15. 浮點數運算：問題與限制
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在計算機架構中，浮點數 (floating-point number) 是以基數為 2（二進位）
的小數表示。例如說，在**十進位**小數中 "0.125" 可被分為 1/10 + 2/100 +
5/1000，同樣的道理，**二進位**小數 "0.001" 可被分為 0/2 + 0/4 + 1/8。
這兩個小數有相同的數值，而唯一真正的不同在於前者以十進位表示，後者以二
進位表示。

不幸的是，大多數十進位小數無法精準地以二進位小數表示。一般的結果為，你
輸入的十進位浮點數只能由實際儲存在計算機中的二進位浮點數近似。

在十進位中，這個問題更容易被理解。以分數 1/3 為例，你可以將其近似為十
進位小數：

   0.3

或者，更好的近似：

   0.33

或者，更好的近似：

   0.333

依此類推，不論你使用多少位數表示小數，最後的結果都無法精準地表示 1/3，
但你還是能越來越精準地表示 1/3。

同樣的道理，不論你願意以多少位數表示二進位小數，十進位小數 0.1 都無法
被二進位小數精準地表達。在二進位小數中，1/10 會是一個無限循環小數：

   0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

只要你停在任何有限的位數，你就只會得到近似值。而現在大多數的計算機中，
浮點數是透過二進位分數近似的，其中分子是從最高有效位元開始，用 53 個位
元表示，分母則是以二為底的指數。在 1/10 的例子中，二進位分數為
"3602879701896397 / 2 ** 55"，而這樣的表示十分地接近，但不完全等同於
1/10 的真正數值。

由於數值顯示的方式，很多使用者並沒有發現數值是個近似值。Python 只會印
出一個十進位近似值，其近似了儲存在計算機中的二進位近似值的真正十進位數
值。在大多數的計算機中，如果 Python 真的會印出完整的十進位數值，其表示
儲存在計算機中的 0.1 的二進位近似值，它將顯示為：

   >>> 0.1
   0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

這比一般人感到有用的位數還多，所以 Python 將位數保持在可以接受的範圍，
只顯示捨入後的數值：

   >>> 1 / 10
   0.1

一定要記住，雖然印出的數字看起來是精準的 1/10，但真正儲存的數值是能表
示的二進位分數中，最接近精準數值的數。

有趣的是，有許多不同的十進位數，共用同一個最接近的二進位近似分數。例如
說：數字 "0.1" 和 "0.10000000000000001" 和
"0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625"，都由
"3602879701896397 / 2 ** 55" 近似。由於這三個十進位數值共用同一個近似
值，任何一個數值都可以被顯示，同時保持 "eval(repr(x)) == x"。

歷史上，Python 的提示字元 (prompt) 與內建的 "repr()" 函式會選擇上段說
明中有 17 個有效位元的數："0.10000000000000001"。從 Python 3.1 版開始
，Python（在大部分的系統上）現在能選擇其中最短的數並簡單地顯示為 "0.1"
。

注意，這是二進位浮點數理所當然的特性，並不是 Python 的錯誤 (bug)，更不
是你程式碼的錯誤。只要程式語言有支援硬體的浮點數運算，你將會看到同樣的
事情出現在其中（雖然有些程式語言預設不會*顯示*該差異，有些甚至是在所有
的輸出模式中都不會顯示。）

為求更優雅的輸出，你可能想要使用字串的格式化 (string formatting) 產生
限定的有效位數：

   >>> format(math.pi, '.12g')  # give 12 significant digits
   '3.14159265359'

   >>> format(math.pi, '.2f')   # give 2 digits after the point
   '3.14'

   >>> repr(math.pi)
   '3.141592653589793'

要了解一件很重要的事，在真正意義上，浮點數的表示是一種幻覺：你基本上在
捨入真正機器數值所*展示的值*。

這種幻覺可能會產生下一個幻覺。舉例來說，因為 0.1 不是真正的 1/10，把三
個 0.1 的值相加，也不會產生精準的 0.3：

   >>> .1 + .1 + .1 == .3
   False

同時，因為 0.1 不能再更接近精準的 1/10，還有 0.3 不能再更接近精準的
3/10，預先用 "round()" 函式捨入並不會有幫助：

   >>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
   False

雖然數字不會再更接近他們的精準數值，但 "round()" 函式可以對事後的捨入
有所幫助，如此一來，不精確的數值就變得可以互相比較：

   >>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
   True

二进制浮点运算会有许多这样令人惊讶的情况。 有关 "0.1" 的问题会在下面 "
表示性错误" 一节中更精确详细地描述。 请参阅 Examples of Floating Point
Problems 获取针对二进制浮点运算机制及在实践中各种常见问题的概要说明。
还可参阅 The Perils of Floating Point 获取其他常见意外现象的更完整介绍
。

如同上文的末段所述，「這個問題並沒有簡單的答案。」不過，也不必對浮點過
度擔心！Python 的 float（浮點數）運算中的誤差，是從浮點硬體繼承而來，
而在大多數的計算機上，每次運算的誤差範圍不會大於 2**53 分之 1。這對大
多數的任務來說已經相當足夠，但你需要記住，它並非十進位運算，且每一次
float 運算都可能會承受新的捨入誤差。

雖然浮點運算確實存在一些問題，但在一般情況下，如果你只是把最終結果的顯
示值，以十進位方式捨入至預期的位數，那麼仍會得到你預期的結果。"str()"
通常就能滿足要求，而若想要更細緻的控制，可參閱格式字符串语法中關於
"str.format()" method（方法）的格式規範。

對於需要精準十進位表示法的用例，可以試著用 "decimal" 模組，它可實作適
用於會計應用程式與高精確度應用程式的十進位運算。

另一種支援精準運算的格式為 "fractions" 模組，該模組基於有理數來實作運
算（因此可以精確表示像 1/3 這樣的數字）。

如果你是浮點運算的重度使用者，你應該看一下 NumPy 套件，以及由 SciPy 專
案提供的許多用於數學和統計學運算的其他套件。請參閱 <https://scipy.org>
。

在罕見情況下，當你*真的*想知道一個 float 的精準值，Python 提供的工具可
協助達成。"float.as_integer_ratio()" method 可將一個 float 的值表示為
分數：

   >>> x = 3.14159
   >>> x.as_integer_ratio()
   (3537115888337719, 1125899906842624)

由於該比率是精準的，它可無損地再現該原始值：

   >>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
   True

"float.hex()" method 以十六進位（基數為 16）表示 float，一樣可以給出你
的電腦所儲存的精準值：

   >>> x.hex()
   '0x1.921f9f01b866ep+1'

這種精確的十六進位表示法可用於精準地重建 float 值：

   >>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
   True

由於該表示法是精準的，因此適用於在不同版本的 Python 之間可靠地傳送數值
（獨立於系統平台），並與支援相同格式的其他語言（如 JAVA 和 C99）交換資
料。

另一個有用的工具是 "math.fsum()" 函式，能在計算總和時幫忙減少精確度的
損失。當數值被加到運行中的總計值時，它會追蹤「失去的位數 (lost digits)
」。這可以明顯改善總體準確度 (overall accuracy)，使得誤差不至於累積到
影響最終總計值的程度：

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True


15.1. 表示法誤差 (Representation Error)
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本節將會詳細解釋「0.1」的例子，並說明你自己要如何對類似案例執行精準的
分析。 以下假設你對二進位浮點表示法已有基本程度的熟悉。

*Representation error*（表示法誤差）是指在真實情況中，有些（實際上是大
多數）十進位小數並不能精準地以二進位（基數為 2）小數表示。這是 Python
（或 Perl、C、C++、JAVA、Fortran 和其他許多）通常不會顯示你期望的精準
十進位數字的主要原因。

為什麼呢？因為 1/10 無法精準地以一個二進位小數來表示。至少自從 2000 年
以來，幾乎所有的計算機皆使用 IEEE-754 浮點數運算標準，並且幾乎所有的平
台都以 IEEE 754 binary64 標準中的「雙精度 (double precision)」來作為
Python 的 float。IEEE 754 binary64 的值包含 53 位元的精度，所以在輸入
時，電腦會努力把 0.1 轉換到最接近的分數，以 *J*/2***N* 的形式表示，此
處 *J* 是一個正好包含 53 位元的整數。可以將：

   1 / 10 ~= J / (2**N)

重寫為：

   J ~= 2**N / 10

而前面提到 *J* 有精準的 53 位元（即 ">= 2**52" 但 "< 2**53"），所以
*N* 的最佳數值是 56：

   >>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
   True

意即，要使 *J* 正好有 53 位元，則 56 會是 *N* 的唯一值。而 *J* 最有可
能的數值就是經過捨入後的該商數：

   >>> q, r = divmod(2**56, 10)
   >>> r
   6

由於餘數超過 10 的一半，所以最佳的近似值是透過進位而得：

   >>> q+1
   7205759403792794

所以，在 IEEE 754 雙精度下，1/10 的最佳近似值是：

   7205759403792794 / 2 ** 56

將分子和分母同除以二，會約分為：

   3602879701896397 / 2 ** 55

請注意，由於我們有進位，所以這實際上比 1/10 大了一點；如果我們沒有進位
，商數將會有點小於 1/10。但在任何情況下都不可能是*精準的* 1/10！

所以電腦從來沒有「看到」1/10：它看到的是上述的精準分數，也就是它能得到
的 IEEE 754 double 最佳近似值：

>>> 0.1 * 2 ** 55
3602879701896397.0

如果將該分數乘以 10**55，則可以看到該值以 55 個十進位數字顯示：

   >>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
   1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

這表示儲存在電腦中的精準數值等於十進位值
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625。與其顯示完
整的十進位數值，許多語言（包括 Python 的舊版本）選擇將結果捨入至 17 個
有效位數：

   >>> format(0.1, '.17f')
   '0.10000000000000001'

"fractions" 與 "decimal" 模組能使這些計算變得容易：

   >>> from decimal import Decimal
   >>> from fractions import Fraction

   >>> Fraction.from_float(0.1)
   Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> (0.1).as_integer_ratio()
   (3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> Decimal.from_float(0.1)
   Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

   >>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
   '0.10000000000000001'
