cmath — Mathematical functions for complex numbers

This module provides access to mathematical functions for complex numbers. The functions in this module accept integers, floating-point numbers or complex numbers as arguments. They will also accept any Python object that has either a __complex__() or a __float__() method: these methods are used to convert the object to a complex or floating-point number, respectively, and the function is then applied to the result of the conversion.

Примітка

On platforms with hardware and system-level support for signed zeros, functions involving branch cuts are continuous on both sides of the branch cut: the sign of the zero distinguishes one side of the branch cut from the other. On platforms that do not support signed zeros the continuity is as specified below.

Перетворення в і з полярних координат

A Python complex number z is stored internally using rectangular or Cartesian coordinates. It is completely determined by its real part z.real and its imaginary part z.imag. In other words:

z == z.real + z.imag*1j

Полярні координати дають альтернативний спосіб представлення комплексного числа. У полярних координатах комплексне число z визначається модулем r і фазовим кутом phi. Модуль r — це відстань від z до початку координат, тоді як фаза phi — це кут проти годинникової стрілки, виміряний у радіанах, від додатної осі x до відрізка лінії, який з’єднує початок координат із z.

Наступні функції можна використовувати для перетворення вихідних прямокутних координат у полярні координати та назад.

cmath.phase(x)

Return the phase of x (also known as the argument of x), as a float. phase(x) is equivalent to math.atan2(x.imag, x.real). The result lies in the range [-π, π], and the branch cut for this operation lies along the negative real axis, continuous from above. On systems with support for signed zeros (which includes most systems in current use), this means that the sign of the result is the same as the sign of x.imag, even when x.imag is zero:

>>> phase(complex(-1.0, 0.0))
3.141592653589793
>>> phase(complex(-1.0, -0.0))
-3.141592653589793

Примітка

Модуль (абсолютне значення) комплексного числа x можна обчислити за допомогою вбудованої функції abs(). Для цієї операції немає окремої функції модуля cmath.

cmath.polar(x)

Повертає представлення x у полярних координатах. Повертає пару «(r, phi)», де r — модуль x, а phi — фаза x. polar(x) еквівалентно (abs(x),phase(x)).

cmath.rect(r, phi)

Return the complex number x with polar coordinates r and phi. Equivalent to r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j).

Степеневі та логарифмічні функції

cmath.exp(x)

Поверніть e у степені x, де e — основа натуральних логарифмів.

cmath.log(x[, base])

Returns the logarithm of x to the given base. If the base is not specified, returns the natural logarithm of x. There is one branch cut, from 0 along the negative real axis to -∞, continuous from above.

cmath.log10(x)

Повертає логарифм x за основою 10. Це такий же розріз гілки, як і log().

cmath.sqrt(x)

Повертає квадратний корінь з x. Це такий же розріз гілки, як і log().

Тригонометричні функції

cmath.acos(x)

Return the arc cosine of x. There are two branch cuts: One extends right from 1 along the real axis to ∞, continuous from below. The other extends left from -1 along the real axis to -∞, continuous from above.

cmath.asin(x)

Повернути арксинус x. Це має такі самі скорочення гілок, як acos().

cmath.atan(x)

Return the arc tangent of x. There are two branch cuts: One extends from 1j along the imaginary axis to ∞j, continuous from the right. The other extends from -1j along the imaginary axis to -∞j, continuous from the left.

cmath.cos(x)

Повертає косинус x.

cmath.sin(x)

Повернути синус x.

cmath.tan(x)

Поверніть тангенс x.

Гіперболічні функції

cmath.acosh(x)

Return the inverse hyperbolic cosine of x. There is one branch cut, extending left from 1 along the real axis to -∞, continuous from above.

cmath.asinh(x)

Return the inverse hyperbolic sine of x. There are two branch cuts: One extends from 1j along the imaginary axis to ∞j, continuous from the right. The other extends from -1j along the imaginary axis to -∞j, continuous from the left.

cmath.atanh(x)

Return the inverse hyperbolic tangent of x. There are two branch cuts: One extends from 1 along the real axis to ∞, continuous from below. The other extends from -1 along the real axis to -∞, continuous from above.

cmath.cosh(x)

Повертає гіперболічний косинус x.

cmath.sinh(x)

Повернути гіперболічний синус x.

cmath.tanh(x)

Поверніть гіперболічний тангенс x.

Функції класифікації

cmath.isfinite(x)

Повертає True, якщо і дійсна, і уявна частини x скінченні, і False в іншому випадку.

Нове в версії 3.2.

cmath.isinf(x)

Повертає True, якщо дійсна чи уявна частина x є нескінченністю, і False в іншому випадку.

cmath.isnan(x)

Повертає True, якщо дійсна чи уявна частина x є NaN, і False в іншому випадку.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

Повертає True, якщо значення a і b близькі одне до одного, і False в іншому випадку.

Чи вважаються два значення близькими чи ні, визначається відповідно до заданих абсолютних і відносних допусків.

rel_tol — це відносний допуск — це максимально допустима різниця між a і b відносно більшого абсолютного значення a або b. Наприклад, щоб встановити допуск 5%, передайте rel_tol=0,05. Допуск за замовчуванням — 1e-09, який гарантує, що два значення збігаються в межах приблизно 9 десяткових цифр. rel_tol має бути більше нуля.

abs_tol — це мінімальний абсолютний допуск — корисний для порівнянь біля нуля. abs_tol має бути не менше нуля.

Якщо помилок не буде, результатом буде: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).

Спеціальні значення IEEE 754 NaN, inf і -inf оброблятимуться відповідно до правил IEEE. Зокрема, NaN не вважається близьким до будь-якого іншого значення, включаючи NaN. inf і -inf вважаються лише близькими до самих себе.

Нове в версії 3.5.

Дивись також

PEP 485 – Функція для перевірки приблизної рівності

Константи

cmath.pi

Математична константа π у вигляді числа з плаваючою точкою.

cmath.e

Математична константа e як число з плаваючою точкою.

cmath.tau

Математична константа τ як число з плаваючою точкою.

Нове в версії 3.6.

cmath.inf

Додатна нескінченність із плаваючою комою. Еквівалент float('inf').

Нове в версії 3.6.

cmath.infj

Комплексне число з нульовою дійсною частиною та додатною нескінченною уявною частиною. Еквівалент complex(0.0, float('inf')).

Нове в версії 3.6.

cmath.nan

Значення з плаваючою комою «не число» (NaN). Еквівалент float('nan').

Нове в версії 3.6.

cmath.nanj

Комплексне число з нульовою дійсною частиною та NaN уявною частиною. Еквівалент complex(0.0, float('nan')).

Нове в версії 3.6.

Зауважте, що вибір функцій подібний, але не ідентичний до вибору в модулі math. Причина наявності двох модулів полягає в тому, що деякі користувачі не цікавляться комплексними числами і, можливо, навіть не знають, що це таке. Вони радше, щоб math.sqrt(-1) викликав виняток, ніж повертав комплексне число. Також зауважте, що функції, визначені в cmath, завжди повертають комплексне число, навіть якщо відповідь може бути виражена як дійсне число (у цьому випадку комплексне число має уявну частину нуля).

Примітка щодо розрізів гілок: це криві, уздовж яких дана функція не є неперервною. Вони є необхідною ознакою багатьох складних функцій. Передбачається, що якщо вам потрібно обчислювати зі складними функціями, ви зрозумієте про скорочення гілок. Зверніться до майже будь-якої (не надто елементарної) книги про комплексні змінні для просвітлення. Щоб отримати інформацію щодо правильного вибору обрізків гілок для чисельних цілей, гарною довідкою має бути наступне:

Дивись також

Kahan, W: Розрізи гілок для складних елементарних функцій; або «Багато шуму з нічого». У Ізерлес, А. та Пауелл, М. (ред.), Сучасний стан числового аналізу. Clarendon Press (1987) pp165–211.