cmath
— Mathematical functions for complex numbers¶
This module provides access to mathematical functions for complex numbers. The
functions in this module accept integers, floating-point numbers or complex
numbers as arguments. They will also accept any Python object that has either a
__complex__()
or a __float__()
method: these methods are used to
convert the object to a complex or floating-point number, respectively, and
the function is then applied to the result of the conversion.
Nota
For functions involving branch cuts, we have the problem of deciding how to define those functions on the cut itself. Following Kahan’s «Branch cuts for complex elementary functions» paper, as well as Annex G of C99 and later C standards, we use the sign of zero to distinguish one side of the branch cut from the other: for a branch cut along (a portion of) the real axis we look at the sign of the imaginary part, while for a branch cut along the imaginary axis we look at the sign of the real part.
For example, the cmath.sqrt()
function has a branch cut along the
negative real axis. An argument of -2-0j
is treated as
though it lies below the branch cut, and so gives a result on the negative
imaginary axis:
>>> cmath.sqrt(-2-0j)
-1.4142135623730951j
But an argument of -2+0j
is treated as though it lies above
the branch cut:
>>> cmath.sqrt(-2+0j)
1.4142135623730951j
Conversión a y desde coordenadas polares¶
A Python complex number z
is stored internally using rectangular
or Cartesian coordinates. It is completely determined by its real
part z.real
and its imaginary part z.imag
.
Las coordenadas polares dan una alternativa a la representación de números complejos. En las coordenadas polares, un número complejo z se define por los módulos r y el ángulo de fase phi. El módulo r es la distancia desde z hasta el origen, mientras que la fase phi es el ángulo que va en contra de las agujas del reloj, medido en radianes, desde el eje positivo de las X hasta el segmento de linea que une el origen con z.
Las siguientes funciones pueden ser usadas para convertir desde coordenadas rectangulares nativas hasta coordenadas polares y viceversa.
- cmath.phase(z)¶
Return the phase of z (also known as the argument of z), as a float.
phase(z)
is equivalent tomath.atan2(z.imag, z.real)
. The result lies in the range [-π, π], and the branch cut for this operation lies along the negative real axis. The sign of the result is the same as the sign ofz.imag
, even whenz.imag
is zero:>>> phase(-1+0j) 3.141592653589793 >>> phase(-1-0j) -3.141592653589793
Nota
The modulus (absolute value) of a complex number z can be
computed using the built-in abs()
function. There is no
separate cmath
module function for this operation.
- cmath.polar(z)¶
Return the representation of z in polar coordinates. Returns a pair
(r, phi)
where r is the modulus of z and phi is the phase of z.polar(z)
is equivalent to(abs(z), phase(z))
.
- cmath.rect(r, phi)¶
Return the complex number z with polar coordinates r and phi. Equivalent to
complex(r * math.cos(phi), r * math.sin(phi))
.
Funciones logarítmicas y de potencias¶
- cmath.exp(z)¶
Return e raised to the power z, where e is the base of natural logarithms.
- cmath.log(z[, base])¶
Return the logarithm of z to the given base. If the base is not specified, returns the natural logarithm of z. There is one branch cut, from 0 along the negative real axis to -∞.
Funciones trigonométricas¶
- cmath.acos(z)¶
Return the arc cosine of z. There are two branch cuts: One extends right from 1 along the real axis to ∞. The other extends left from -1 along the real axis to -∞.
- cmath.atan(z)¶
Return the arc tangent of z. There are two branch cuts: One extends from
1j
along the imaginary axis to∞j
. The other extends from-1j
along the imaginary axis to-∞j
.
- cmath.cos(z)¶
Return the cosine of z.
- cmath.sin(z)¶
Return the sine of z.
- cmath.tan(z)¶
Return the tangent of z.
Funciones hiperbólicas¶
- cmath.acosh(z)¶
Return the inverse hyperbolic cosine of z. There is one branch cut, extending left from 1 along the real axis to -∞.
- cmath.asinh(z)¶
Return the inverse hyperbolic sine of z. There are two branch cuts: One extends from
1j
along the imaginary axis to∞j
. The other extends from-1j
along the imaginary axis to-∞j
.
- cmath.atanh(z)¶
Return the inverse hyperbolic tangent of z. There are two branch cuts: One extends from
1
along the real axis to∞
. The other extends from-1
along the real axis to-∞
.
- cmath.cosh(z)¶
Return the hyperbolic cosine of z.
- cmath.sinh(z)¶
Return the hyperbolic sine of z.
- cmath.tanh(z)¶
Return the hyperbolic tangent of z.
Funciones de clasificación¶
- cmath.isfinite(z)¶
Return
True
if both the real and imaginary parts of z are finite, andFalse
otherwise.Added in version 3.2.
- cmath.isinf(z)¶
Return
True
if either the real or the imaginary part of z is an infinity, andFalse
otherwise.
- cmath.isnan(z)¶
Return
True
if either the real or the imaginary part of z is a NaN, andFalse
otherwise.
- cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)¶
Retorna
True
si los valores a y b son cercanos el uno al otro yFalso
de otro modo.Whether or not two values are considered close is determined according to given absolute and relative tolerances. If no errors occur, the result will be:
abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)
.rel_tol is the relative tolerance – it is the maximum allowed difference between a and b, relative to the larger absolute value of a or b. For example, to set a tolerance of 5%, pass
rel_tol=0.05
. The default tolerance is1e-09
, which assures that the two values are the same within about 9 decimal digits. rel_tol must be nonnegative and less than1.0
.abs_tol is the absolute tolerance; it defaults to
0.0
and it must be nonnegative. When comparingx
to0.0
,isclose(x, 0)
is computed asabs(x) <= rel_tol * abs(x)
, which isFalse
for anyx
and rel_tol less than1.0
. So add an appropriate positive abs_tol argument to the call.Los valores especiales IEEE 754 de
NaN
,inf
y-inf
serán manejados de acuerdo al estándar de IEEE. Especialmente,NaN
no se considera cercano a ningún otro valor, incluidoNaN
.inf
y-inf
solo son considerados cercanos a sí mismos.Added in version 3.5.
Ver también
PEP 485 – Una función para probar igualdad aproximada.
Constantes¶
- cmath.pi¶
La constante matemática π, como número de coma flotante.
- cmath.e¶
La constante matemática e, como número de coma flotante.
- cmath.tau¶
La constante matemática τ, como número de coma flotante.
Added in version 3.6.
- cmath.inf¶
Números de coma flotante de +infinito. Equivalente a
float('inf')
.Added in version 3.6.
- cmath.infj¶
Números complejos con la parte real cero y números positivos infinitos como la parte imaginaria. Equivalente a
complex(0.0, float('inf'))
.Added in version 3.6.
- cmath.nan¶
El valor del número de coma flotante «not a number» (NaN) . Equivalente a
float('nan')
.Added in version 3.6.
- cmath.nanj¶
Números complejos con parte real cero y como parte imaginaria NaN. Equivalente a
complex(0.0, float('nan'))
.Added in version 3.6.
Nótese que la selección de funciones es similar, pero no idéntica, a la del módulo math
. El motivo de tener dos módulos se halla en que algunos usuarios no se encuentran interesados en números complejos, y quizás ni siquiera sepan que son. Preferirían que math.sqrt(-1)
lance una excepción a que retorne un número complejo. Además fíjese que las funciones definidas en cmath
siempre retornan un número complejo, incluso si la respuesta puede ser expresada como un número real (en cuyo caso el número complejo tiene una parte imaginaria de cero).
Un apunte en los tramos: Se tratan de curvas en las cuales las funciones fallan a ser continua. Son un complemento necesario de muchas funciones complejas. Se asume que si se necesitan cálculos con funciones complejas, usted entenderá sobre tramos. Consulte casi cualquier(no muy elemental) libro sobre variables complejas para saber más. Para más información en la correcta elección de los tramos para propósitos numéricos, se recomienda la siguiente bibliografía:
Ver también
Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; o, Much ado about nothing’s sign bit. En Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165–211.