# `random` --- 產生偽隨機數

原始碼：Lib/random.py

本章中所提及的 module（模組）用來實現各種分佈的虛擬隨機數產生器。

對於整數，可以從範圍中進行均勻選擇。對於序列，有一個隨機元素的均勻選擇，一個用來原地 (in-place) 產生隨機排列清單的函式，以及一個用來隨機取樣不重置的函式。

在實數線上，有一些函式用於處理均勻分佈、常態分佈（高斯分佈）、對數常態分佈、負指數分佈、gamma 分佈和 Beta 分佈。對於產生角度分佈，可以使用馮·米塞斯分佈 (von Mises distribution)。

幾乎所有 module 函式都相依於基本函式 `random()`，此函式在半開放範圍 `0.0 <= X < 1.0` 內均勻地產生一個隨機 float（浮點數）。Python 使用 Mersenne Twister（梅森旋轉演算法）作為核心的產生器，它產生 53 位元精度 float，其週期為 2**19937-1，透過 C 語言進行底層的實作既快速又支援執行緒安全 (threadsafe)。Mersenne Twister 是現存最廣泛被驗證的隨機數產生器之一，但是基於完全確定性，它並不適合所有目的，並且完全不適合加密目的。

該 module 提供的函式實際上是 `random.Random` class（類別）中一個隱藏實例的綁定方法 (bound method)。你可以實例化自己的 `Random` 實例，以得到不共享狀態的產生器。

如果你想使用你自己設計的基本產生器，`Random` 也可以進行子類別化 (subclass)。有關詳細資訊，請參考該類別的文件。

`random` module 也提供了 `SystemRandom` class，使用系統函式 `os.urandom()` 從作業系統提供的來源產生隨機數。

警告

本章所提及的虛擬隨機數產生器不應該使用於安全目的。有關安全性或加密用途，請參考 `secrets` module。

也參考

M. Matsumoto and T. Nishimura, "Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator", ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation Vol. 8, No. 1, January pp.3--30 1998.

進位互補乘法 (Complementary-Multiply-with-Carry) 用法，可作為隨機數產生器的一個可相容替代方案，具有較長的週期和相對簡單的更新操作。

備註

全域隨機數產生器和 `Random` 的實例是執行緒安全的。然而，在自由執行緒構建中，對全域產生器或同一 `Random` 實例的並行呼叫可能會遇到爭用和性能不佳。請考慮改為每個執行緒使用單獨的 `Random` 實例。

## 簿記函式 (bookkeeping functions)

random.seed(a=None, version=2)

  初始化隨機數產生器。

  如果 a 被省略或為 `None`，則使用目前系統時間。如果隨機來源由作業系統提供，則使用它們而不是系統時間（有關可用性的詳細資訊，請參考 `os.urandom()` 函式）。

  如果 a 為 int（整數），則直接使用它。

  如使用版本 2（預設值），`str`、`bytes` 或 `bytearray` 物件將轉換為 `int`，並使用其所有位元。

  若使用版本 1（為復現於舊版本 Python 中產生隨機序列而提供），`str` 和 `bytes` 的演算法會產生範圍更窄的種子 (seed)。

  在 3.2 版的變更: 移至版本 2 方案，該方案使用字串種子中的所有位元。

  在 3.11 版的變更: seed 必須是以下型別之一：`None`、`int`、`float`、`str`、`bytes`、`bytearray`。

random.getstate()

  回傳一個物件，捕獲產生器的目前內部狀態。此物件可以傳遞給 `setstate()` 以恢復狀態。

random.setstate(state)

  state 應該要從之前對 `getstate()` 的呼叫中獲得，並且以 `setstate()` 將產生器的內部狀態恢復到呼叫 `getstate()` 時的狀態。

## 回傳位元組的函式

random.randbytes(n)

  產生 n 個隨機位元組。

  此方法不應使用於產生安全性權杖 (Token)。請改用 `secrets.token_bytes()`。

  在 3.9 版被加入.

## 回傳整數的函式

random.randrange(stop)
random.randrange(start, stop[, step])

  傳回從 `range(start, stop, step)` 中隨機選擇的元素。

  這大致相當於 `choice(range(start, stop, step))`，但支援任意大的範圍，並針對常見情況進行了最佳化。

  位置引數模式與 `range()` 函式相符。

  不應使用關鍵字引數，因為它們可能會以意想不到的方式被直譯。例如 `randrange(start=100)` 會被直譯為 `randrange(0, 100, 1)`。

  在 3.2 版的變更: `randrange()` 在產生均勻分佈的值方面更為複雜。以前，它使用像 `int(random()*n)` 這樣的樣式，這可能會產生稍微不均勻的分佈。

  在 3.12 版的變更: 已經不再支援非整數類型到等效整數的自動轉換。像是 `randrange(10.0)` 和 `randrange(Fraction(10, 1))` 的呼叫將會引發 `TypeError`。

random.randint(a, b)

  回傳一個隨機整數 N，使得 `a <= N <= b`。為 `randrange(a, b+1)` 的別名。

random.getrandbits(k)

  回傳一個具有 k 個隨機位元的非負 Python 整數。此方法會隨 Mersenne Twister 產生器一起提供，一些其他的產生器也可能將其作為 API 的可選部分。如果可用，`getrandbits()` 使 `randrange()` 能夠處理任意大的範圍。

  在 3.9 版的變更: 此方法現在接受 k 為零。

## 回傳序列的函式

random.choice(seq)

  從非空序列 seq 回傳一個隨機元素。如果 seq 為空，則引發 `IndexError`。

random.choices(population, weights=None, *, cum_weights=None, k=1)

  回傳從 population 中重置取樣出的一個大小為 k 的元素 list。如果 population 為空，則引發 `IndexError`。

  如果指定了 weights 序列，則根據相對權重進行選擇。另外，如果給定 cum_weights 序列，則根據累積權重進行選擇（可能使用 `itertools.accumulate()` 計算）。例如，相對權重 `[10, 5, 30, 5]` 等同於累積權重 `[10, 15, 45, 50]`。在內部，相對權重在進行選擇之前會轉換為累積權重，因此提供累積權重可以節省工作。

  如果既未指定 weights 也未指定 cum_weights，則以相等的機率進行選擇。如果提供了加權序列，則該序列的長度必須與 population 序列的長度相同。它是一個 `TypeError` 來指定 weights 和 cum_weights。

  weights 或 cum_weights 可以使用任何與 `random()` 所回傳的 `float` 值（包括整數、float 和分數，但不包括小數）交互操作 (interoperates) 的數值類型。權重假定為非負數和有限的。如果所有權重均為零，則引發 `ValueError`。

  對於給定的種子，具有相等權重的 `choices()` 函式通常產生與重複呼叫 `choice()` 不同的序列。`choices()` 使用的演算法使用浮點運算來實現內部一致性和速度。`choice()` 使用的演算法預設為整數運算和重複選擇，以避免捨入誤差產生的小偏差。

  在 3.6 版被加入.

  在 3.9 版的變更: 如果所有權重均為零，則引發 `ValueError`。

random.shuffle(x)

  將序列 x 原地 (in place) 隨機打亂位置。

  要打亂一個不可變的序列並回傳一個新的被打亂的 list（串列），請使用 `sample(x, k=len(x))`。

  請注意，即使對於較小的 `len(x)`，x 的置換總數也會快速成長到大於大多數隨機數產生器的週期。這意味著長序列的大多數置換永遠無法產生。例如，長度為 2080 的序列是 Mersenne Twister 隨機數產生器週期內可以容納的最大序列。

  在 3.11 版的變更: 移除可選參數 random。

random.sample(population, k, *, counts=None)

  回傳從母體序列中選擇出的一個包含獨特元素、長度為 k 的 list。用於不重置的隨機取樣。

  回傳包含母體元素的新清單，同時保持原始母體不變。產生的清單按選擇順序排列，因此所有子切片也會是有效的隨機樣本。這允許抽獎獲獎者（樣本）分為大獎和第二名獲獎者（子切片）。

  母體成員不必是 hashable 或唯一的。如果母體包含重複項，則每次出現都是樣本中可能出現的一個選擇。

  可以一次指定一個重複元素，也可以使用可選的僅關鍵字 counts 參數指定重複元素。例如 `sample(['red', 'blue'], counts=[4, 2], k=5)` 等同於 `sample(['red', 'red', 'red', 'red', 'blue', 'blue'], k=5)`。

  若要從整數範圍中選擇範例，請使用 `range()` 物件作為引數。這對於從大型母體中取樣特別快速且節省空間：`sample(range(10000000), k=60)`。

  如果樣本大小大於母體大小，`ValueError` 會被引發。

  在 3.9 版的變更: 新增 counts 參數。

  在 3.11 版的變更: population 必須是一個序列。不再支援將 set 自動轉換為 list。

## 離散分布

以下函式產生離散分佈。

random.binomialvariate(n=1, p=0.5)

  二項分佈 (Binomial distribution)。回傳 n 個獨立試驗的成功次數，每個試驗的成功機率為 p：

  數學上等價於：

      sum(random() < p for i in range(n))

  試驗次數 n 應為非負整數。成功的機率 p 應在 `0.0 <= p <= 1.0` 之間。結果是 `0 <= X <= n` 範圍內的整數。

  在 3.12 版被加入.

## 實數分布

以下函式產生特定的實數分佈。函式參數以分佈方程中的對應變數命名，如常見的數學實踐所示；這些方程式中的大多數都可以在任意統計文本中找到。

random.random()

  回傳範圍 `0.0 <= X < 1.0` 中的下一個隨機浮點數

random.uniform(a, b)

  回傳一個隨機浮點數 N，當 `a <= b` 時確保 N 為 `a <= N <= b` 、`b < a` 時確保 N 為 `b <= N <= a`。

  終點值 `b` 可能包含在範圍內，也可能不包含在範圍內，取決於運算式 `a + (b-a) * random()` 中的浮點捨入。

random.triangular(low, high, mode)

  回傳一個隨機浮點數 N，使得 `low <= N <= high`，並在這些邊界之間具有指定的 mode。low 和 high 邊界預設為零和一。mode 引數預設為邊界之間的中點，從而給出對稱分佈。

random.betavariate(alpha, beta)

  Beta（貝它）分布。參數的條件為 `alpha > 0` 和 `beta > 0`。回傳值的範圍介於 0 和 1 之間。

random.expovariate(lambd=1.0)

  指數分佈。lambd 為 1.0 除以所需的平均數。它應該不為零。（該參數將被稱為 "lambda"，但這是 Python 中的保留字）如果 lambd 為正，則回傳值的範圍從 0 到正無窮大；如果 lambd 為負，則回傳值的範圍從負無窮大到 0。

  在 3.12 版的變更: 新增 `lambd` 的預設值。

random.gammavariate(alpha, beta)

  Gamma（伽瑪）分佈。（不是 Gamma 函式！）。形狀 (shape) 和比例 (scale) 參數 alpha 和 beta 必須具有正值。（根據呼叫習慣不同，部分來源會將 'beta' 定義為比例的倒數）。

  Probability distribution function（機率密度函式）是：

                x ** (alpha - 1) * math.exp(-x / beta)
      pdf(x) =  --------------------------------------
                  math.gamma(alpha) * beta ** alpha

random.gauss(mu=0.0, sigma=1.0)

  常態分佈，也稱為高斯分佈。mu 是平均數，sigma 是標準差。這比下面定義的 `normalvariate()` 函式快一點。

  多執行緒須注意：當兩個執行緒同時呼叫此函式時，它們可能會收到相同的傳回值。這可以透過三種方式避免。1）讓每個執行緒使用隨機數產生器的不同實例。2）在所有呼叫周圍加鎖。3）使用較慢但執行緒安全的 `normalvariate()` 函式代替。

  在 3.11 版的變更: mu 和 sigma 現在有預設引數。

random.lognormvariate(mu, sigma)

  對數常態分佈。如果你取此分佈的自然對數，你將獲得一個具有平均數 mu 和標準差 sigma 的常態分佈。mu 可以為任何值，並且 sigma 必須大於零。

random.normalvariate(mu=0.0, sigma=1.0)

  常態分佈。mu 是平均數，sigma 是標準差。

  在 3.11 版的變更: mu 和 sigma 現在有預設引數。

random.vonmisesvariate(mu, kappa)

  mu 是平均角度，以 0 到 2*pi 之間的弧度表示，kappa 是濃度參數，必須大於或等於零。如果 kappa 等於零，則此分佈在 0 到 2*pi 的範圍內將減小為均勻的隨機角度。

random.paretovariate(alpha)

  Pareto distribution（柏拉圖分佈）。alpha 是形狀參數。

random.weibullvariate(alpha, beta)

  Weibull distribution（韋伯分佈）。alpha 是比例參數，beta 是形狀參數。

## 替代產生器

class random.Random([seed])

  實現 `random` 模組使用的預設偽隨機數產生器的 class。

  在 3.11 版的變更: 過去 seed 可以是任何可雜湊物件，但現在必須是以下類型之一：`None`、`int`、`float`、`str`、`bytes`、`bytearray`。

  如果 `Random` 的子類別希望使用不同的基礎產生器，則應該覆寫以下方法：

  seed(a=None, version=2)

    在子類別中覆寫此方法以自訂 `Random` 實例的 `seed()` 行為。

  getstate()

    在子類別中覆寫此方法以自訂 `Random` 實例的 `getstate()` 行為。

  setstate(state)

    在子類別中覆寫此方法以自訂 `Random` 實例的 `setstate()` 行為。

  random()

    在子類別中覆寫此方法以自訂 `Random` 實例的 `random()` 行為。

  或者，自訂產生器子類別還可以提供以下方法：

  getrandbits(k)

    在子類別中覆寫此方法以自訂 `Random` 實例的 `getrandbits()` 行為。

  randbytes(n)

    在子類別中覆寫此方法以自訂 `Random` 實例的 `randbytes()` 行為。

class random.SystemRandom([seed])

  使用 `os.urandom()` 函式從作業系統提供的來源產生隨機數的 Class。並非在所有系統上都可用。不依賴於軟體狀態，並且序列不可復現。因此 `seed()` 方法沒有效果且被忽略。如果呼叫 `getstate()` 和 `setstate()` 方法會引發 `NotImplementedError`。

## 關於 Reproducibility（復現性）的注意事項

有時，能夠重現偽隨機數產生器給出的序列很有用。只要多執行緒未運行，透過重複使用種子值，同一序列就應該可以被復現。

大多數隨機 module 的演算法和 seed 設定函式在 Python 版本中可能會發生變化，但可以保證兩個方面不會改變：

- 如果增加了新的 seed 設定函式，則將提供向後相容的播種器 (seeder)。

- 當相容的播種器被賦予相同的種子時，產生器的 `random()` 方法將持續產生相同的序列。

## 範例

基礎範例：

    >>> random()                          # 隨機浮點數：0.0 <= x < 1.0
    0.37444887175646646

    >>> uniform(2.5, 10.0)                # 隨機浮點數：2.5 <= x <= 10.0
    3.1800146073117523

    >>> expovariate(1 / 5)                # 到達間隔平均為 5 秒
    5.148957571865031

    >>> randrange(10)                     # 0 到 9（含）的整數
    7\n

    >>> randrange(0, 101, 2)              # 0 到 100（含）的偶數整數
    26\n

    >>> choice(['win', 'lose', 'draw'])   # 從序列中隨機選取單一元素
    'draw'

    >>> deck = 'ace two three four'.split()
    >>> shuffle(deck)                     # 打亂串列
    >>> deck
    ['four', 'two', 'ace', 'three']

    >>> sample([10, 20, 30, 40, 50], k=4) # 四個無重置的樣本
    [40, 10, 50, 30]

模擬：

    >>> # 六次輪盤旋轉（有重置的加權抽樣）
    >>> choices(['red', 'black', 'green'], [18, 18, 2], k=6)
    ['red', 'green', 'black', 'black', 'red', 'black']

    >>> # 從一副 52 張撲克牌中無重置發 20 張牌
    >>> # 並確定具有十點值的牌的比例：十、傑克、王后或國王
    >>> deal = sample(['tens', 'low cards'], counts=[16, 36], k=20)
    >>> deal.count('tens') / 20
    0.15

    >>> # 估計從 7 次旋轉中得到 5 次或更多正面的概率
    >>> # 使用一枚 60% 概率為正面的偏幣
    >>> sum(binomialvariate(n=7, p=0.6) >= 5 for i in range(10_000)) / 10_000
    0.4169

    >>> # 計算 5 個樣本的中位數位於中間兩個四分位數的概率
    >>> def trial():
    ...     return 2_500 <= sorted(choices(range(10_000), k=5))[2] < 7_500
    ...
    >>> sum(trial() for i in range(10_000)) / 10_000
    0.7958

統計 bootstrapping（自助法）的範例，使用有重置的重新取樣來估計樣本平均數的信賴區間：

    # https://www.thoughtco.com/example-of-bootstrapping-3126155
    from statistics import fmean as mean
    from random import choices

    data = [41, 50, 29, 37, 81, 30, 73, 63, 20, 35, 68, 22, 60, 31, 95]
    means = sorted(mean(choices(data, k=len(data))) for i in range(100))
    print(f'The sample mean of {mean(data):.1f} has a 90% confidence '
          f'interval from {means[5]:.1f} to {means[94]:.1f}')

重新取樣排列測試的範例，來確定觀察到的藥物與安慰劑之間差異的統計學意義或 p 值：

    # 範例來自 Dennis Shasha 和 Manda Wilson 的 "Statistics is Easy"
    from statistics import fmean as mean
    from random import shuffle

    drug = [54, 73, 53, 70, 73, 68, 52, 65, 65]
    placebo = [54, 51, 58, 44, 55, 52, 42, 47, 58, 46]
    observed_diff = mean(drug) - mean(placebo)

    n = 10_000
    count = 0
    combined = drug + placebo
    for i in range(n):
        shuffle(combined)
        new_diff = mean(combined[:len(drug)]) - mean(combined[len(drug):])
        count += (new_diff >= observed_diff)

    print(f'{n} 次標籤重新洗牌僅產生 {count} 個差異實例')
    print(f'至少與觀察到的差異 {observed_diff:.1f} 一樣極端。')
    print(f'單邊 p 值 {count / n:.4f} 使我們拒絕無效假設')
    print(f'即藥物與安慰劑之間沒有差異。')

模擬多伺服器佇列 (queue) 的到達時間與服務交付：

    from heapq import heapify, heapreplace
    from random import expovariate, gauss
    from statistics import mean, quantiles

    average_arrival_interval = 5.6
    average_service_time = 15.0
    stdev_service_time = 3.5
    num_servers = 3

    waits = []
    arrival_time = 0.0
    servers = [0.0] * num_servers  # 每個伺服器可用的時間
    heapify(servers)
    for i in range(1_000_000):
        arrival_time += expovariate(1.0 / average_arrival_interval)
        next_server_available = servers[0]
        wait = max(0.0, next_server_available - arrival_time)
        waits.append(wait)
        service_duration = max(0.0, gauss(average_service_time, stdev_service_time))
        service_completed = arrival_time + wait + service_duration
        heapreplace(servers, service_completed)

    print(f'平均等待時間：{mean(waits):.1f}   最大等待時間：{max(waits):.1f}')
    print('四分位數：', [round(q, 1) for q in quantiles(waits)])

也參考

Statistics for Hackers 是由 Jake Vanderplas 製作的教學影片，僅使用幾個基本概念（包括模擬、取樣、洗牌、交叉驗證）進行統計分析。

Economics Simulation是由 Peter Norvig 對市場進行的模擬，顯示了該模組提供的許多工具和分佈（高斯、均勻、樣本、 beta 變數、選擇，三角形、隨機數）的有效使用。

機率的具體介紹（使用Python）為 Peter Norvig 的教學課程，涵蓋了機率理論的基礎知識與如何模擬以及使用 Python 執行數據分析。

## 使用方案

這些使用方案展示了如何有效地從 `itertools` 模組的組合疊代器 (combinatoric iterators) 中進行隨機選擇：

    def random_product(*args, repeat=1):
        "從 itertools.product(*args, **kwds) 中隨機選擇"
        pools = [tuple(pool) for pool in args] * repeat
        return tuple(map(random.choice, pools))

    def random_permutation(iterable, r=None):
        "從 itertools.permutations(iterable, r) 中隨機選擇"
        pool = tuple(iterable)
        r = len(pool) if r is None else r
        return tuple(random.sample(pool, r))

    def random_combination(iterable, r):
        "從 itertools.combinations(iterable, r) 中隨機選擇"
        pool = tuple(iterable)
        n = len(pool)
        indices = sorted(random.sample(range(n), r))
        return tuple(pool[i] for i in indices)

    def random_combination_with_replacement(iterable, r):
        "有重置地選擇 r 個元素。結果按可疊代物件排序。"
        # 結果將在 set(itertools.combinations_with_replacement(iterable, r)) 中
        pool = tuple(iterable)
        n = len(pool)
        indices = sorted(random.choices(range(n), k=r))
        return tuple(pool[i] for i in indices)

預設的 `random()` 回傳 0.0 ≤ x < 1.0 範圍內 2⁻⁵³ 的倍數。所有數字都是均勻分佈的，並且可以完全表示為 Python float。但是，該間隔中的許多其他可表示的 float 不是可能的選擇。 例如 `0.05954861408025609` 不是 2⁻⁵³ 的整數倍。

以下範例採用不同的方法。間隔中的所有 float 都是可能的選擇。尾數來自 2⁵² ≤ 尾數 < 2⁵³ 範圍內的整數均勻分佈。指數來自幾何分佈，其中小於 -53 的指數的出現頻率是下一個較大指數的一半。

    from random import Random
    from math import ldexp

    class FullRandom(Random):

        def random(self):
            mantissa = 0x10_0000_0000_0000 | self.getrandbits(52)
            exponent = -53
            x = 0
            while not x:
                x = self.getrandbits(32)
                exponent += x.bit_length() - 32
            return ldexp(mantissa, exponent)

Class 中的所有實數分佈都將使用新方法：

    >>> fr = FullRandom()
    >>> fr.random()
    0.05954861408025609
    >>> fr.expovariate(0.25)
    8.87925541791544

該範例在概念上等效於一種演算法，該演算法從 0.0 ≤ x < 1.0 範圍內 2⁻¹⁰⁷⁴ 的所有倍數中進行選擇。這些數字都是均勻分佈的，但大多數必須向下捨入到最接近的可表示的 Python float。（2⁻¹⁰⁷⁴ 是最小為正的非正規化 float，等於 `math.ulp(0.0)`）

也參考

產生偽隨機浮點值 Allen B. Downey 的一篇論文描述了產生比通常由 `random()` 產生的 float 更 fine-grained（細粒的）的方法。

## 命令列用法

在 3.13 版被加入.

`random` 模組可以從命令列執行。

    python -m random [-h] [-c CHOICE [CHOICE ...] | -i N | -f N] [input ...]

接受以下選項：

-h, --help

  顯示幫助訊息並退出。

-c CHOICE [CHOICE ...]
--choice CHOICE [CHOICE ...]

  列印一個隨機選擇，使用 `choice()`。

-i <N>
--integer <N>

  列印 1 到 N（含）之間的隨機整數，使用 `randint()`。

-f <N>
--float <N>

  列印 0 到 N（含）之間的隨機浮點數，使用 `uniform()`。

如果未給定選項，則輸出取決於輸入：

- 字串或多個：與 `--choice` 相同。

- 整數：與 `--integer` 相同。

- 浮點數：與 `--float` 相同。

## 命令列範例

以下是 `random` 命令列介面的一些範例：

    $ # 隨機選擇一個
    $ python -m random egg bacon sausage spam "Lobster Thermidor aux crevettes with a Mornay sauce"
    Lobster Thermidor aux crevettes with a Mornay sauce

    $ # 隨機整數
    $ python -m random 6
    6

    $ # 隨機浮點數
    $ python -m random 1.8
    1.7080016272295635

    $ # 使用明確的引數
    $ python  -m random --choice egg bacon sausage spam "Lobster Thermidor aux crevettes with a Mornay sauce"
    egg

    $ python -m random --integer 6
    3

    $ python -m random --float 1.8
    1.5666339105010318

    $ python -m random --integer 6
    5

    $ python -m random --float 6
    3.1942323316565915