math — Funciones matemáticas

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Este módulo proporciona acceso a las funciones matemáticas definidas en el estándar de C.

Estas funciones no pueden ser usadas con números complejos; usa las funciones con el mismo nombre del módulo cmath si requieres soporte para números complejos. La distinción entre las funciones que admiten números complejos y las que no se hace debido a que la mayoría de los usuarios no quieren aprender tantas matemáticas como se requiere para comprender los números complejos. Recibir una excepción en lugar de un resultado complejo permite la detección temprana del número complejo inesperado utilizado como parámetro, de modo que el programador pueda determinar cómo y porqué se generó en primer lugar.

Este módulo proporciona las funciones descritas a continuación. Excepto cuando se indique lo contrario explícitamente, todos los valores retornados son flotantes.

Teoría de números y funciones de representación

math.ceil(x)

Retorna el «techo» de x, el número entero más pequeño que es mayor o igual que x. Si x no es un flotante, delega en x.__ceil__, que debería retornar un valor Integral.

math.comb(n, k)

Retorna el número de formas posibles de elegir k elementos de n, de forma ordenada y sin repetición.

Se evalúa como n! / (k! * (n - k)!) cuando k <= n y como cero cuando k > n.

También llamado coeficiente binomial porque es equivalente al coeficiente del k-ésimo término en la expansión polinomial de (1 + x)ⁿ.

Lanza una excepción TypeError si alguno de los argumentos no es un entero. Lanza una excepción ValueError si alguno de los argumentos es negativo.

Nuevo en la versión 3.8.

math.copysign(x, y)

Retorna un flotante con la magnitud (valor absoluto) de x pero el signo de y. En plataformas que admiten ceros con signo, copysign(1.0, -0.0) retorna -1.0.

math.fabs(x)

Retorna el valor absoluto de x.

math.factorial(n)

Retorna el factorial de n como un número entero. Lanza una excepción ValueError si n no es un entero o negativo.

Obsoleto desde la versión 3.9: Aceptar flotantes con valores integrales (como 5.0) está obsoleto.

math.floor(x)

Retorna el «suelo» de x, el primer número entero menor o igual que x. Si x no es un flotante, delega en x.__floor__, que debería retornar un valor Integral.

math.fmod(x, y)

Retorna fmod(x, y), tal como se define en la biblioteca de C de la plataforma. Ten en cuenta que la expresión x % y de Python puede no retornar el mismo resultado. La intención del estándar de C es que fmod(x, y) sea exactamente (matemáticamente; con precisión infinita) igual a x - n*y para algún número entero n tal que el resultado tenga el mismo signo que x y magnitud menor que abs(y). La expresión x % y de Python retorna un resultado con el signo de y en su lugar, y es posible que no pueda calcularse con exactitud para argumentos flotantes. Por ejemplo, fmod(-1e-100, 1e100) es -1e-100, pero el resultado de -1e-100 % 1e100 en Python es 1e100-1e-100, que no se puede representar exactamente como un flotante, y se redondea sorprendentemente a 1e100. Por esta razón, generalmente se prefiere la función fmod() cuando se trabaja con flotantes, mientras que se prefiere el uso de x % y de Python cuando se trabaja con enteros.

math.frexp(x)

Retorna la mantisa y el exponente de x como el par (m, e). m es un flotante y e es un número entero tal que x == m * 2**e exactamente. Si x es cero, retorna (0.0, 0), y retorna 0.5 <= abs(m) < 1 en caso contrario. Se utiliza como una forma portable de «extraer» la representación interna de un flotante.

math.fsum(iterable)

Retorna una suma precisa en coma flotante de los valores de un iterable. Evita la pérdida de precisión mediante el seguimiento de múltiples sumas parciales intermedias:

>>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
0.9999999999999999
>>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
1.0

La precisión del algoritmo depende de las garantías aritméticas de IEEE-754 y del caso típico en el que se usa el «medio redondo a par» (half-even) como método de redondeo. En algunas compilaciones que no son de Windows, la biblioteca de C subyacente utiliza la adición de precisión extendida y, ocasionalmente, puede realizar un doble redondeo en una suma intermedia, haciendo que el bit menos significativo tome el valor incorrecto.

Para una discusión más amplia y dos enfoques alternativos, consultar ASPN cookbook recipes for accurate floating point summation.

math.gcd(*integers)

Retorna el máximo común divisor de los argumentos enteros. Si cualquiera de los argumentos no es cero, entonces el valor retornado es el entero positivo más grande que divide a todos los argumentos. Si todos los argumentos son cero, entonces el valor retornado es 0. gcd() sin argumentos retorna 0.

Nuevo en la versión 3.5.

Distinto en la versión 3.9: Agregado soporte para un número arbitrario de argumentos. Anteriormente sólo se soportaba dos argumentos.

math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

Retorna True si los valores a y b están cerca el uno del otro y False en caso contrario.

Que dos valores se consideren cercanos o no, se determina de acuerdo con las tolerancias absolutas y relativas dadas.

rel_tol es la tolerancia relativa: esta es la diferencia máxima permitida entre a y b, en relación con el valor absoluto mayor de a o b. Por ejemplo, para establecer una tolerancia del 5%, pasa rel_tol=0.05. La tolerancia predeterminada es 1e-09, lo que garantiza que los dos valores sean iguales considerando 9 dígitos decimales aproximadamente. rel_tol debe ser mayor que cero.

abs_tol es la tolerancia absoluta mínima, útil para las comparaciones cercanas a cero. abs_tol debe valer al menos cero.

Si no se encuentran errores, el resultado será: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).

Los valores especiales de IEEE 754 NaN, inf e -inf se manejarán de acuerdo con las reglas del IEEE. Concretamente, NaN no se considera cercano a ningún otro valor, incluido NaN. Por su parte, inf e -inf solo se consideran cercanos a sí mismos.

Nuevo en la versión 3.5.

Ver también

PEP 485 – Una función para comprobar la igualdad aproximada

math.isfinite(x)

Retorna True si x no es infinito ni NaN, o False en caso contrario. (Ten en cuenta que 0.0 es considerado finito.)

Nuevo en la versión 3.2.

math.isinf(x)

Retorna True si x es infinito positivo o negativo, o False en caso contrario.

math.isnan(x)

Retorna True si x es NaN (not a number, en español: no es un número), o False en caso contrario.

math.isqrt(n)

Retorna la raíz cuadrada del número entero no negativo n. Es el resultado de aplicar la función suelo al valor exacto de la raíz cuadrada de n, o de forma equivalente, el mayor entero a tal que a² ≤ n.

Para algunas aplicaciones, puede ser más conveniente tener el menor número entero a tal que n ≤ a², en otras palabras, el resultado de aplicar la función techo a la raíz cuadrada exacta de n. Para n positivo, esto se puede calcular usando a = 1 + isqrt(n - 1).

Nuevo en la versión 3.8.

math.lcm(*integers)

Retorna el mínimo común múltiplo de los argumentos enteros. Si todos los argumentos no son cero, entonces el valor retornado es el entero positivo más pequeño que es un múltiplo de todos los argumentos. Si cualquiera de los argumentos es cero, entonces el valor retornado es 0. lcm() sin argumentos retorna 1.

Nuevo en la versión 3.9.

math.ldexp(x, i)

Retorna x * (2**i). Esta es esencialmente la función inversa de frexp().

math.modf(x)

Retorna la parte fraccionaria y entera de x. Ambos resultados son flotantes y tienen el mismo signo que x .

math.nextafter(x, y)

Retorna el siguiente valor flotante después de x en la dirección de y.

Si x es igual a y, retorna y.

Ejemplos:

• math.nextafter(x, math.inf) va hacia el infinito positivo.

• math.nextafter(x, -math.inf) va hacia el infinito negativo.

• math.nextafter(x, 0.0) va hacia cero.

• math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x)) se aleja de cero.

Ver también math.ulp().

Nuevo en la versión 3.9.

math.perm(n, k=None)

Retorna el número de formas posibles de elegir k elementos de n elementos, sin repetición y en orden.

Se evalúa como n! / (n - k)! cuando k <= n y como cero cuando k > n.

Si k no se especifica o es None, k será igual a n por defecto y la función retornará n!.

Lanza una excepción TypeError si alguno de los argumentos no es un entero. Lanza una excepción ValueError si alguno de los argumentos es negativo.

Nuevo en la versión 3.8.

math.prod(iterable, *, start=1)

Calcula el producto de todos los elementos en la entrada iterable. El valor start predeterminado para el producto es 1.

Cuando el iterable está vacío, retorna el valor inicial. Esta función está diseñada específicamente para su uso con valores numéricos y puede rechazar tipos no numéricos.

Nuevo en la versión 3.8.

math.remainder(x, y)

Retorna el resto o residuo según la norma IEEE 754 de x con respecto a y. Para un valor x finito y un valor y finito distinto de cero, es la diferencia x - n * y, donde n es el número entero más cercano al valor exacto del cociente x / y. Si x / y está exactamente en mitad de dos enteros consecutivos, el entero par más cercano se utiliza para n. Por lo tanto, el residuo r = remainder(x, y) siempre satisface abs(r) <= 0.5 * abs(y).

Los casos especiales siguen el estándar IEEE 754: en particular, remainder(x, math.inf) es x para todo x finito, y remainder(x, 0) junto a remainder(math.inf, x) lanzan una excepción ValueError para todo x que no sea NaN. Si el resultado de la operación residuo es cero, este cero tendrá el mismo signo que x.

En plataformas que utilizan la norma IEEE 754 para números en coma flotante binarios, el resultado de esta operación siempre es exactamente representable: no se introduce ningún error de redondeo.

Nuevo en la versión 3.7.

math.trunc(x)

Retorna x con la parte fraccionaria eliminada, dejando la parte entera.Esto redondea hacia 0: trunc() es equivalente a floor() para x positivo y equivalente a ceil() para x negativo. Si x no es un flotante, delega a x.__trunc__, que debería retornar un valor Integral.

math.ulp(x)

Retorna el valor del bit menos significativo del flotante x:

• Si x es un NaN (not a number), retorna x.

• Si x es negativo, retorna ulp(-x).

• Si x es un infinito positivo, retorna x.

• Si x es igual a cero, retorna el flotante representable desnormalizado positivo más pequeño (menor que el flotante normalizado positivo mínimo, sys.float_info.min).

• Si x es igual al flotante representable positivo más pequeño, retorna el bit menos significativo de x, de tal manera que el primer flotante menor que x es x - ulp(x).

• De lo contrario (x es un número finito positivo), retorna el valor del bit menos significativo de x , de tal forma que el primer flotante mayor a x es x + ulp(x).

ULP significa Unit in the Last Place (unidad en el último lugar).

Ver también math.nextafter() y sys.float_info.epsilon.

Nuevo en la versión 3.9.

Ten en cuenta que frexp() y modf() tienen un patrón de llamada/retorno diferente al de sus equivalentes en C: toman un solo argumento y retornan un par de valores, en lugar de retornar su segundo valor de retorno a través de un parámetro de salida (no existe tal cosa en Python).

Para las funciones ceil(), floor() y modf(), ten en cuenta que todos los números de coma flotante de magnitud suficientemente grande son enteros exactos. Los flotantes de Python normalmente no tienen más de 53 bits de precisión (lo mismo que el tipo double de C en la plataforma), en cuyo caso cualquier flotante x con abs(x) >= 2**52 no necesariamente tiene bits fraccionarios.

Funciones logarítmicas y exponenciales

math.cbrt(x)

Retorna la raíz cúbica de x.

Nuevo en la versión 3.11.

math.exp(x)

Retorna e elevado a la x potencia, dónde e = 2.718281… es la base de los logaritmos naturales. Esto generalmente es más preciso que math.e ** x o pow(math.e, x).

math.exp2(x)

Retorna 2 elevado a la potencia x.

Nuevo en la versión 3.11.

math.expm1(x)

Retorna e elevado a la x potencia, menos 1. Aquí e es la base de los logaritmos naturales. Para flotantes x pequeños, la resta en exp(x) - 1 puede resultar en una pérdida significativa de precisión; la función expm1() proporciona una forma de calcular este valor con una precisión total:

>>> from math import exp, expm1
>>> exp(1e-5) - 1  # gives result accurate to 11 places
1.0000050000069649e-05
>>> expm1(1e-5)    # result accurate to full precision
1.0000050000166668e-05

Nuevo en la versión 3.2.

math.log(x[, base])

Con un argumento, retorna el logaritmo natural de x (en base e).

Con dos argumentos, retorna el logaritmo de x en la base dada, calculado como log(x)/log(base).

math.log1p(x)

Retorna el logaritmo natural de 1+x (base e). El resultado se calcula de forma precisa para x cercano a cero.

math.log2(x)

Retorna el logaritmo en base 2 de x. Esto suele ser más preciso que log(x, 2).

Nuevo en la versión 3.3.

Ver también

int.bit_length() retorna el número de bits necesarios para representar un entero en binario, excluyendo el signo y los ceros iniciales.

math.log10(x)

Retorna el logaritmo en base 10 de x. Esto suele ser más preciso que log(x, 10).

math.pow(x, y)

Retorna x elevado a la potencia y. Los casos excepcionales siguen el estándar IEEE 754 en la medida de lo posible. En particular, pow(1.0, x) y pow(x, 0.0) siempre retornan 1.0, incluso cuando x es cero o NaN. Si tanto x como y son finitos, x es negativo e y no es un número entero, entonces pow(x, y) no está definido y se lanza una excepción ValueError.

A diferencia del operador incorporado **, math.pow() convierte ambos argumentos al tipo float. Utiliza ** o la función incorporada pow() para calcular potencias enteras exactas.

Distinto en la versión 3.11: Los casos especiales pow(0.0, -inf) y pow(-0.0, -inf) se cambiaron para devolver inf en lugar de generar ValueError, por consistencia con IEEE 754.

math.sqrt(x)

Retorna la raíz cuadrada de x.

Funciones trigonométricas

math.acos(x)

Retorna el arcocoseno de x, en radianes. El resultado está entre 0 y pi.

math.asin(x)

Retorna el arcoseno de x, en radianes. El resultado está entre -pi/2 y pi/2.

math.atan(x)

Retorna la arcotangente de x, en radianes. El resultado está entre -pi/2 y pi/2.

math.atan2(y, x)

Retorna atan(y / x), en radianes. El resultado está entre -pi y pi. El vector del plano que va del origen al punto (x, y), forma este ángulo con el eje X positivo. La ventaja de atan2() es que el signo de ambas entradas es conocido, por lo que se puede calcular el cuadrante correcto para el ángulo. Por ejemplo, atan(1) y atan2(1, 1) son ambas pi/4, pero atan2(-1, -1) es -3*pi/4.

math.cos(x)

Retorna el coseno de x radianes.

math.dist(p, q)

Retorna la distancia euclidiana entre dos puntos p y q, cada uno de ellos dado como una secuencia (o iterable) de coordenadas. Los dos puntos deben tener la misma dimensión.

Aproximadamente equivalente a:

sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))

Nuevo en la versión 3.8.

math.hypot(*coordinates)

Retorna la norma euclidiana, sqrt(sum(x**2 for x in coordinates)). Esta es la longitud del vector que va desde el origen hasta el punto dado por las coordenadas.

Para un punto bidimensional (x, y), esto equivale a calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras, sqrt(x*x + y*y).

Distinto en la versión 3.8: Agregado soporte para puntos n-dimensionales. Anteriormente, solo se admitía el caso bidimensional.

Distinto en la versión 3.10: Se mejoró la precisión del algoritmo para que el error máximo sea inferior a 1 ulp (unidad en último lugar). Más típicamente, el resultado casi siempre se redondea correctamente dentro de 1/2 ulp.

math.sin(x)

Retorna el seno de x radianes.

math.tan(x)

Retorna la tangente de x radianes.

Conversión angular

math.degrees(x)

Convierte el ángulo x de radianes a grados.

math.radians(x)

Convierte el ángulo x de grados a radianes.

Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas pero basadas en hipérbolas en lugar de en círculos.

math.acosh(x)

Retorna el coseno hiperbólico inverso de x.

math.asinh(x)

Retorna el seno hiperbólico inverso de x.

math.atanh(x)

Retorna la tangente hiperbólica inversa de x.

math.cosh(x)

Retorna el coseno hiperbólico de x.

math.sinh(x)

Retorna el seno hiperbólico de x.

math.tanh(x)

Retorna la tangente hiperbólica de x.

Funciones especiales

math.erf(x)

Retorna la función error en x.

The erf() function can be used to compute traditional statistical functions such as the cumulative standard normal distribution:

def phi(x):
    'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
    return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

Nuevo en la versión 3.2.

math.erfc(x)

Retorna la función error complementaria en x. La función error complementaria se define como 1.0 - erf(x). Se usa para valores grandes de x donde una resta de 1 causaría una pérdida de presición.

Nuevo en la versión 3.2.

math.gamma(x)

Retorna la función gamma en x.

Nuevo en la versión 3.2.

math.lgamma(x)

Retorna el logaritmo natural del valor absoluto de la función gamma en x.

Nuevo en la versión 3.2.

Constantes

math.pi

La constante matemática π = 3.141592…, hasta la precisión disponible.

math.e

La constante matemática e = 2.718281…, hasta la precisión disponible.

math.tau

La constante matemática τ = 6.283185…, hasta la precisión disponible. Tau es una constante del círculo igual a 2π, la razón entre la circunferencia de un círculo y su radio. Para obtener más información sobre Tau, consulta el video de Vi Hart, Pi is (still) Wrong, y comienza a celebrar el el día de Tau ¡comiendo el doble de tarta!

Nuevo en la versión 3.6.

math.inf

Un valor infinito positivo en punto flotante. (Para un valor infinito negativo, usa -math.inf.) Equivalente a la salida de float('inf').

Nuevo en la versión 3.5.

math.nan

Un valor de punto flotante «no es un número» (NaN). Equivalente a la salida de float('nan'). Debido a los requisitos del estándar IEEE-754, math.nan y float('nan') no se consideran iguales a ningún otro valor numérico, incluidos ellos mismos. Para verificar si un número es NaN, use la función isnan() para probar NaN en lugar de is o ==. Ejemplo:

>>> import math
>>> math.nan == math.nan
False
>>> float('nan') == float('nan')
False
>>> math.isnan(math.nan)
True
>>> math.isnan(float('nan'))
True

Nuevo en la versión 3.5.

Distinto en la versión 3.11: Ahora está siempre disponible.

Detalles de implementación de CPython: El módulo math consiste principalmente en delgados envoltorios alrededor de las funciones matemáticas de la biblioteca de C de la plataforma. El comportamiento en casos excepcionales sigue el Anexo F del estándar C99 cuando corresponda. La implementación actual lanzará un ValueError para operaciones no válidas como sqrt(-1.0) o log(0.0) (donde el estándar C99 recomienda señalar que la operación no es válida o que hay división entre cero), y un OverflowError para aquellos resultados de desbordamiento (por ejemplo, exp(1000.0)). No se retornará NaN para ninguna de las funciones anteriores, a no ser que al menos uno de los argumentos de la función sea NaN. En este caso, la mayoría de las funciones retornan NaN, pero de nuevo (de acuerdo con el apéndice F del estándar C99) hay algunas excepciones a esta regla, por ejemplo pow(float('nan'), 0.0) o hypot(float('nan'), float('inf')).

Ten en cuenta que Python no hace ningún esfuerzo por distinguir los NaN de señalización de los NaN silenciosos, y el comportamiento de señalización de los NaN permanece sin especificar. El comportamiento estándar es tratar a todos los NaN como silenciosos.

Ver también

Módulo cmath

Versiones de muchas de estas funciones para números complejos.