# `cmath` --- 複數的數學函式

本模組提供一些適用於複數的數學函式。本模組中的函式接受整數、浮點數或複數作為引數。它們也接受任何具有 `__complex__()` 或 `__float__()` 方法的 Python 物件：這些方法分別用於將物件轉換為複數或浮點數，然後再將函式應用於轉換後的結果。

備註

對於涉及分枝切割 (branch cut) 的函式，我們面臨的問題是決定如何定義在切割本身上的這些函式。遵循 Kahan 的論文 "Branch cuts for complex elementary functions"，以及 C99 的附錄 G 和後來的 C 標準，我們使用零符號來區分分枝切割的兩側：對於沿著（一部分）實數軸的分枝切割，我們查看虛部的符號，而對於沿虛軸的分枝切割，我們則查看實部的符號。

例如 `cmath.sqrt()` 函式具有一條沿負實軸的分枝切割。 引數 `complex(-2.0, -0.0)` 被視為位於分枝切割 下方 處理，因此給出的結果在負虛軸上：

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
    -1.4142135623730951j

但是引數 `complex(-2.0, 0.0)` 會被當成位於分枝切割上方處理：

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
    1.4142135623730951j

## 轉換到極座標和從極座標做轉換

Python 複數 `z` 是用 直角坐標 或 笛卡爾坐標 儲存在內部的。它完全是由其 實部 `z.real` 和 虛部 `z.imag` 所決定。

極座標 提供了另一種表示複數的方法。在極座標中，複數 z 由絕對值 (modulus) r 和相位角 (phase) phi 定義。絕對值 r 是從 z 到原點的距離，而相位角 phi 是從正 x 軸到連接原點到 z 的線段的逆時針角度（以弧度為單位）。

以下的函式可用於原始直角座標與極座標之間的相互轉換。

cmath.phase(x)

  以浮點數的形式回傳 x 的相位角（也稱為 x 的 引數 ）。 `phase(x)` 等價於 `math.atan2(x.imag, x.real)`。結果將位於 [-π, π] 的範圍內，且此操作的分枝切割將位於負實軸上。結果的符號會與 `x.imag` 的符號相同，即使 `x.imag` 為零：

      >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
      3.141592653589793
      >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
      -3.141592653589793

備註

複數 x 的絕對值可以使用內建的 `abs()` 函式計算。沒有單獨的 `cmath` 模組函式適用於此操作。

cmath.polar(x)

  回傳 x 在極座標中的表達方式。回傳一組數對 `(r, phi)`， r 是 x 的絕對值， phi 是 x 的相位角。 `polar(x)` 相當於 `(abs(x), phase(x))`。

cmath.rect(r, phi)

  透過極座標 r 和 phi 回傳複數 x。相當於 `complex(r * math.cos(phi), r * math.sin(phi))`。

## 冪函數和對數函數

cmath.exp(x)

  回傳 e 的 x 次方，其中 e 是自然對數的底數。

cmath.log(x[, base])

  回傳 x 給定 base 的對數。如果未指定 base，則傳回 x 的自然對數。存在一條分枝切割，從 0 沿負實數軸到 -∞。

cmath.log10(x)

  回傳 x 以 10 為底的對數。它與 `log()` 具有相同的分枝切割。

cmath.sqrt(x)

  回傳 x 的平方根。它與 `log()` 具有相同的分枝切割。

## 三角函數

cmath.acos(x)

  回傳 x 的反餘弦值。存在兩條分枝切割：一條是從 1 沿著實數軸向右延伸到 ∞。另一條從 -1 沿實數軸向左延伸到 -∞。

cmath.asin(x)

  回傳 x 的反正弦值。它與 `acos()` 具有相同的分枝切割。

cmath.atan(x)

  回傳 x 的反正切值。有兩條分枝切割：一條是從 `1j` 沿著虛軸延伸到 `∞j`。另一條從 `-1j` 沿著虛軸延伸到 `-∞j`。

cmath.cos(x)

  回傳 x 的餘弦值。

cmath.sin(x)

  回傳 x 的正弦值。

cmath.tan(x)

  回傳 x 的正切值。

## 雙曲函數

cmath.acosh(x)

  回傳 x 的反雙曲餘弦值。存在一條分枝切割，從 1 沿實數軸向左延伸到 -∞。

cmath.asinh(x)

  回傳 x 的反雙曲正弦值。存在兩條分枝切割：一條是從 `1j` 沿著虛軸延伸到 `∞j`。另一條從 `-1j` 沿著虛軸延伸到 `-∞j`。

cmath.atanh(x)

  回傳 x 的反雙曲正切值。存在兩條分枝切割：一條是從 `1` 沿著實數軸延伸到 `∞`。另一條從 `-1` 沿著實數軸延伸到 `-∞`。

cmath.cosh(x)

  回傳 x 的反雙曲餘弦值。

cmath.sinh(x)

  回傳 x 的反雙曲正弦值。

cmath.tanh(x)

  回傳 x 的反雙曲正切值。

## 分類函式

cmath.isfinite(x)

  如果 x 的實部和虛部都是有限的，則回傳 `True`，否則回傳 `False`。

  在 3.2 版被加入.

cmath.isinf(x)

  如果 x 的實部或虛部是無窮大，則回傳 `True`，否則回傳 `False`。

cmath.isnan(x)

  如果 x 的實部或虛部為 NaN，則回傳 `True`，否則回傳 `False`。

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

  如果 a 和 b 的值相互接近，則回傳 `True`，否則回傳 `False`。

  兩個值是否被認為相互接近是由給定的絕對和相對容許偏差 (tolerance) 所決定的。

  rel_tol 是相對容許偏差 -- 它是 a 和 b 之間的最大容許偏差值，相對於 a 或 b 的較大絕對值。例如，要設定 5% 的容許偏差，請傳遞 `rel_tol=0.05`。預設容許偏差是 `1e-09`，它確保兩個值在大約 9 位十進制數字內相同。 rel_tol 必須大於零。

  abs_tol 是最小絕對容許偏差 -- 對於接近零的比較很有用。 abs_tol 必須至少為零。

  如果未發生錯誤，結果將為： `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`。

  IEEE 754 特殊值 `NaN` 、 `inf` 和 `-inf` 將會根據 IEEE 規則進行處理。具體來說， `NaN` 不被認為接近任何其他值，包括 `NaN`。 `inf` 和 `-inf` 只被認為是接近它們自己的。

  在 3.5 版被加入.

  也參考

  PEP 485 -- 一個用來測試近似相等的函式

## 常數

cmath.pi

  數學常數 π，作為一個浮點數。

cmath.e

  數學常數 e，作為一個浮點數。

cmath.tau

  數學常數 τ，作為一個浮點數。

  在 3.6 版被加入.

cmath.inf

  正無窮大的浮點數。相當於 `float('inf')`。

  在 3.6 版被加入.

cmath.infj

  實部為零和虛部為正無窮的複數。相當於 `complex(0.0, float('inf'))`。

  在 3.6 版被加入.

cmath.nan

  浮點「非數字」 (NaN) 值。相當於 `float('nan')`。

  在 3.6 版被加入.

cmath.nanj

  實部為零和虛部為 NaN 的複數。相當於 `complex(0.0, float('nan'))`。

  在 3.6 版被加入.

請注意，函式的選擇與模組 `math` 的類似，但並不完全相同。擁有兩個模組的原因是有些用戶對複數不感興趣，甚至根本就不知道它們是什麼。他們寧願讓 `math.sqrt(-1)` 引發異常，也不願它回傳複數。另請注意， `cmath` 中所定義的函式始終都會回傳複數，即使答案可以表示為實數（在這種情況下，複數的虛部為零）。

關於分枝切割的註釋：它們是沿著給定的不連續函式的曲線。它們是許多複變函數的必要特徵。假設您需要使用複變函數進行計算，您將會了解分枝切割的概念。請參閱幾乎所有關於複變函數的（不是太初級的）書籍以獲得啟發。對於如何正確地基於數值目的選擇分枝切割的相關訊息，以下內容應該是一個很好的參考：

也參考

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165--211.