"math" --- 数学函数
*******************

======================================================================

该模块提供了对C标准定义的数学函数的访问。

这些函数不适用于复数；如果你需要计算复数，请使用 "cmath" 模块中的同名
函数。将支持计算复数的函数区分开的目的，来自于大多数开发者并不愿意像数
学家一样需要学习复数的概念。得到一个异常而不是一个复数结果使得开发者能
够更早地监测到传递给这些函数的参数中包含复数，进而调查其产生的原因。

该模块提供了以下函数。除非另有明确说明，否则所有返回值均为浮点数。


数论与表示函数
==============

math.ceil(x)

   返回 *x* 的向上取整，即大于或等于 *x* 的最小的整数。如果 *x* 不是浮
   点数，委托给 "x.__ceil__" ，它应该返回一个 "Integral" 的值。

math.comb(n, k)

   返回不重复且无顺序地从 *n* 项中选择 *k* 项的方式总数。

   当 "k <= n" 时取值为 "n! / (k! * (n - k)!)"；当 "k > n" 时取值为零
   。

   也称为二项式系数，因为它等价于表达式 "(1 + x) ** n" 的多项式展开中
   第 k 项的系数。

   如果任一参数不为整数则会引发 "TypeError"。 如果任一参数为负数则会引
   发 "ValueError"。

   3.8 新版功能.

math.copysign(x, y)

   返回一个基于 *x* 的绝对值和 *y* 的符号的浮点数。在支持带符号零的平
   台上，"copysign(1.0, -0.0)" 返回 *-1.0*.

math.fabs(x)

   返回 *x* 的绝对值。

math.factorial(x)

   以一个整数返回 *x* 的阶乘。 如果 *x* 不是整数或为负数时则将引发
   "ValueError"。

   3.9 版后已移除: 接受具有整数值的浮点数 (例如 "5.0") 的行为已被弃用
   。

math.floor(x)

   返回 *x* 的向下取整，小于或等于 *x* 的最大整数。如果 *x* 不是浮点数
   ，则委托给 "x.__floor__" ，它应返回一个 "Integral" 值。

math.fmod(x, y)

   返回 "fmod(x, y)" ，由平台C库定义。请注意，Python表达式 "x % y" 可
   能不会返回相同的结果。C标准的目的是 "fmod(x, y)" 完全（数学上；到无
   限精度）等于 "x - n*y" 对于某个整数 *n* ，使得结果具有 与 *x* 相同
   的符号和小于 "abs(y)" 的幅度。Python的 "x % y" 返回带有 *y* 符号的
   结果，并且可能不能完全计算浮点参数。 例如， "fmod(-1e-100, 1e100)"
   是 "-1e-100" ，但Python的 "-1e-100 % 1e100" 的结果是 "1e100-1e-100"
   ，它不能完全表示为浮点数，并且取整为令人惊讶的 "1e100" 。 出于这个
   原因，函数 "fmod()" 在使用浮点数时通常是首选，而Python的 "x % y" 在
   使用整数时是首选。

math.frexp(x)

   以 "(m, e)" 对的形式返回 *x* 的尾数和指数。 *m* 是一个浮点数， *e*
   是一个整数，正好是 "x == m * 2**e" 。 如果 *x* 为零，则返回 "(0.0,
   0)" ，否则返回 "0.5 <= abs(m) < 1" 。这用于以可移植方式“分离”浮点数
   的内部表示。

math.fsum(iterable)

   返回迭代中的精确浮点值。通过跟踪多个中间部分和来避免精度损失:

      >>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
      0.9999999999999999
      >>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
      1.0

   该算法的准确性取决于IEEE-754算术保证和舍入模式为半偶的典型情况。在
   某些非Windows版本中，底层C库使用扩展精度添加，并且有时可能会使中间
   和加倍，导致它在最低有效位中关闭。

   有关待进一步讨论和两种替代方法，参见 ASPN cookbook recipes for
   accurate floating point summation。

math.gcd(*integers)

   返回给定的整数参数的最大公约数。 如果有一个参数非零，则返回值将是能
   同时整除所有参数的最大正整数。 如果所有参数为零，则返回值为 "0"。
   不带参数的 "gcd()" 返回 "0"。

   3.5 新版功能.

   在 3.9 版更改: 添加了对任意数量的参数的支持。 之前的版本只支持两个
   参数。

math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

   若 *a* 和 *b* 的值比较接近则返回 "True"，否则返回 "False"。

   根据给定的绝对和相对容差确定两个值是否被认为是接近的。

   *rel_tol* 是相对容差 —— 它是 *a* 和 *b* 之间允许的最大差值，相对于
   *a* 或 *b* 的较大绝对值。例如，要设置5％的容差，请传递
   "rel_tol=0.05" 。默认容差为 "1e-09"，确保两个值在大约9位十进制数字
   内相同。 *rel_tol* 必须大于零。

   *abs_tol* 是最小绝对容差 —— 对于接近零的比较很有用。 *abs_tol* 必须
   至少为零。

   如果没有错误发生，结果将是： "abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a),
   abs(b)), abs_tol)" 。

   IEEE 754特殊值 "NaN" ， "inf" 和 "-inf" 将根据IEEE规则处理。具体来
   说， "NaN" 不被认为接近任何其他值，包括 "NaN" 。 "inf" 和 "-inf" 只
   被认为接近自己。

   3.5 新版功能.

   参见: **PEP 485** —— 用于测试近似相等的函数

math.isfinite(x)

   如果 *x* 既不是无穷大也不是NaN，则返回 "True" ，否则返回 "False" 。
   （注意 "0.0" 被认为 *是* 有限的。）

   3.2 新版功能.

math.isinf(x)

   如果 *x* 是正或负无穷大，则返回 "True" ，否则返回 "False" 。

math.isnan(x)

   如果 *x* 是 NaN（不是数字），则返回 "True" ，否则返回 "False" 。

math.isqrt(n)

   返回非负整数 *n* 的整数平方根。 这就是对 *n* 的实际平方根向下取整，
   或者相当于使得 *a*² ≤ *n* 的最大整数 *a*。

   对于某些应用来说，可以更适合取值为使得 *n* ≤ *a*² 的最小整数 *a* ，
   或者换句话说就是 *n* 的实际平方根向上取整。 对于正数 *n*，这可以使
   用 "a = 1 + isqrt(n - 1)" 来计算。

   3.8 新版功能.

math.lcm(*integers)

   返回给定的整数参数的最小公倍数。 如果所有参数均非零，则返回值将是为
   所有参数的整数倍的最小正整数。 如果参数之一为零，则返回值为 "0"。
   不带参数的 "lcm()" 返回 "1"。

   3.9 新版功能.

math.ldexp(x, i)

   返回 "x * (2**i)" 。 这基本上是函数  "frexp()"  的反函数。

math.modf(x)

   返回 *x* 的小数和整数部分。两个结果都带有 *x* 的符号并且是浮点数。

math.nextafter(x, y)

   返回 *x* 趋向于 *y* 的最接近的浮点数值。

   如果 *x* 等于 *y* 则返回 *y*。

   示例：

   * "math.nextafter(x, math.inf)" 的方向朝上：趋向于正无穷。

   * "math.nextafter(x, -math.inf)" 的方向朝下：趋向于负无穷。

   * "math.nextafter(x, 0.0)" 趋向于零。

   * "math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x))" 趋向于零的反方向
     。

   另请参阅 "math.ulp()"。

   3.9 新版功能.

math.perm(n, k=None)

   返回不重复且有顺序地从 *n* 项中选择 *k* 项的方式总数。

   当 "k <= n" 时取值为 "n! / (n - k)!"；当 "k > n" 时取值为零。

   如果 *k* 未指定或为 None，则 *k* 默认值为 *n* 并且函数将返回 "n!"。

   如果任一参数不为整数则会引发 "TypeError"。 如果任一参数为负数则会引
   发 "ValueError"。

   3.8 新版功能.

math.prod(iterable, *, start=1)

   计算输入的 *iterable* 中所有元素的积。 积的默认 *start* 值为 "1"。

   当可迭代对象为空时，返回起始值。 此函数特别针对数字值使用，并会拒绝
   非数字类型。

   3.8 新版功能.

math.remainder(x, y)

   返回 IEEE 754 风格的 *x* 相对于 *y* 的余数。对于有限 *x* 和有限非零
   *y* ，这是差异 "x - n*y" ，其中 "n" 是与商 "x / y" 的精确值最接近的
   整数。如果 "x / y" 恰好位于两个连续整数之间，则将最接近的 *偶数* 用
   作 "n" 。 余数 "r = remainder(x, y)" 因此总是满足 "abs(r) <= 0.5 *
   abs(y)"。

   特殊情况遵循IEEE 754：特别是 "remainder(x, math.inf)" 对于任何有限
   *x* 都是 *x* ，而 "remainder(x, 0)" 和 "remainder(math.inf, x)" 引
   发  "ValueError" 适用于任何非NaN的 *x* 。如果余数运算的结果为零，则
   该零将具有与 *x* 相同的符号。

   在使用IEEE 754二进制浮点的平台上，此操作的结果始终可以完全表示：不
   会引入舍入错误。

   3.7 新版功能.

math.trunc(x)

   返回去除小数部分的 *x* ，只留下整数部分。 这样就可以四舍五入到0了：
   "trunc()" 对于正的 *x* 相当于 "floor()" ，对于负的 *x* 相当于
   "ceil()" 。如果 *x* 不是浮点数，委托给 "x.__trunc__" ，它应该返回一
   个 "Integral" 值。

math.ulp(x)

   返回浮点数 *x* 的最小有效比特位的值:

   * 如果 *x* 是 NaN (非数字)，则返回 *x*。

   * 如果 *x* 为负数，则返回 "ulp(-x)"。

   * 如果 *x* 为正数，则返回 *x*。

   * 如果 *x* 等于零，则返回 *去正规化的* 可表示最小正浮点数 (小于 *正
     规化的* 最小正浮点数 "sys.float_info.min")。

   * 如果 *x* 等于可表示最大正浮点数，则返回 *x* 的最低有效比特位的值
     ，使得小于 *x* 的第一个浮点数为 "x - ulp(x)"。

   * 在其他情况下 (*x* 是一个有限的正数)，则返回 *x* 的最低有效比特位
     的值，使得大于 *x* 的第一个浮点数为 "x + ulp(x)"。

   ULP 即 "Unit in the Last Place" 的缩写。

   另请参阅 "math.nextafter()" 和 "sys.float_info.epsilon"。

   3.9 新版功能.

注意 "frexp()" 和 "modf()" 具有与它们的C等价函数不同的调用/返回模式：
它们采用单个参数并返回一对值，而不是通过 '输出形参' 返回它们的第二个返
回参数（Python中没有这样的东西）。

对于 "ceil()" ， "floor()" 和 "modf()" 函数，请注意 *所有* 足够大的浮
点数都是精确整数。Python浮点数通常不超过53位的精度（与平台C double类型
相同），在这种情况下，任何浮点 *x* 与 "abs(x) >= 2**52" 必然没有小数位
。


幂函数与对数函数
================

math.exp(x)

   返回 *e* 的 *x* 次幂，其中 *e* = 2.718281... 是自然对数的基数。这通
   常比 "math.e ** x" 或 "pow(math.e, x)" 更精确。

math.expm1(x)

   返回 *e* 的 *x* 次幂，减1。这里 *e* 是自然对数的基数。对于小浮点数
   *x* ， "exp(x) - 1" 中的减法可能导致 significant loss of precision
   ； "expm1()" 函数提供了一种将此数量计算为全精度的方法:

      >>> from math import exp, expm1
      >>> exp(1e-5) - 1  # gives result accurate to 11 places
      1.0000050000069649e-05
      >>> expm1(1e-5)    # result accurate to full precision
      1.0000050000166668e-05

   3.2 新版功能.

math.log(x[, base])

   使用一个参数，返回 *x* 的自然对数（底为 *e* ）。

   使用两个参数，返回给定的 *base* 的对数 *x* ，计算为
   "log(x)/log(base)" 。

math.log1p(x)

   返回 *1+x* 的自然对数（以 *e* 为底）。 以对于接近零的 *x* 精确的方
   式计算结果。

math.log2(x)

   返回 *x* 以2为底的对数。这通常比 "log(x, 2)" 更准确。

   3.3 新版功能.

   参见: "int.bit_length()" 返回表示二进制整数所需的位数，不包括符号和前导
       零。

math.log10(x)

   返回 *x* 底为10的对数。这通常比 "log(x, 10)" 更准确。

math.pow(x, y)

   将返回 "x" 的 "y" 次幂。特殊情况尽可能遵循C99标准的附录'F'。特别是
   ， "pow(1.0, x)" 和 "pow(x, 0.0)" 总是返回 "1.0" ，即使 "x" 是零或
   NaN。 如果 "x" 和 "y" 都是有限的， "x" 是负数， "y" 不是整数那么
   "pow(x, y)" 是未定义的，并且引发 "ValueError" 。

   与内置的 "**" 运算符不同， "math.pow()" 将其参数转换为 "float" 类型
   。使用 "**" 或内置的 "pow()" 函数来计算精确的整数幂。

math.sqrt(x)

   返回 *x* 的平方根。


三角函数
========

math.acos(x)

   返回以弧度为单位的 *x* 的反余弦值。 结果范围在 "0" 到 "pi" 之间。

math.asin(x)

   返回以弧度为单位的 *x* 的反正弦值。 结果范围在 "-pi/2" 到 "pi/2" 之
   间。

math.atan(x)

   返回以弧度为单位的 *x* 的反正切值。 结果范围在 "-pi/2" 到 "pi/2" 之
   间。.

math.atan2(y, x)

   以弧度为单位返回 "atan(y / x)" 。结果是在 "-pi" 和 "pi" 之间。从原
   点到点 "(x, y)"  的平面矢量使该角度与正X轴成正比。 "atan2()" 的点的
   两个输入的符号都是已知的，因此它可以计算角度的正确象限。 例如，
   "atan(1)" 和 "atan2(1, 1)"  都是 "pi/4" ，但 "atan2(-1, -1)" 是
   "-3*pi/4" 。

math.cos(x)

   返回 *x* 弧度的余弦值。

math.dist(p, q)

   返回 *p* 与 *q* 两点之间的欧几里得距离，以一个坐标序列（或可迭代对
   象）的形式给出。 两个点必须具有相同的维度。

   大致相当于：

      sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))

   3.8 新版功能.

math.hypot(*coordinates)

   返回欧几里得范数，"sqrt(sum(x**2 for x in coordinates))"。 这是从原
   点到坐标给定点的向量长度。

   对于一个二维点 "(x, y)"，这等价于使用毕达哥拉斯定义 "sqrt(x*x +
   y*y)" 计算一个直角三角形的斜边。

   在 3.8 版更改: 添加了对 n 维点的支持。 之前的版本只支持二维点。

   在 3.10 版更改: 改进了算法的精确性，使得最大误差在 1 ulp (最后一位
   的单位数值) 以下。 更为常见的情况是，结果几乎总是能正确地舍入到 1/2
   ulp 范围之内。

math.sin(x)

   返回 *x* 弧度的正弦值。

math.tan(x)

   返回 *x* 弧度的正切值。


角度转换
========

math.degrees(x)

   将角度 *x* 从弧度转换为度数。

math.radians(x)

   将角度 *x* 从度数转换为弧度。


双曲函数
========

双曲函数 是基于双曲线而非圆来对三角函数进行模拟。

math.acosh(x)

   返回 *x* 的反双曲余弦值。

math.asinh(x)

   返回 *x* 的反双曲正弦值。

math.atanh(x)

   返回 *x* 的反双曲正切值。

math.cosh(x)

   返回 *x* 的双曲余弦值。

math.sinh(x)

   返回 *x* 的双曲正弦值。

math.tanh(x)

   返回 *x* 的双曲正切值。


特殊函数
========

math.erf(x)

   返回 *x* 处的 误差函数 。

   "erf()" 函数可用来计算传统的统计函数如 累计标准正态分布:

      def phi(x):
          'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
          return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

   3.2 新版功能.

math.erfc(x)

   返回 *x* 处的互补误差函数。 互补错误函数 定义为 "1.0 - erf(x)"。 它
   用于 *x* 的大值，从其中减去一个会导致 有效位数损失。

   3.2 新版功能.

math.gamma(x)

   返回 *x* 处的 伽马函数 值。

   3.2 新版功能.

math.lgamma(x)

   返回Gamma函数在 *x* 绝对值的自然对数。

   3.2 新版功能.


常量
====

math.pi

   数学常数 *π* = 3.141592...，精确到可用精度。

math.e

   数学常数 *e* = 2.718281...，精确到可用精度。

math.tau

   数学常数 *τ* = 6.283185...，精确到可用精度。Tau 是一个圆周常数，等
   于 2*π*，圆的周长与半径之比。更多关于 Tau 的信息可参考 Vi Hart 的视
   频 Pi is (still) Wrong。吃两倍多的派来庆祝 Tau 日 吧！

   3.6 新版功能.

math.inf

   浮点正无穷大。 （对于负无穷大，使用 "-math.inf" 。）相当于
   "float('inf')" 的输出。

   3.5 新版功能.

math.nan

   一个浮点的 "非数字"（NaN）值。相当于 "float('nan')" 的输出。 由于
   IEEE-754标准 的要求， "math.nan" 和 "float('nan')" 不被认为等于任何
   其他数值，包括其本身。要检查一个数字是否为NaN，请使用 "isnan()" 函
   数来测试 NaN ，而不是 "is" 或 "=="  。 例子:

      >>> import math
      >>> math.nan == math.nan
      False
      >>> float('nan') == float('nan')
      False
      >>> math.isnan(math.nan)
      True
      >>> math.isnan(float('nan'))
      True

   3.5 新版功能.

**CPython 实现细节：** "math" 模块主要包含围绕平台C数学库函数的简单包
装器。特殊情况下的行为在适当情况下遵循C99标准的附录F。当前的实现将引发
"ValueError" 用于无效操作，如 "sqrt(-1.0)" 或 "log(0.0)" （其中C99附件
F建议发出无效操作信号或被零除）， 和 "OverflowError" 用于溢出的结果（
例如， "exp(1000.0)" ）。除非一个或多个输入参数是NaN，否则不会从上述任
何函数返回NaN；在这种情况下，大多数函数将返回一个NaN，但是（再次遵循
C99附件F）这个规则有一些例外，例如 "pow(float('nan'), 0.0)" 或
"hypot(float('nan'), float('inf'))" 。

请注意，Python不会将显式NaN与静默NaN区分开来，并且显式NaN的行为仍未明
确。典型的行为是将所有NaN视为静默的。

参见:

  "cmath" 模块
     这里很多函数的复数版本。
