representadas como instâncias de NormalDist. Por exemplo:

>>> birth_weights = NormalDist.from_samples([2.5, 3.1, 2.1, 2.4, 2.7, 3.5])
>>> drug_effects = NormalDist(0.4, 0.15)
>>> combined = birth_weights + drug_effects
>>> round(combined.mean, 1)
3.1
>>> round(combined.stdev, 1)
0.5

Novo na versão 3.8.

Exemplos e receitas com NormalDist

NormalDist facilmente resolve problemas de probabilidade clássicos.

Por exemplo, considerando os dados históricos para exames SAT mostrando que as pontuações são normalmente distribuídas com média de 1060 e desvio padrão de 195, determine o percentual de alunos com pontuações de teste entre 1100 e 1200, após arredondar para o número inteiro mais próximo:

>>> sat = NormalDist(1060, 195)
>>> fraction = sat.cdf(1200 + 0.5) - sat.cdf(1100 - 0.5)
>>> round(fraction * 100.0, 1)
18.4

Encontrar os quartis e decis para as pontuações SAT:

>>> list(map(round, sat.quantiles()))
[928, 1060, 1192]
>>> list(map(round, sat.quantiles(n=10)))
[810, 896, 958, 1011, 1060, 1109, 1162, 1224, 1310]

Para estimar a distribuição de um modelo que não seja fácil de resolver analiticamente, NormalDist pode gerar amostras de entrada para uma simulação Monte Carlo:

>>> def model(x, y, z):
...     return (3*x + 7*x*y - 5*y) / (11 * z)
...
>>> n = 100_000
>>> X = NormalDist(10, 2.5).samples(n, seed=3652260728)
>>> Y = NormalDist(15, 1.75).samples(n, seed=4582495471)
>>> Z = NormalDist(50, 1.25).samples(n, seed=6582483453)
>>> quantiles(map(model, X, Y, Z))       
[1.4591308524824727, 1.8035946855390597, 2.175091447274739]

As distribuições normais podem ser usadas para aproximar distribuições binomiais quando o tamanho da amostra é grande e quando a probabilidade de um teste bem-sucedido é próximo a 50%.

Por exemplo, uma conferência de código aberto tem 750 participantes e duas salas com capacidade para 500 pessoas. Há uma palestra sobre Python e outra sobre Ruby. Em conferências anteriores, 65% dos participantes preferiram ouvir palestras sobre Python. Supondo que as preferências da população não tenham mudado, qual é a probabilidade da sala de Python permanecer dentro de seus limites de capacidade?

>>> n = 750             # Sample size
>>> p = 0.65            # Preference for Python
>>> q = 1.0 - p         # Preference for Ruby
>>> k = 500             # Room capacity

>>> # Approximation using the cumulative normal distribution
>>> from math import sqrt
>>> round(NormalDist(mu=n*p, sigma=sqrt(n*p*q)).cdf(k + 0.5), 4)
0.8402

>>> # Solution using the cumulative binomial distribution
>>> from math import comb, fsum
>>> round(fsum(comb(n, r) * p**r * q**(n-r) for r in range(k+1)), 4)
0.8402

>>> # Approximation using a simulation
>>> from random import seed, choices
>>> seed(8675309)
>>> def trial():
...     return choices(('Python', 'Ruby'), (p, q), k=n).count('Python')
>>> mean(trial() <= k for i in range(10_000))
0.8398

Distribuições normais geralmente surgem em problemas de aprendizado de máquina.

A Wikipedia tem um bom exemplo de um Classificador Bayesiano Ingênuo. O desafio é prever o sexo de uma pessoa a partir de medidas de características normalmente distribuídas, incluindo altura, peso e tamanho do pé.

Recebemos um conjunto de dados de treinamento com medições para oito pessoas. As medidas são consideradas normalmente distribuídas, então resumimos os dados com NormalDist:

>>> height_male = NormalDist.from_samples([6, 5.92, 5.58, 5.92])
>>> height_female = NormalDist.from_samples([5, 5.5, 5.42, 5.75])
>>> weight_male = NormalDist.from_samples([180, 190, 170, 165])
>>> weight_female = NormalDist.from_samples([100, 150, 130, 150])
>>> foot_size_male = NormalDist.from_samples([12, 11, 12, 10])
>>> foot_size_female = NormalDist.from_samples([6, 8, 7, 9])

Em seguida, encontramos uma nova pessoa cujas características de medidas são conhecidas, mas cujo gênero é desconhecido:

>>> ht = 6.0        # height
>>> wt = 130        # weight
>>> fs = 8          # foot size

Começando com uma probabilidade a priori de 50% <https://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade_a_priori>`_ de ser homem ou mulher, calculamos a posteriori como a priori vezes o produto das probabilidade para as características de medidas dado o gênero:

>>> prior_male = 0.5
>>> prior_female = 0.5
>>> posterior_male = (prior_male * height_male.pdf(ht) *
...                   weight_male.pdf(wt) * foot_size_male.pdf(fs))

>>> posterior_female = (prior_female * height_female.pdf(ht) *
...                     weight_female.pdf(wt) * foot_size_female.pdf(fs))

A previsão final vai para a probabilidade posterior maior. Isso é conhecido como máximo a posteriori ou MAP:

>>> 'male' if posterior_male > posterior_female else 'female'
'female'