"random" --- 生成伪随机数
*************************

**源码：** Lib/random.py

======================================================================

该模块实现了各种分布的伪随机数生成器。

对于整数，从范围中有统一的选择。 对于序列，存在随机元素的统一选择、用
于生成列表的随机排列的函数、以及用于随机抽样而无需替换的函数。

在实数轴上，有计算均匀、正态（高斯）、对数正态、负指数、伽马和贝塔分布
的函数。 为了生成角度分布，可以使用 von Mises 分布。

几乎所有模块函数都依赖于基本函数 "random()"，它在左开右闭区间 "0.0 <=
X < 1.0" 内均匀生成随机浮点数。 Python 使用 Mersenne Twister 作为核心
生成器。 它产生 53 位精度的浮点数并且周期为 2**19937-1。 其在 C 中的这
个底层实现既快速又线程安全。 Mersenne Twister 是目前经过最广泛测试的随
机数生成器之一。 但是，因为是完全确定性的，它不适用于所有目的，并且完
全不适用于加密目的。

这个模块提供的函数实际上是 "random.Random" 类的隐藏实例的绑定方法。 你
可以实例化自己的 "Random" 类实例以获取不共享状态的生成器。

如果你想使用自己设计的不同的基本生成器那么也可以子类化 "Random" 类：请
参阅该类的文档了解详情。

"random" 模块还提供 "SystemRandom" 类，它使用系统函数 "os.urandom()"
从操作系统提供的源生成随机数。

警告:

  不应将此模块的伪随机生成器用于安全目的。 有关安全性或加密用途，请参
  阅 "secrets" 模块。

参见:

  M. Matsumoto and T. Nishimura, "Mersenne Twister: A
  623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number
  generator", ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation
  Vol. 8, No. 1, January pp.3--30 1998.

  Complementary-Multiply-with-Carry recipe 用于兼容的替代性随机数发生
  器，具有长周期和相对简单的更新操作。

备注:

  全局随机数发生器和 "Random" 实例是线程安全的。 不过，在自由线程构建
  版中，对全局发生器或同一个 "Random" 实例的并发调用可能导致竞争和糟糕
  的性能。 请考虑改用每线程单独的 "Random" 实例。


簿记功能
========

random.seed(a=None, version=2)

   初始化随机数生成器。

   如果 *a* 被省略或为 "None" ，则使用当前系统时间。 如果操作系统提供
   随机源，则使用它们而不是系统时间（有关可用性的详细信息，请参阅
   "os.urandom()" 函数）。

   如果 *a* 是 int 类型，则直接使用。

   对于版本2（默认的），"str" 、 "bytes" 或 "bytearray" 对象转换为
   "int" 并使用它的所有位。

   对于版本1（用于从旧版本的Python再现随机序列），用于 "str" 和
   "bytes" 的算法生成更窄的种子范围。

   在 3.2 版本发生变更: 已移至版本2方案，该方案使用字符串种子中的所有
   位。

   在 3.11 版本发生变更: *seed* 必须是下列类型之一: "None", "int",
   "float", "str", "bytes" 或 "bytearray"。

random.getstate()

   返回捕获生成器当前内部状态的对象。 这个对象可以传递给 "setstate()"
   来恢复状态。

random.setstate(state)

   *state* 应该是从之前调用 "getstate()" 获得的，并且 "setstate()" 将
   生成器的内部状态恢复到 "getstate()" 被调用时的状态。


用于字节数据的函数
==================

random.randbytes(n)

   生成 *n* 个随机字节。

   此方法不可用于生成安全凭据。 那应当使用 "secrets.token_bytes()"。

   Added in version 3.9.


整数用函数
==========

random.randrange(stop)
random.randrange(start, stop[, step])

   返回从 "range(start, stop, step)" 随机选择的一个元素。

   这大致等价于 "choice(range(start, stop, step))" 但是支持任意大的取
   值范围并针对常见场景进行了优化。

   该位置参数的模式与 "range()" 函数相匹配。

   关键字参数不应被使用因为它们可能以预料之外的方式被解读。 例如
   "randrange(start=100)" 会被解读为 "randrange(0, 100, 1)"。

   在 3.2 版本发生变更: "randrange()" 在生成均匀分布的值方面更为复杂。
   以前它使用了像 "int(random()*n)" 这样的形式，它可以产生稍微不均匀的
   分布。

   在 3.12 版本发生变更: 不再支持非整数类型的自动转换。
   "randrange(10.0)" 和 "randrange(Fraction(10, 1))" 之类的调用现在将
   会引发 "TypeError"。

random.randint(a, b)

   返回随机整数 *N* 满足 "a <= N <= b"。相当于 "randrange(a, b+1)"。

random.getrandbits(k)

   返回具有 *k* 个随机比特位的非负 Python 整数。 此方法随 Mersenne
   Twister 生成器一起提供，其他一些生成器也可能将其作为 API 的可选部分
   提供。 在可能的情况下，"getrandbits()" 会启用 "randrange()" 来处理
   任意大的区间。

   在 3.9 版本发生变更: 此方法现在接受零作为 *k* 的值。


序列用函数
==========

random.choice(seq)

   从非空序列 *seq* 返回一个随机元素。 如果 *seq* 为空，则引发
   "IndexError"。

random.choices(population, weights=None, *, cum_weights=None, k=1)

   从 *population* 中有重复地随机选取元素，返回大小为 *k* 的元素列表。
   如果 *population* 为空，则引发 "IndexError"。

   如果指定了 *weight* 序列，则根据相对权重进行选择。 或者，如果给出
   *cum_weights* 序列，则根据累积权重（可能使用
   "itertools.accumulate()" 计算）进行选择。 例如，相对权重 "[10, 5,
   30, 5]``相当于累积权重``[10, 15, 45, 50]"。 在内部，相对权重在进行
   选择之前会转换为累积权重，因此提供累积权重可以节省工作量。

   如果既未指定 *weight* 也未指定 *cum_weights* ，则以相等的概率进行选
   择。 如果提供了权重序列，则它必须与 *population* 序列的长度相同。
   一个 "TypeError" 指定了 *weights* 和 *cum_weights* 。

   *weights* 或 *cum_weights* 可使用 "random()" 所返回的能与 "float"
   值进行相互运算的任何数字类型（包括整数、浮点数、分数但不包括
   decimal）。 权重值应当非负且为有限的数值。 如果所有的权重值均为零则
   会引发 "ValueError"。

   对于给定的种子，具有相等加权的 "choices()" 函数通常产生与重复调用
   "choice()" 不同的序列。 "choices()" 使用的算法使用浮点运算来实现内
   部一致性和速度。 "choice()"  使用的算法默认为重复选择的整数运算，以
   避免因舍入误差引起的小偏差。

   Added in version 3.6.

   在 3.9 版本发生变更: 如果所有权重均为负值则将引发 "ValueError"。

random.shuffle(x)

   就地将序列 *x* 随机打乱位置。

   要改变一个不可变的序列并返回一个新的打乱列表，请使用 "sample(x,
   k=len(x))"。

   请注意，即使对于小的 "len(x)"，*x* 的排列总数也可以快速增长，大于大
   多数随机数生成器的周期。 这意味着长序列的大多数排列永远不会产生。
   例如，长度为2080的序列是可以在 Mersenne Twister 随机数生成器的周期
   内拟合的最大序列。

   在 3.11 版本发生变更: 移除了可选的形参 *random*。

random.sample(population, k, *, counts=None)

   返回从总体序列中选取的唯一元素的长度为 *k* 的列表。 用于无重复的随
   机抽样。

   返回包含来自总体的元素的新列表，同时保持原始总体不变。 结果列表按选
   择顺序排列，因此所有子切片也将是有效的随机样本。 这允许抽奖获奖者（
   样本）被划分为大奖和第二名获胜者（子切片）。

   总体成员不必是 *hashable* 或 unique 。 如果总体包含重复，则每次出现
   都是样本中可能的选择。

   重复的元素可以一个个地直接列出，或使用可选的仅限关键字形参 *counts*
   来指定。 例如，"sample(['red', 'blue'], counts=[4, 2], k=5)" 等价于
   "sample(['red', 'red', 'red', 'red', 'blue', 'blue'], k=5)"。

   要从一系列整数中选择样本，请使用 "range()" 对象作为参数。 对于从大
   量人群中采样，这种方法特别快速且节省空间："sample(range(10000000),
   k=60)" 。

   如果样本大小大于总体大小，则引发 "ValueError" 。

   在 3.9 版本发生变更: 增加了 *counts* 形参。

   在 3.11 版本发生变更: *population* 必须为一个序列。 不再支持将集合
   自动转换为列表。


离散分布
========

以下函数会生成离散分布。

random.binomialvariate(n=1, p=0.5)

   二项式分布。 返回 *n* 次独立试验在每次试验的成功率为 *p* 时的成功次
   数:

   在数学上等价于:

      sum(random() < p for i in range(n))

   试验次数 *n* 应为一个非负整数。 成功几率 *p* 的取值范围应为 "0.0 <=
   p <= 1.0"。 结果是一个 "0 <= X <= n" 范围内的整数。

   Added in version 3.12.


实值分布
========

以下函数生成特定的实值分布。如常用数学实践中所使用的那样，函数形参以分
布方程中的相应变量命名，大多数这些方程都可以在任何统计学教材中找到。

random.random()

   返回 "0.0 <= X < 1.0" 范围内的下一个随机浮点数。

random.uniform(a, b)

   返回一个随机浮点数 *N* ，当 "a <= b" 时 "a <= N <= b" ，当 "b < a"
   时 "b <= N <= a" 。

   终点值 "b" 可能包括或不包括在该范围内，具体取决于表达式 "a + (b-a)
   * random()" 的浮点舍入结果。

random.triangular(low, high, mode)

   返回一个随机浮点数 *N* ，使得 "low <= N <= high" 并在这些边界之间使
   用指定的 *mode* 。 *low* 和 *high* 边界默认为零和一。 *mode* 参数默
   认为边界之间的中点，给出对称分布。

random.betavariate(alpha, beta)

   Beta 分布。 参数的条件是 "alpha > 0" 和 "beta > 0"。 返回值的范围介
   于 0 和 1 之间。

random.expovariate(lambd=1.0)

   指数分布。 *lambd* 是 1.0 除以所需的平均值，它应该是非零的。 （该参
   数本应命名为 “lambda” ，但这是 Python 中的保留字。）如果 *lambd* 为
   正，则返回值的范围为 0 到正无穷大；如果 *lambd* 为负，则返回值从负
   无穷大到 0。

   在 3.12 版本发生变更: 添加了 "lambd" 的默认值。

random.gammavariate(alpha, beta)

   Gamma 分布。 (*不是* gamma 函数！)  shape 和 scale 形参，即 *alpha*
   和 *beta*，必须为正值。 （调用规范有变动并且有些源码会将 'beta' 定
   义为逆向的 scale)。

   概率分布函数是:

                x ** (alpha - 1) * math.exp(-x / beta)
      pdf(x) =  --------------------------------------
                  math.gamma(alpha) * beta ** alpha

random.gauss(mu=0.0, sigma=1.0)

   正态分布，也称高斯分布。 *mu* 为平均值，而 *sigma* 为标准差。 此函
   数要稍快于下面所定义的 "normalvariate()" 函数。

   多线程注意事项：当两个线程同时调用此方法时，它们有可能将获得相同的
   返回值。 这可以通过三种办法来避免。 1) 让每个线程使用不同的随机数生
   成器实例。 2) 在所有调用外面加锁。 3) 改用速度较慢但是线程安全的
   "normalvariate()" 函数。

   在 3.11 版本发生变更: 现在 *mu* 和 *sigma* 均有默认参数。

random.lognormvariate(mu, sigma)

   对数正态分布。 如果你采用这个分布的自然对数，你将得到一个正态分布，
   平均值为 *mu* 和标准差为 *sigma* 。 *mu* 可以是任何值，*sigma* 必须
   大于零。

random.normalvariate(mu=0.0, sigma=1.0)

   正态分布。 *mu* 是平均值，*sigma* 是标准差。

   在 3.11 版本发生变更: 现在 *mu* 和 *sigma* 均有默认参数。

random.vonmisesvariate(mu, kappa)

   冯·米塞斯分布。 *mu* 是平均角度，以弧度表示，介于0和 2**pi* 之间，
   *kappa* 是浓度参数，必须大于或等于零。 如果 *kappa* 等于零，则该分
   布在 0 到 2**pi* 的范围内减小到均匀的随机角度。

random.paretovariate(alpha)

   帕累托分布。 *alpha* 是形状参数。

random.weibullvariate(alpha, beta)

   威布尔分布。 *alpha* 是比例参数，*beta* 是形状参数。


替代生成器
==========

class random.Random([seed])

   该类实现了 "random" 模块所用的默认伪随机数生成器。

   在 3.11 版本发生变更: 之前 *seed* 可以是任何可哈希对象。 现在它被限
   制为: "None", "int", "float", "str", "bytes" 或 "bytearray"。

   "Random" 的子类如果想要使用不同的基本生成器则应当重载下列方法：

   seed(a=None, version=2)

      在子类中重写此方法以自定义 "Random" 实例的 "seed()" 行为。

   getstate()

      在子类中重写此方法以自定义 "Random" 实例的 "getstate()" 行为。

   setstate(state)

      在子类中重写此方法以自定义 "Random" 实例的 "setstate()" 行为。

   random()

      在子类中重写此方法以自定义 "Random" 实例的 "random()" 行为。

   作为可选项，自定义的生成器子类还可以提供下列方法：

   getrandbits(k)

      在子类中重写此方法以自定义 "Random" 实例的 "getrandbits()" 行为
      。

class random.SystemRandom([seed])

   使用 "os.urandom()" 函数的类，用从操作系统提供的源生成随机数。 这并
   非适用于所有系统。 也不依赖于软件状态，序列不可重现。 因此，
   "seed()" 方法没有效果而被忽略。 "getstate()" 和 "setstate()" 方法如
   果被调用则引发 "NotImplementedError"。


关于再现性的说明
================

有时能够重现伪随机数生成器给出的序列是很有用处的。 通过重用一个种子值
，只要没有运行多线程，相同的序列就应当可在多次运行中重现。

大多数随机模块的算法和种子函数都会在 Python 版本中发生变化，但保证两个
方面不会改变：

* 如果添加了新的播种方法，则将提供向后兼容的播种机。

* 当兼容的播种机被赋予相同的种子时，生成器的 "random()" 方法将继续产生
  相同的序列。


例子
====

基本示例:

   >>> random()                          # 随机浮点数:  0.0 <= x < 1.0
   0.37444887175646646

   >>> uniform(2.5, 10.0)                # 随机浮点数:  2.5 <= x <= 10.0
   3.1800146073117523

   >>> expovariate(1 / 5)                # 到达的间隔平均为 5 秒
   5.148957571865031

   >>> randrange(10)                     # 从 0 至 9 区间内的整数
   7

   >>> randrange(0, 101, 2)              # 从 0 至 100 区间内的偶数
   26

   >>> choice(['win', 'lose', 'draw'])   # 从序列中取单个随机元素
   'draw'

   >>> deck = 'ace two three four'.split()
   >>> shuffle(deck)                     # 打乱列表
   >>> deck
   ['four', 'two', 'ace', 'three']

   >>> sample([10, 20, 30, 40, 50], k=4) # 不重复地取四个样本
   [40, 10, 50, 30]

模拟:

   >>> # 六次轮盘旋转（可重复的带权重取样）
   >>> choices(['red', 'black', 'green'], [18, 18, 2], k=6)
   ['red', 'green', 'black', 'black', 'red', 'black']

   >>> # 从一套扑克 52 张牌中不重复的抽取 20 张，
   >>> # 并以十以上的大牌来确定牌的对比值：
   >>> # 10、J、Q 或 K。
   >>> deal = sample(['tens', 'low cards'], counts=[16, 36], k=20)
   >>> deal.count('tens') / 20
   0.15

   >>> # 估计一个被做了手脚的正面朝上概率为 60% 硬币
   >>> # 在 7 次抛掷中得到 5 次及以上正面的概率。
   >>> sum(binomialvariate(n=7, p=0.6) >= 5 for i in range(10_000)) / 10_000
   0.4169

   >>> # 5 个样本的中位数位于中间两个四分位区之内的概率
   >>> def trial():
   ...     return 2_500 <= sorted(choices(range(10_000), k=5))[2] < 7_500
   ...
   >>> sum(trial() for i in range(10_000)) / 10_000
   0.7958

statistical bootstrapping 的示例，使用重新采样和替换来估计一个样本的均
值的置信区间:

   # https://www.thoughtco.com/example-of-bootstrapping-3126155
   from statistics import fmean as mean
   from random import choices

   data = [41, 50, 29, 37, 81, 30, 73, 63, 20, 35, 68, 22, 60, 31, 95]
   means = sorted(mean(choices(data, k=len(data))) for i in range(100))
   print(f'The sample mean of {mean(data):.1f} has a 90% confidence '
         f'interval from {means[5]:.1f} to {means[94]:.1f}')

使用 重新采样排列测试 来确定统计学显著性或者使用  p-值 来观察药物与安
慰剂的作用之间差异的示例:

   # 来自 Dennis Shasha 与 Manda Wilson 所著 "Statistics is Easy" 的示例
   from statistics import fmean as mean
   from random import shuffle

   drug = [54, 73, 53, 70, 73, 68, 52, 65, 65]
   placebo = [54, 51, 58, 44, 55, 52, 42, 47, 58, 46]
   observed_diff = mean(drug) - mean(placebo)

   n = 10_000
   count = 0
   combined = drug + placebo
   for i in range(n):
       shuffle(combined)
       new_diff = mean(combined[:len(drug)]) - mean(combined[len(drug):])
       count += (new_diff >= observed_diff)

   print(f'{n} label reshufflings produced only {count} instances with a difference')
   print(f'at least as extreme as the observed difference of {observed_diff:.1f}.')
   print(f'The one-sided p-value of {count / n:.4f} leads us to reject the null')
   print(f'hypothesis that there is no difference between the drug and the placebo.')

多服务器队列的到达时间和服务交付模拟:

   from heapq import heapify, heapreplace
   from random import expovariate, gauss
   from statistics import mean, quantiles

   average_arrival_interval = 5.6
   average_service_time = 15.0
   stdev_service_time = 3.5
   num_servers = 3

   waits = []
   arrival_time = 0.0
   servers = [0.0] * num_servers  # 每个服务器都可用的时刻
   heapify(servers)
   for i in range(1_000_000):
       arrival_time += expovariate(1.0 / average_arrival_interval)
       next_server_available = servers[0]
       wait = max(0.0, next_server_available - arrival_time)
       waits.append(wait)
       service_duration = max(0.0, gauss(average_service_time, stdev_service_time))
       service_completed = arrival_time + wait + service_duration
       heapreplace(servers, service_completed)

   print(f'Mean wait: {mean(waits):.1f}   Max wait: {max(waits):.1f}')
   print('Quartiles:', [round(q, 1) for q in quantiles(waits)])

参见:

  Statistics for Hackers Jake Vanderplas 撰写的视频教程，使用一些基本
  概念进行统计分析，包括模拟、抽样、洗牌和交叉验证。

  Economics Simulation 是 Peter Norvig 编写的市场模拟，它演示了对此模
  块所提供的许多工具和分布（gauss, uniform, sample, betavariate,
  choice, triangular 和 randrange）的高效运用。

  A Concrete Introduction to Probability (using Python) 是 Peter
  Norvig 撰写的教程，其中涉及概率论基础、如何编写模拟以及如何使用
  Python 进行数据分析等内容。


例程
====

这些例程演示了如何有效地使用 "itertools" 模块中的组合迭代器进行随机选
取:

   def random_product(*args, repeat=1):
       "Random selection from itertools.product(*args, **kwds)"
       pools = [tuple(pool) for pool in args] * repeat
       return tuple(map(random.choice, pools))

   def random_permutation(iterable, r=None):
       "Random selection from itertools.permutations(iterable, r)"
       pool = tuple(iterable)
       r = len(pool) if r is None else r
       return tuple(random.sample(pool, r))

   def random_combination(iterable, r):
       "Random selection from itertools.combinations(iterable, r)"
       pool = tuple(iterable)
       n = len(pool)
       indices = sorted(random.sample(range(n), r))
       return tuple(pool[i] for i in indices)

   def random_combination_with_replacement(iterable, r):
       "Choose r elements with replacement.  Order the result to match the iterable."
       # Result will be in set(itertools.combinations_with_replacement(iterable, r)).
       pool = tuple(iterable)
       n = len(pool)
       indices = sorted(random.choices(range(n), k=r))
       return tuple(pool[i] for i in indices)

默认的 "random()" 返回在 *0.0 ≤ x < 1.0* 范围内 2⁻⁵³ 的倍数。 所有这些
数值间隔相等并能精确表示为 Python 浮点数。 但是在此间隔上有许多其他可
表示浮点数是不可能的选择。 例如，"0.05954861408025609" 就不是 2⁻⁵³ 的
整数倍。

以下规范程序采取了一种不同的方式。 在间隔上的所有浮点数都是可能的选择
。 它们的尾数取值来自 *2⁵² ≤ 尾数 < 2⁵³* 范围内整数的均匀分布。 指数取
值则来自几何分布，其中小于 *-53* 的指数的出现频率为下一个较大指数的一
半。

   from random import Random
   from math import ldexp

   class FullRandom(Random):

       def random(self):
           mantissa = 0x10_0000_0000_0000 | self.getrandbits(52)
           exponent = -53
           x = 0
           while not x:
               x = self.getrandbits(32)
               exponent += x.bit_length() - 32
           return ldexp(mantissa, exponent)

该类中所有的 实值分布 都将使用新的方法:

   >>> fr = FullRandom()
   >>> fr.random()
   0.05954861408025609
   >>> fr.expovariate(0.25)
   8.87925541791544

该规范程序在概念上等效于在 *0.0 ≤ x < 1.0* 范围内对所有 2⁻¹⁰⁷⁴ 的倍数
进行选择的算法。 所有这样的数字间隔都相等，但大多必须向下舍入为最接近
的 Python 浮点数表示形式。 （2⁻¹⁰⁷⁴ 这个数值是等于 "math.ulp(0.0)" 的
未经正规化的最小正浮点数。）

参见:

  生成伪随机浮点数值 为 Allen B. Downey 所撰写的描述如何生成相比通过
  "random()" 正常生成的数值更细粒度浮点数的论文。


命令行用法
==========

Added in version 3.13.

"random" 模块可以在命令行中执行。

   python -m random [-h] [-c CHOICE [CHOICE ...] | -i N | -f N] [input ...]

可以接受以下选项：

-h, --help

   显示帮助信息并退出。

-c CHOICE [CHOICE ...]
--choice CHOICE [CHOICE ...]

   使用 "choice()" 打印一个随机选择的项。

-i <N>
--integer <N>

   使用 "randint()" 打印从 1 到 N 闭区间中的一个随机整数。

-f <N>
--float <N>

   使用 "uniform()" 打印从 1 到 N 闭区间中的一个随机浮点数。

如果未给出任何选项，输出将取决于输入：

* 字符串或多个字符串：与 "--choice" 相同。

* 整数：与 "--integer" 相同。

* 浮点数：与 "--float" 相同。


命令行示例
==========

下面是一些 "random" 命令行接口的示例：

   $ # 随机选择一项
   $ python -m random egg bacon sausage spam "Lobster Thermidor aux crevettes with a Mornay sauce"
   Lobster Thermidor aux crevettes with a Mornay sauce

   $ # 随机整数
   $ python -m random 6
   6

   $ # 随机浮点数
   $ python -m random 1.8
   1.7080016272295635

   $ # 带有显式的参数
   $ python  -m random --choice egg bacon sausage spam "Lobster Thermidor aux crevettes with a Mornay sauce"
   egg

   $ python -m random --integer 6
   3

   $ python -m random --float 1.8
   1.5666339105010318

   $ python -m random --integer 6
   5

   $ python -m random --float 6
   3.1942323316565915
