"random" --- 生成伪随机数
*************************

**源码：** Lib/random.py

======================================================================

该模块实现了各种分布的伪随机数生成器。

对于整数，从范围中有统一的选择。 对于序列，存在随机元素的统一选择、用
于生成列表的随机排列的函数、以及用于随机抽样而无需替换的函数。

在实数轴上，有计算均匀、正态（高斯）、对数正态、负指数、伽马和贝塔分布
的函数。 为了生成角度分布，可以使用 von Mises 分布。

几乎所有模块函数都依赖于基本函数 "random()" ，它在半开放区间 [0.0,1.0)
内均匀生成随机浮点数。 Python 使用 Mersenne Twister 作为核心生成器。
它产生 53 位精度浮点数，周期为 2**19937-1 ，其在 C 中的底层实现既快又
线程安全。 Mersenne Twister 是现存最广泛测试的随机数发生器之一。 但是
，因为完全确定性，它不适用于所有目的，并且完全不适合加密目的。

这个模块提供的函数实际上是 "random.Random" 类的隐藏实例的绑定方法。 你
可以实例化自己的 "Random" 类实例以获取不共享状态的生成器。

如果你想使用自己设计的不同基础生成器，类 "Random" 也可以作为子类：在这
种情况下，重载 "random()" 、 "seed()" 、 "getstate()" 以及
"setstate()" 方法。可选地，新生成器可以提供 "getrandbits()" 方法——这允
许 "randrange()" 在任意大的范围内产生选择。

"random" 模块还提供 "SystemRandom" 类，它使用系统函数 "os.urandom()"
从操作系统提供的源生成随机数。

警告:

  不应将此模块的伪随机生成器用于安全目的。 有关安全性或加密用途，请参
  阅 "secrets" 模块。

也參考:

  M. Matsumoto and T. Nishimura, "Mersenne Twister: A
  623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number
  generator", ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation
  Vol. 8, No. 1, January pp.3--30 1998.

  Complementary-Multiply-with-Carry recipe 用于兼容的替代随机数发生器
  ，具有长周期和相对简单的更新操作。


簿记功能
========

random.seed(a=None, version=2)

   初始化随机数生成器。

   如果 *a* 被省略或为 "None" ，则使用当前系统时间。 如果操作系统提供
   随机源，则使用它们而不是系统时间（有关可用性的详细信息，请参阅
   "os.urandom()" 函数）。

   如果 *a* 是 int 类型，则直接使用。

   对于版本2（默认的），"str" 、 "bytes" 或 "bytearray" 对象转换为
   "int" 并使用它的所有位。

   对于版本1（用于从旧版本的Python再现随机序列），用于 "str" 和
   "bytes" 的算法生成更窄的种子范围。

   3.2 版更變: 已移至版本2方案，该方案使用字符串种子中的所有位。

   3.9 版後已棄用: 在将来，*seed* 必须是下列类型之一: *NoneType*,
   "int", "float", "str", "bytes" 或 "bytearray"。

random.getstate()

   返回捕获生成器当前内部状态的对象。 这个对象可以传递给 "setstate()"
   来恢复状态。

random.setstate(state)

   *state* 应该是从之前调用 "getstate()" 获得的，并且 "setstate()" 将
   生成器的内部状态恢复到 "getstate()" 被调用时的状态。


用于字节数据的函数
==================

random.randbytes(n)

   生成 *n* 个随机字节。

   此方法不可用于生成安全凭据。 那应当使用 "secrets.token_bytes()"。

   3.9 版新加入.


整数用函数
==========

random.randrange(stop)
random.randrange(start, stop[, step])

   从 "range(start, stop, step)" 返回一个随机选择的元素。 这相当于
   "choice(range(start, stop, step))" ，但实际上并没有构建一个 range
   对象。

   位置参数模式匹配 "range()" 。不应使用关键字参数，因为该函数可能以意
   外的方式使用它们。

   3.2 版更變: "randrange()" 在生成均匀分布的值方面更为复杂。 以前它使
   用了像``int(random()*n)``这样的形式，它可以产生稍微不均匀的分布。

random.randint(a, b)

   返回随机整数 *N* 满足 "a <= N <= b"。相当于 "randrange(a, b+1)"。

random.getrandbits(k)

   返回具有 *k* 个随机比特位的非负 Python 整数。 此方法随
   MersenneTwister 生成器一起提供，其他一些生成器也可能将其作为 API 的
   可选部分提供。 在可能的情况下，"getrandbits()" 会启用 "randrange()"
   来处理任意大的区间。

   3.9 版更變: 此方法现在接受零作为 *k* 的值。


序列用函数
==========

random.choice(seq)

   从非空序列 *seq* 返回一个随机元素。 如果 *seq* 为空，则引发
   "IndexError"。

random.choices(population, weights=None, *, cum_weights=None, k=1)

   从*population*中选择替换，返回大小为 *k* 的元素列表。 如果
   *population* 为空，则引发 "IndexError"。

   如果指定了 *weight* 序列，则根据相对权重进行选择。 或者，如果给出
   *cum_weights* 序列，则根据累积权重（可能使用
   "itertools.accumulate()" 计算）进行选择。 例如，相对权重``[10, 5,
   30, 5]``相当于累积权重``[10, 15, 45, 50]``。 在内部，相对权重在进行
   选择之前会转换为累积权重，因此提供累积权重可以节省工作量。

   如果既未指定 *weight* 也未指定 *cum_weights* ，则以相等的概率进行选
   择。 如果提供了权重序列，则它必须与 *population* 序列的长度相同。
   一个 "TypeError" 指定了 *weights* 和*cum_weights*。

   *weights* 或 *cum_weights* 可使用 "random()" 所返回的能与 "float"
   值进行相互运算的任何数字类型（包括 int、float、Fraction 但不包括
   Decimal）。 权重为负值的行为未有定义。 如果权重为负值则将引发
   "ValueError"。

   对于给定的种子，具有相等加权的 "choices()" 函数通常产生与重复调用
   "choice()" 不同的序列。 "choices()" 使用的算法使用浮点运算来实现内
   部一致性和速度。 "choice()"  使用的算法默认为重复选择的整数运算，以
   避免因舍入误差引起的小偏差。

   3.6 版新加入.

   3.9 版更變: 如果所有权重均为负值则将引发 "ValueError"。

random.shuffle(x[, random])

   将序列 *x* 随机打乱位置。

   可选参数 *random* 是一个0参数函数，在 [0.0, 1.0) 中返回随机浮点数；
   默认情况下，这是函数 "random()" 。

   要改变一个不可变的序列并返回一个新的打乱列表，请使用``sample(x,
   k=len(x))``。

   请注意，即使对于小的 "len(x)"，*x* 的排列总数也可以快速增长，大于大
   多数随机数生成器的周期。 这意味着长序列的大多数排列永远不会产生。
   例如，长度为2080的序列是可以在 Mersenne Twister 随机数生成器的周期
   内拟合的最大序列。

   Deprecated since version 3.9, will be removed in version 3.11: 可选
   形参 *random*。

random.sample(population, k, *, counts=None)

   返回从总体序列或集合中选择的唯一元素的 *k* 长度列表。 用于无重复的
   随机抽样。

   返回包含来自总体的元素的新列表，同时保持原始总体不变。 结果列表按选
   择顺序排列，因此所有子切片也将是有效的随机样本。 这允许抽奖获奖者（
   样本）被划分为大奖和第二名获胜者（子切片）。

   总体成员不必是 *hashable* 或 unique 。 如果总体包含重复，则每次出现
   都是样本中可能的选择。

   重复的元素可以一个个地直接列出，或使用可选的仅限关键字形参 *counts*
   来指定。 例如，"sample(['red', 'blue'], counts=[4, 2], k=5)" 等价于
   "sample(['red', 'red', 'red', 'red', 'blue', 'blue'], k=5)"。

   要从一系列整数中选择样本，请使用 "range()" 对象作为参数。 对于从大
   量人群中采样，这种方法特别快速且节省空间："sample(range(10000000),
   k=60)" 。

   如果样本大小大于总体大小，则引发 "ValueError" 。

   3.9 版更變: 增加了 *counts* 形参。

   3.9 版後已棄用: 在将来，*population* 必须是一个序列。 "set" 的实例
   将不再被支持。 集合必须先转换为 "list" 或 "tuple"，最好是固定顺序以
   使抽样是可重现的。


实值分布
========

以下函数生成特定的实值分布。如常用数学实践中所使用的那样, 函数参数以分
布方程中的相应变量命名;大多数这些方程都可以在任何统计学教材中找到。

random.random()

   返回 [0.0, 1.0) 范围内的下一个随机浮点数。

random.uniform(a, b)

   返回一个随机浮点数 *N* ，当 "a <= b" 时 "a <= N <= b" ，当 "b < a"
   时 "b <= N <= a" 。

   取决于等式 "a + (b-a) * random()" 中的浮点舍入，终点 "b" 可以包括或
   不包括在该范围内。

random.triangular(low, high, mode)

   返回一个随机浮点数 *N* ，使得 "low <= N <= high" 并在这些边界之间使
   用指定的 *mode* 。 *low* 和 *high* 边界默认为零和一。 *mode* 参数默
   认为边界之间的中点，给出对称分布。

random.betavariate(alpha, beta)

   Beta 分布。 参数的条件是 "alpha > 0" 和 "beta > 0"。 返回值的范围介
   于 0 和 1 之间。

random.expovariate(lambd)

   指数分布。 *lambd* 是 1.0 除以所需的平均值，它应该是非零的。 （该参
   数本应命名为 “lambda” ，但这是 Python 中的保留字。）如果 *lambd* 为
   正，则返回值的范围为 0 到正无穷大；如果 *lambd* 为负，则返回值从负
   无穷大到 0。

random.gammavariate(alpha, beta)

   Gamma 分布。 （ *不是* gamma 函数！ ） 参数的条件是 "alpha > 0" 和
   "beta > 0"。

   概率分布函数是:

                x ** (alpha - 1) * math.exp(-x / beta)
      pdf(x) =  --------------------------------------
                  math.gamma(alpha) * beta ** alpha

random.gauss(mu, sigma)

   高斯分布。 *mu* 是平均值，*sigma* 是标准差。 这比下面定义的
   "normalvariate()" 函数略快。

   多线程注意事项：当两个线程同时调用此方法时，它们有可能将获得相同的
   返回值。 这可以通过三种办法来避免。 1) 让每个线程使用不同的随机数生
   成器实例。 2) 在所有调用外面加锁。 3) 改用速度较慢但是线程安全的
   "normalvariate()" 函数。

random.lognormvariate(mu, sigma)

   对数正态分布。 如果你采用这个分布的自然对数，你将得到一个正态分布，
   平均值为 *mu* 和标准差为 *sigma* 。 *mu* 可以是任何值，*sigma* 必须
   大于零。

random.normalvariate(mu, sigma)

   正态分布。 *mu* 是平均值，*sigma* 是标准差。

random.vonmisesvariate(mu, kappa)

   冯·米塞斯分布。 *mu* 是平均角度，以弧度表示，介于0和 2**pi* 之间，
   *kappa* 是浓度参数，必须大于或等于零。 如果 *kappa* 等于零，则该分
   布在 0 到 2**pi* 的范围内减小到均匀的随机角度。

random.paretovariate(alpha)

   帕累托分布。 *alpha* 是形状参数。

random.weibullvariate(alpha, beta)

   威布尔分布。 *alpha* 是比例参数，*beta* 是形状参数。


替代生成器
==========

class random.Random([seed])

   该类实现了 "random" 模块所用的默认伪随机数生成器。

   3.9 版後已棄用: 在将来，*seed* 必须是下列类型之一: "NoneType",
   "int", "float", "str", "bytes" 或 "bytearray"。

class random.SystemRandom([seed])

   使用 "os.urandom()" 函数的类，用从操作系统提供的源生成随机数。 这并
   非适用于所有系统。 也不依赖于软件状态，序列不可重现。 因此，
   "seed()" 方法没有效果而被忽略。 "getstate()" 和 "setstate()" 方法如
   果被调用则引发 "NotImplementedError"。


关于再现性的说明
================

有时能够重现伪随机数生成器给出的序列是很有用处的。 通过重用一个种子值
，只要没有运行多线程，相同的序列就应当可在多次运行中重现。

大多数随机模块的算法和种子函数都会在 Python 版本中发生变化，但保证两个
方面不会改变：

* 如果添加了新的播种方法，则将提供向后兼容的播种机。

* 当兼容的播种机被赋予相同的种子时，生成器的 "random()" 方法将继续产生
  相同的序列。


例子
====

基本示例:

   >>> random()                             # Random float:  0.0 <= x < 1.0
   0.37444887175646646

   >>> uniform(2.5, 10.0)                   # Random float:  2.5 <= x <= 10.0
   3.1800146073117523

   >>> expovariate(1 / 5)                   # Interval between arrivals averaging 5 seconds
   5.148957571865031

   >>> randrange(10)                        # Integer from 0 to 9 inclusive
   7

   >>> randrange(0, 101, 2)                 # Even integer from 0 to 100 inclusive
   26

   >>> choice(['win', 'lose', 'draw'])      # Single random element from a sequence
   'draw'

   >>> deck = 'ace two three four'.split()
   >>> shuffle(deck)                        # Shuffle a list
   >>> deck
   ['four', 'two', 'ace', 'three']

   >>> sample([10, 20, 30, 40, 50], k=4)    # Four samples without replacement
   [40, 10, 50, 30]

模拟:

   >>> # Six roulette wheel spins (weighted sampling with replacement)
   >>> choices(['red', 'black', 'green'], [18, 18, 2], k=6)
   ['red', 'green', 'black', 'black', 'red', 'black']

   >>> # Deal 20 cards without replacement from a deck
   >>> # of 52 playing cards, and determine the proportion of cards
   >>> # with a ten-value:  ten, jack, queen, or king.
   >>> dealt = sample(['tens', 'low cards'], counts=[16, 36], k=20)
   >>> dealt.count('tens') / 20
   0.15

   >>> # Estimate the probability of getting 5 or more heads from 7 spins
   >>> # of a biased coin that settles on heads 60% of the time.
   >>> def trial():
   ...     return choices('HT', cum_weights=(0.60, 1.00), k=7).count('H') >= 5
   ...
   >>> sum(trial() for i in range(10_000)) / 10_000
   0.4169

   >>> # Probability of the median of 5 samples being in middle two quartiles
   >>> def trial():
   ...     return 2_500 <= sorted(choices(range(10_000), k=5))[2] < 7_500
   ...
   >>> sum(trial() for i in range(10_000)) / 10_000
   0.7958

statistical bootstrapping 的示例，使用重新采样和替换来估计一个样本的均
值的置信区间:

   # http://statistics.about.com/od/Applications/a/Example-Of-Bootstrapping.htm
   from statistics import fmean as mean
   from random import choices

   data = [41, 50, 29, 37, 81, 30, 73, 63, 20, 35, 68, 22, 60, 31, 95]
   means = sorted(mean(choices(data, k=len(data))) for i in range(100))
   print(f'The sample mean of {mean(data):.1f} has a 90% confidence '
         f'interval from {means[5]:.1f} to {means[94]:.1f}')

使用 重新采样排列测试 来确定统计学显著性或者使用  p-值 来观察药物与安
慰剂的作用之间差异的示例:

   # Example from "Statistics is Easy" by Dennis Shasha and Manda Wilson
   from statistics import fmean as mean
   from random import shuffle

   drug = [54, 73, 53, 70, 73, 68, 52, 65, 65]
   placebo = [54, 51, 58, 44, 55, 52, 42, 47, 58, 46]
   observed_diff = mean(drug) - mean(placebo)

   n = 10_000
   count = 0
   combined = drug + placebo
   for i in range(n):
       shuffle(combined)
       new_diff = mean(combined[:len(drug)]) - mean(combined[len(drug):])
       count += (new_diff >= observed_diff)

   print(f'{n} label reshufflings produced only {count} instances with a difference')
   print(f'at least as extreme as the observed difference of {observed_diff:.1f}.')
   print(f'The one-sided p-value of {count / n:.4f} leads us to reject the null')
   print(f'hypothesis that there is no difference between the drug and the placebo.')

多服务器队列的到达时间和服务交付模拟:

   from heapq import heapify, heapreplace
   from random import expovariate, gauss
   from statistics import mean, median, stdev

   average_arrival_interval = 5.6
   average_service_time = 15.0
   stdev_service_time = 3.5
   num_servers = 3

   waits = []
   arrival_time = 0.0
   servers = [0.0] * num_servers  # time when each server becomes available
   heapify(servers)
   for i in range(1_000_000):
       arrival_time += expovariate(1.0 / average_arrival_interval)
       next_server_available = servers[0]
       wait = max(0.0, next_server_available - arrival_time)
       waits.append(wait)
       service_duration = max(0.0, gauss(average_service_time, stdev_service_time))
       service_completed = arrival_time + wait + service_duration
       heapreplace(servers, service_completed)

   print(f'Mean wait: {mean(waits):.1f}.  Stdev wait: {stdev(waits):.1f}.')
   print(f'Median wait: {median(waits):.1f}.  Max wait: {max(waits):.1f}.')

也參考:

  Statistics for Hackers Jake Vanderplas 撰写的视频教程，使用一些基本
  概念进行统计分析，包括模拟、抽样、改组和交叉验证。

  Economics Simulation Peter Norvig 编写的市场模拟，显示了该模块提供的
  许多工具和分布的有效使用（高斯、均匀、样本、beta变量、选择、三角和随
  机范围等）。

  A Concrete Introduction to Probability (using Python) Peter Norvig
  撰写的教程，涵盖了概率论基础知识，如何编写模拟，以及如何使用 Python
  进行数据分析。


例程
====

默认的 "random()" 返回在 *0.0 ≤ x < 1.0* 范围内 2⁻⁵³ 的倍数。 所有这些
数值间隔相等并能精确表示为 Python 浮点数。 但是在此间隔上有许多其他可
表示浮点数是不可能的选择。 例如，"0.05954861408025609" 就不是 2⁻⁵³ 的
整数倍。

以下规范程序采取了一种不同的方式。 在间隔上的所有浮点数都是可能的选择
。 它们的尾数取值来自 *2⁵² ≤ 尾数 < 2⁵³* 范围内整数的均匀分布。 指数取
值则来自几何分布，其中小于 *-53* 的指数的出现频率为下一个较大指数的一
半。

   from random import Random
   from math import ldexp

   class FullRandom(Random):

       def random(self):
           mantissa = 0x10_0000_0000_0000 | self.getrandbits(52)
           exponent = -53
           x = 0
           while not x:
               x = self.getrandbits(32)
               exponent += x.bit_length() - 32
           return ldexp(mantissa, exponent)

该类中所有的 实值分布 都将使用新的方法:

   >>> fr = FullRandom()
   >>> fr.random()
   0.05954861408025609
   >>> fr.expovariate(0.25)
   8.87925541791544

该规范程序在概念上等效于在 *0.0 ≤ x < 1.0* 范围内对所有 2⁻¹⁰⁷⁴ 的倍数
进行选择的算法。 所有这样的数字间隔都相等，但大多必须向下舍入为最接近
的 Python 浮点数表示形式。 （2⁻¹⁰⁷⁴ 这个数值是等于 "math.ulp(0.0)" 的
未经正规化的最小正浮点数。）

也參考:

  生成伪随机浮点数值 为 Allen B. Downey 所撰写的描述如何生成相比通过
  "random()" 正常生成的数值更细粒度浮点数的论文。
