9.7. "statistics" --- 數學統計函式
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3.4 版新加入.

**Source code:** Lib/statistics.py

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這個模組提供計算數值 ("Real"-valued) 資料的數學統計函式。

備註:

  除非明确注释，这些函数支持 "int", "float", "decimal.Decimal" 和
  "fractions.Fraction"。 当前不支持同其他类型（不论是否在数字塔中）的
  行为。 混合类型也是未定义且取决于具体实现的。 如果你输入由混合类型组
  成的数据，你应该能够使用 "map()" 来确保得到一致的结果，例如
  "map(float, input_data)"。


9.7.1. 平均值與中央位置量數
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這些函式計算來自一個母體或樣本的平均值或代表值。

+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "mean()"                | 數據的算術平均（平均值）。                    |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "harmonic_mean()"       | 数据的调和均值                                |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "median()"              | 數據的中位數（中間值）。                      |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "median_low()"          | 數據中較小的中位數。                          |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "median_high()"         | 數據中較大的中位數。                          |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "median_grouped()"      | 分組數據的中位數或50%處。                     |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "mode()"                | 離散資料中的眾數（出現次數最多次）。          |
+-------------------------+-----------------------------------------------+


9.7.2. 離度 (spread) 的測量
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這些函式計算母體或樣本偏離平均值的程度。

+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "pstdev()"              | 數據的母體標準差                              |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "pvariance()"           | 數據的母體變異數                              |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "stdev()"               | 數據的樣本標準差                              |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "variance()"            | 數據的樣本變異數                              |
+-------------------------+-----------------------------------------------+


9.7.3. 函式細節
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注释：这些函数不需要对提供给它们的数据进行排序。但是，为了方便阅读，大
多数例子展示的是已排序的序列。

statistics.mean(data)

   返回 *data* 的样本算术平均数，数据可是是一个序列或迭代器。

   算术平均数是数据之和与数据点个数的商。通常称作“平均数”，尽管它指示
   诸多数学平均数之一。它是数据中心位置的度量。

   若 *data* 为空，将会引发 "StatisticsError"。

   一些用法示例：

      >>> mean([1, 2, 3, 4, 4])
      2.8
      >>> mean([-1.0, 2.5, 3.25, 5.75])
      2.625

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> mean([F(3, 7), F(1, 21), F(5, 3), F(1, 3)])
      Fraction(13, 21)

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> mean([D("0.5"), D("0.75"), D("0.625"), D("0.375")])
      Decimal('0.5625')

   備註:

     The mean is strongly affected by outliers and is not a robust
     estimator for central location: the mean is not necessarily a
     typical example of the data points.  For more robust, although
     less efficient, measures of central location, see "median()" and
     "mode()".  (In this case, "efficient" refers to statistical
     efficiency rather than computational efficiency.)The sample mean
     gives an unbiased estimate of the true population mean, which
     means that, taken on average over all the possible samples,
     "mean(sample)" converges on the true mean of the entire
     population.  If *data* represents the entire population rather
     than a sample, then "mean(data)" is equivalent to calculating the
     true population mean μ.

statistics.harmonic_mean(data)

   返回 *data* 的调和均值，数据可以是序列或实数值的迭代器。

   调和均值,也叫次相反均值，所有数据的倒数的算术平均数 "mean()" 的倒数
   。比如说，数据 *a* ， *b* ， *c* 的调和均值等于 "3/(1/a + 1/b +
   1/c)" 。

   The harmonic mean is a type of average, a measure of the central
   location of the data.  It is often appropriate when averaging
   quantities which are rates or ratios, for example speeds. For
   example:

   假设一名投资者在三家公司各购买了等价值的股票，以 2.5， 3 ， 10 的
   P/E (投资/回报) 率。投资者投资组合的平均市盈率是多少？

      >>> harmonic_mean([2.5, 3, 10])  # For an equal investment portfolio.
      3.6

   Using the arithmetic mean would give an average of about 5.167,
   which is too high.

   如果 *data* 为空或者 任何一个元素的值小于零，会引发
   "StatisticsError" 。

   3.6 版新加入.

statistics.median(data)

   使用常见的“取中间两数平均值”方法，返回数字数据的中位数（中间值）。
   如果 *data* 为空，则引发 "StatisticsError" 。 *data*  可以是序列或
   迭代器。

   The median is a robust measure of central location, and is less
   affected by the presence of outliers in your data.  When the number
   of data points is odd, the middle data point is returned:

      >>> median([1, 3, 5])
      3

   当数据点的总数为偶数时，中位数将通过对两个中间值求平均进行插值得出
   ：

      >>> median([1, 3, 5, 7])
      4.0

   这适用于当你的数据是离散的，并且你不介意中位数不是实际数据点的情况
   。

   If your data is ordinal (supports order operations) but not numeric
   (doesn't support addition), you should use "median_low()" or
   "median_high()" instead.

   也參考: "median_low()", "median_high()", "median_grouped()"

statistics.median_low(data)

   Return the low median of numeric data.  If *data* is empty,
   "StatisticsError" is raised.  *data* can be a sequence or iterator.

   低中位数一定是数据集的成员。 当数据点总数为奇数时，将返回中间值。
   当其为偶数时，将返回两个中间值中较小的那个。

      >>> median_low([1, 3, 5])
      3
      >>> median_low([1, 3, 5, 7])
      3

   当你的数据是离散的，并且你希望中位数是一个实际数据点而非插值结果时
   可以使用低中位数。

statistics.median_high(data)

   Return the high median of data.  If *data* is empty,
   "StatisticsError" is raised.  *data* can be a sequence or iterator.

   高中位数一定是数据集的成员。 当数据点总数为奇数时，将返回中间值。
   当其为偶数时，将返回两个中间值中较大的那个。

      >>> median_high([1, 3, 5])
      3
      >>> median_high([1, 3, 5, 7])
      5

   当你的数据是离散的，并且你希望中位数是一个实际数据点而非插值结果时
   可以使用高中位数。

statistics.median_grouped(data, interval=1)

   Return the median of grouped continuous data, calculated as the
   50th percentile, using interpolation.  If *data* is empty,
   "StatisticsError" is raised.  *data* can be a sequence or iterator.

      >>> median_grouped([52, 52, 53, 54])
      52.5

   在下面的示例中，数据已经过舍入，这样每个值都代表数据分类的中间点，
   例如 1 是 0.5--1.5 分类的中间点，2 是 1.5--2.5 分类的中间点，3 是
   2.5--3.5 的中间点等待。 根据给定的数据，中间值应落在 3.5--4.5 分类
   之内，并可使用插值法来进行估算：

      >>> median_grouped([1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5])
      3.7

   可选参数 *interval* 表示分类间隔，默认值为 1。 改变分类间隔自然会改
   变插件结果：

      >>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=1)
      3.25
      >>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=2)
      3.5

   此函数不会检查数据点之间是否至少相隔 *interval* 的距离。

   **CPython implementation detail:** 在某些情况下，"median_grouped()"
   可以会将数据点强制转换为浮点数。 此行为在未来有可能会发生改变。

   也參考:

     * "Statistics for the Behavioral Sciences", Frederick J Gravetter
       and Larry B Wallnau (8th Edition).

     * Calculating the median.

     * Gnome Gnumeric 电子表格中的 SSMEDIAN 函数，包括 这篇讨论。

statistics.mode(data)

   Return the most common data point from discrete or nominal *data*.
   The mode (when it exists) is the most typical value, and is a
   robust measure of central location.

   If *data* is empty, or if there is not exactly one most common
   value, "StatisticsError" is raised.

   "mode" assumes discrete data, and returns a single value. This is
   the standard treatment of the mode as commonly taught in schools:

      >>> mode([1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4])
      3

   The mode is unique in that it is the only statistic which also
   applies to nominal (non-numeric) data:

      >>> mode(["red", "blue", "blue", "red", "green", "red", "red"])
      'red'

statistics.pstdev(data, mu=None)

   返回总体标准差（总体方差的平方根）。 请参阅 "pvariance()" 了解参数
   和其他细节。

      >>> pstdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
      0.986893273527251

statistics.pvariance(data, mu=None)

   Return the population variance of *data*, a non-empty iterable of
   real-valued numbers.  Variance, or second moment about the mean, is
   a measure of the variability (spread or dispersion) of data.  A
   large variance indicates that the data is spread out; a small
   variance indicates it is clustered closely around the mean.

   If the optional second argument *mu* is given, it should be the
   mean of *data*.  If it is missing or "None" (the default), the mean
   is automatically calculated.

   使用此函数可根据所有数值来计算方差。 要根据一个样本来估算方差，通常
   "variance()" 函数是更好的选择。

   如果 *data* 为空则会引发 "StatisticsError"。

   示例：

      >>> data = [0.0, 0.25, 0.25, 1.25, 1.5, 1.75, 2.75, 3.25]
      >>> pvariance(data)
      1.25

   如果你已经计算过数据的平均值，你可以将其作为可选的第二个参数 *mu*
   传入以避免重复计算：

      >>> mu = mean(data)
      >>> pvariance(data, mu)
      1.25

   This function does not attempt to verify that you have passed the
   actual mean as *mu*.  Using arbitrary values for *mu* may lead to
   invalid or impossible results.

   同样也支持使用 Decimal 和 Fraction 值：

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> pvariance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
      Decimal('24.815')

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> pvariance([F(1, 4), F(5, 4), F(1, 2)])
      Fraction(13, 72)

   備註:

     当调用时附带完整的总体数据时，这将给出总体方差 σ²。 而当调用时只
     附带一个样本时，这将给出偏置样本方差 s²，也被称为带有 N 个自由度
     的方差。If you somehow know the true population mean μ, you may
     use this function to calculate the variance of a sample, giving
     the known population mean as the second argument.  Provided the
     data points are representative (e.g. independent and identically
     distributed), the result will be an unbiased estimate of the
     population variance.

statistics.stdev(data, xbar=None)

   返回样本标准差（样本方差的平方根）。 请参阅 "variance()" 了解参数和
   其他细节。

      >>> stdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
      1.0810874155219827

statistics.variance(data, xbar=None)

   返回包含至少两个实数值的可迭代对象 *data* 的样本方差。 方差或称相对
   于均值的二阶矩，是对数据变化幅度（延展度或分散度）的度量。 方差值较
   大表明数据的散布范围较大；方差值较小表明它紧密聚集于均值附近。

   如果给出了可选的第二个参数 *xbar*，它应当是 *data* 的均值。 如果该
   参数省略或为 "None" (默认值)，则会自动进行均值的计算。

   当你的数据是总体数据的样本时请使用此函数。 要根据整个总体数据来计算
   方差，请参见 "pvariance()"。

   如果 *data* 包含的值少于两个则会引发 "StatisticsError"。

   示例：

      >>> data = [2.75, 1.75, 1.25, 0.25, 0.5, 1.25, 3.5]
      >>> variance(data)
      1.3720238095238095

   如果你已经计算过数据的平均值，你可以将其作为可选的第二个参数 *xbar*
   传入以避免重复计算：

      >>> m = mean(data)
      >>> variance(data, m)
      1.3720238095238095

   此函数不会试图检查你所传入的 *xbar* 是否为真实的平均值。 使用任意值
   作为 *xbar* 可能导致无效或不可能的结果。

   同样也支持使用 Decimal 和 Fraction 值：

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> variance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
      Decimal('31.01875')

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> variance([F(1, 6), F(1, 2), F(5, 3)])
      Fraction(67, 108)

   備註:

     这是附带贝塞尔校正的样本方差 s²，也称为具有 N-1 自由度的方差。 假
     设数据点具有代表性（即为独立且均匀的分布），则结果应当是对总体方
     差的无偏估计。如果你通过某种方式知道了真实的总体平均值 μ 则应当调
     用 "pvariance()" 函数并将该值作为 *mu* 形参传入以得到一个样本的方
     差。


9.7.4. 异常
===========

只定义了一个异常：

exception statistics.StatisticsError

   "ValueError" 的子类，表示统计相关的异常。
