Fonctions mathématiques — math


Ce module fournit l'accès aux fonctions mathématiques définies par la norme C.

Ces fonctions ne peuvent pas être utilisées avec les nombres complexes ; si vous avez besoin de la prise en charge des nombres complexes, utilisez les fonctions du même nom du module cmath. La séparation entre les fonctions qui gèrent les nombres complexes et les autres vient du constat que tous les utilisateurs ne souhaitent pas acquérir le niveau mathématique nécessaire à la compréhension des nombres complexes. Recevoir une exception plutôt qu'un nombre complexe en retour d'une fonction permet au programmeur de déterminer immédiatement comment et pourquoi ce nombre a été généré, avant que celui-ci ne soit passé involontairement en paramètre d'une autre fonction.

Les fonctions suivantes sont fournies dans ce module. Sauf mention contraire explicite, toutes les valeurs de retour sont des flottants.

Fonctions arithmétiques et de représentation

math.ceil(x)

Renvoie la partie entière par excès de x, le plus petit entier supérieur ou égal à x. Si x est un flottant, délègue à x.__ceil()__, qui doit renvoyer une valeur Integral.

math.comb(n, k)

Renvoie le nombre de façons de choisir k éléments parmi n de manière non-ordonnée et sans répétition.

Vaut n! / (k! * (n - k)!) quand k <= n et zéro quand k > n.

Aussi connue sous le nom de « coefficient binomial » car c'est la valeur du coefficient du k-ième terme dans le développement polynomial de l'expression (1+x)**n.

Lève une TypeError si un des paramètres n'est pas un entier. Lève une ValueError si un des paramètres est négatif.

Nouveau dans la version 3.8.

math.copysign(x, y)

Renvoie un flottant contenant la magnitude (valeur absolue) de x mais avec le signe de y. Sur les plates-formes prenant en charge les zéros signés, copysign(1.0, -0.0) renvoie -1.0.

math.fabs(x)

Renvoie la valeur absolue de x.

math.factorial(x)

Renvoie la factorielle de x sous forme d'entier. Lève une ValueError si x n'est pas entier ou s'il est négatif.

math.floor(x)

Renvoie la partie entière (par défaut) de x, le plus grand entier inférieur ou égal à x. Si x n'est pas un flottant, délègue à x.__floor()__, qui doit renvoyer une valeur Integral.

math.fmod(x, y)

Renvoie fmod(x, y), tel que défini par la bibliothèque C de la plate-forme. Notez que l'expression Python x % y peut ne pas renvoyer le même résultat. Le sens du standard C pour fmod(x, y) est d'être exactement (mathématiquement, à une précision infinie) égal à x - n*y pour un entier n tel que le résultat a le signe de x et une magnitude inférieure à abs(y). L'expression Python x % y renvoie un résultat avec le signe de y, et peut ne pas être calculable exactement pour des arguments flottants. Par exemple : fmod(-1e-100, 1e100) est -1e-100, mais le résultat de l'expression Python -1e-100 % 1e100 est 1e100-1e-100, qui ne peut pas être représenté exactement par un flottant et donc qui est arrondi à 1e100. Pour cette raison, la fonction fmod() est généralement privilégiée quand des flottants sont manipulés, alors que l'expression Python x % y est privilégiée quand des entiers sont manipulés.

math.frexp(x)

Renvoie la mantisse et l'exposant de x dans un couple (m, e). m est un flottant et e est un entier tels que x == m * 2**e exactement. Si x vaut zéro, renvoie (0, 0), sinon 0.5 <= abs(m) < 1. Ceci est utilisé pour « extraire » la représentation interne d'un flottant de manière portable.

math.fsum(iterable)

Renvoie une somme flottante exacte des valeurs dans l'itérable. Évite la perte de précision en gardant plusieurs sommes partielles intermédiaires :

>>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
0.9999999999999999
>>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
1.0

La précision de cet algorithme dépend des garanties arithmétiques de IEEE-754 et des cas standards où le mode d'arrondi est half-even. Sur certaines versions non Windows, la bibliothèque C sous-jacente utilise une addition par précision étendue et peut occasionnellement effectuer un double-arrondi sur une somme intermédiaire causant la prise d'une mauvaise valeur du bit de poids faible.

Pour de plus amples discussions et deux approches alternatives, voir ASPN cookbook recipes for accurate floating point summation.

math.gcd(a, b)

Renvoie le plus grand diviseur commun des entiers a et b. Si a ou b est différent de zéro, la valeur de gcd(a, b) est le plus grand entier positif qui divise à la fois a et b. gcd(0, 0) renvoie 0.

Nouveau dans la version 3.5.

math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

Renvoie True si les valeurs a et b sont proches l'une de l'autre, et False sinon.

Déterminer si deux valeurs sont considérées comme « proches » se fait à l'aide des tolérances absolues et relatives passées en paramètres.

rel_tol est la tolérance relative — c'est la différence maximale permise entre a et b, relativement à la plus grande valeur de a ou de b. Par exemple, pour définir une tolérance de 5%,, précisez rel_tol=0.05. La tolérance par défaut est 1e-09, ce qui assure que deux valeurs sont les mêmes à partir de la 9e décimale. rel_tol doit être supérieur à zéro.

abs_tol est la tolérance absolue minimale — utile pour les comparaisons proches de zéro. abs_tol doit valoir au moins zéro.

Si aucune erreur n'est rencontrée, le résultat sera : abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).

Les valeurs spécifiques suivantes : NaN, inf, et -inf définies dans la norme IEEE 754 seront manipulées selon les règles du standard IEEE. En particulier, NaN n'est considéré proche d'aucune autre valeur, NaN inclus. inf et -inf ne sont considérées proches que d'elles-mêmes.

Nouveau dans la version 3.5.

Voir aussi

PEP 485 — Une fonction pour tester des quasi-égalités

math.isfinite(x)

Renvoie True si n n'est ni infini, ni NaN, et False sinon. (Notez que 0.0 est considéré comme fini.)

Nouveau dans la version 3.2.

math.isinf(x)

Renvoie True si x vaut l'infini positif ou négatif, et False sinon.

math.isnan(x)

Renvoie True si x est NaN (Not a Number, ou Pas un Nombre en français), et False sinon.

math.isqrt(n)

Renvoie la racine carrée entière du nombre positif n. C'est la partie entière de la valeur exacte de la racine carrée de n ou, de manière équivalente, le plus grand entier a tel que a*² ≤ n.

Pour certaines applications, il est plus pratique d'avoir le plus petit entier a tel que n ≤ a² ou, en d'autres termes, la partie entière de la valeur exacte de la racine carrée de n. Pour n positif, on peut le calculer avec a = 1 + isqrt(n - 1).

Nouveau dans la version 3.8.

math.ldexp(x, i)

Renvoie x * (2**i). C'est essentiellement l'inverse de la fonction frexp().

math.modf(x)

Renvoie les parties entière et fractionnelle de x. Les deux résultats ont le signe de x et sont flottants.

math.perm(n, k=None)

Renvoie le nombre de façons de choisir k éléments parmi n de manière ordonnée sans répétition.

Vaut n! / (n - k)! quand k <= n et vaut zéro quand k > n.

Si k n'est pas défini ou vaut None, k prend par défaut la valeur n et la fonction renvoie alors n!.

Lève une TypeError si un des paramètres n'est pas un entier. Lève une ValueError si un des paramètres est négatif.

Nouveau dans la version 3.8.

math.prod(iterable, *, start=1)

Calcule le produit de tous les éléments passés dans l'entrée iterable. La valeur de départ par défaut du produit vaut 1.

Quand l'itérable est vide, renvoie la valeur de départ. Cette fonction ne doit être utilisée qu'avec des valeurs numériques et peut rejeter les types non-numériques.

Nouveau dans la version 3.8.

math.remainder(x, y)

Renvoie le reste selon la norme IEEE 754 de x par rapport à y. Pour x fini et y fini non nul, il s'agit de la différence x - n*y, où n est l'entier le plus proche de la valeur exacte du quotient x / y. Si x / y est exactement à mi-chemin de deux entiers consécutifs, le plus proche entier pair est utilisé pour n. Ainsi, le reste r = remainder(x, y) vérifie toujours abs(r) <= 0.5 * abs(y).

Les cas spéciaux suivent la norme IEEE 754 : en particulier, remainder(x, math.inf) vaut x pour tout x fini, et remainder(x, 0) et remainder(math.inf, x) lèvent ValueError pour tout x non-NaN. Si le résultat de l'opération remainder est zéro, alors ce zéro aura le même signe que x.

Sur les plates-formes utilisant la norme IEEE 754 pour les nombres à virgule flottante en binaire, le résultat de cette opération est toujours exactement représentable : aucune erreur d'arrondi n'est introduite.

Nouveau dans la version 3.7.

math.trunc(x)

Renvoie la valeur Real x tronquée en un Integral (habituellement un entier). Délègue à x.__trunc__().

Notez que les fonctions frexp() et modf() ont un système d'appel différent de leur homologue C : elles prennent un seul argument et renvoient une paire de valeurs au lieu de placer la seconde valeur de retour dans un paramètre de sortie (cela n'existe pas en Python).

Pour les fonctions ceil(), floor(), et modf(), notez que tous les nombres flottants de magnitude suffisamment grande sont des entiers exacts. Les flottants de Python n'ont généralement pas plus de 53 bits de précision (tels que le type C double de la plate-forme), en quel cas tout flottant x tel que abs(x) >= 2**52 n'a aucun bit fractionnel.

Fonctions logarithme et exponentielle

math.exp(x)

Renvoie e à la puissance x, où e = 2.718281… est la base des logarithmes naturels. Cela est en général plus précis que math.e ** x ou pow(math.e, x).

math.expm1(x)

Renvoie e à la puissance x, moins 1. Ici, e est la base des logarithmes naturels. Pour de petits flottants x, la soustraction exp(x) - 1 peut résulter en une perte significative de précision; la fonction expm1() fournit un moyen de calculer cette quantité en précision complète :

>>> from math import exp, expm1
>>> exp(1e-5) - 1  # gives result accurate to 11 places
1.0000050000069649e-05
>>> expm1(1e-5)    # result accurate to full precision
1.0000050000166668e-05

Nouveau dans la version 3.2.

math.log(x[, base])

Avec un argument, renvoie le logarithme naturel de x (en base e).

Avec deux arguments, renvoie le logarithme de x en la base donnée, calculé par log(x)/log(base).

math.log1p(x)

Renvoie le logarithme naturel de 1+x (en base e). Le résultat est calculé par un moyen qui reste exact pour x proche de zéro.

math.log2(x)

Renvoie le logarithme en base 2 de x. C'est en général plus précis que log(x, 2).

Nouveau dans la version 3.3.

Voir aussi

int.bit_length() renvoie le nombre de bits nécessaires pour représenter un entier en binaire, en excluant le signe et les zéros de début.

math.log10(x)

Renvoie le logarithme de x en base 10. C'est habituellement plus exact que log(x, 10).

math.pow(x, y)

Renvoie x élevé à la puissance y. Les cas exceptionnels suivent l'annexe 'F' du standard C99 autant que possible. En particulier, pow(1.0, x) et pow(x, 0.0) renvoient toujours 1.0, même si x est zéro ou NaN. Si à la fois x et y sont finis, x est négatif et y n'est pas entier, alors pow(x, y) est non défini et lève une ValueError.

À l'inverse de l'opérateur interne **, la fonction math.pow() convertit ses deux arguments en float. Utilisez ** ou la primitive pow() pour calculer des puissances exactes d'entiers.

math.sqrt(x)

Renvoie la racine carrée de x.

Fonctions trigonométriques

math.acos(x)

Renvoie l'arc cosinus de x, en radians.

math.asin(x)

Renvoie l'arc sinus de x, en radians.

math.atan(x)

Renvoie l'arc tangente de x, en radians.

math.atan2(y, x)

Renvoie atan(y / x), en radians. Le résultat est entre -pi et pi. Le vecteur du plan allant de l'origine vers le point (x, y) forme cet angle avec l'axe X positif. L'intérêt de atan2() est que le signe des deux entrées est connu. Donc elle peut calculer le bon quadrant pour l'angle. par exemple atan(1) et atan2(1, 1) donnent tous deux pi/4, mais atan2(-1, -1) donne -3*pi/4.

math.cos(x)

Renvoie le cosinus de x radians.

math.dist(p, q)

Renvoie la distance Euclienne entre deux points p et q, passés comme des séquences (ou des itérables) de coordonnées. Les deux points doivent avoir la même dimension.

À peu près équivalent à :

sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))

Nouveau dans la version 3.8.

math.hypot(*coordinates)

Renvoie la norme Euclidienne, sqrt(sum(x**2 for x in coordinates)). C'est la norme du vecteur entre l'origine et le point donné par les coordonnées.

Pour un point bi-dimensionnel (x, y), c'est équivalent à calculer la valeur de l’hypoténuse d'un triangle rectangle en utilisant le théorème de Pythagore, sqrt(x*x + y*y).

Modifié dans la version 3.8: Ajout de la gestion des points à n-dimensions. Auparavant seuls les points bi-dimensionnels étaient gérés.

math.sin(x)

Renvoie le sinus de x radians.

math.tan(x)

Renvoie la tangente de x radians.

Conversion angulaire

math.degrees(x)

Convertit l'angle x de radians en degrés.

math.radians(x)

Convertit l'ange x de degrés en radians.

Fonctions hyperboliques

Les fonctions hyperboliques sont analogues à des fonctions trigonométriques qui sont basées sur des hyperboles au lieu de cercles.

math.acosh(x)

Renvoie l'arc cosinus hyperbolique de x.

math.asinh(x)

Renvoie l'arc sinus hyperbolique de x.

math.atanh(x)

Renvoie l'arc tangente hyperbolique de x.

math.cosh(x)

Renvoie le cosinus hyperbolique de x.

math.sinh(x)

Renvoie le sinus hyperbolique de x.

math.tanh(x)

Renvoie la tangente hyperbolique de x.

Fonctions spéciales

math.erf(x)

Renvoie la fonction d'erreur en x.

La fonction erf() peut être utilisée pour calculer des fonctions statistiques usuelles telles que la répartition de la loi normale :

def phi(x):
    'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
    return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

Nouveau dans la version 3.2.

math.erfc(x)

Renvoie la fonction d'erreur complémentaire en x. La fonction d'erreur complémentaire est définie par 1.0 - erf(x). Elle est utilisée pour les grandes valeurs de x, où la soustraction en partant de 1,0 entraînerait une perte de précision.

Nouveau dans la version 3.2.

math.gamma(x)

Renvoie la fonction Gamma en x.

Nouveau dans la version 3.2.

math.lgamma(x)

Renvoie le logarithme naturel de la valeur absolue de la fonction gamma en x.

Nouveau dans la version 3.2.

Constantes

math.pi

La constante mathématique π = 3.141592…, à la précision disponible.

math.e

La constante mathématique e = 2.718281…, à la précision disponible.

math.tau

La constante mathématique τ = 6.283185…, à la précision disponible. Tau est une constante du cercle égale à 2 *π*, le rapport de la circonférence d'un cercle à son rayon. Pour en apprendre plus sur Tau, regardez la vidéo de Vi Hart, Pi is (still) Wrong, et profitez-en pour célébrer le Jour de Tau en bavardant comme deux pies !

Nouveau dans la version 3.6.

math.inf

Un flottant positif infini. (Pour un infini négatif, utilisez -math.inf.) Équivalent au résultat de float('inf').

Nouveau dans la version 3.5.

math.nan

Un flottant valant NaN. Équivalent au résultat de float('nan').

Nouveau dans la version 3.5.

CPython implementation detail: Le module math consiste majoritairement en un conteneur pour les fonctions mathématiques de la bibliothèque C de la plate-forme. Le comportement dans les cas spéciaux suit l'annexe 'F' du standard C99 quand c'est approprié. L'implémentation actuelle lève une ValueError pour les opérations invalides telles que sqrt(-1.0) ou log(0.0) (où le standard C99 recommande de signaler que l'opération est invalide ou qu'il y a division par zéro), et une OverflowError pour les résultats qui débordent (par exemple exp(1000.0)). NaN ne sera renvoyé pour aucune des fonctions ci-dessus, sauf si au moins un des arguments de la fonction vaut NaN. Dans ce cas, la plupart des fonctions renvoient NaN, mais (à nouveau, selon l'annexe 'F' du standard C99) il y a quelques exceptions à cette règle, par exemple pow(float('nan'), 0.0) ou hypot(float('nan'), float('inf')).

Notez que Python ne fait aucun effort pour distinguer les NaNs signalétiques des NaNs silencieux, et le comportement de signalement des NaNs reste non-spécifié. Le comportement standard est de traiter tous les NaNs comme s'ils étaient silencieux.

Voir aussi

Module cmath

Version complexe de beaucoup de ces fonctions.