# `cmath` — Mathematical functions for complex numbers

This module provides access to mathematical functions for complex numbers. The functions in this module accept integers, floating-point numbers or complex numbers as arguments. They will also accept any Python object that has either a `__complex__()` or a `__float__()` method: these methods are used to convert the object to a complex or floating-point number, respectively, and the function is then applied to the result of the conversion.

Примітка

For functions involving branch cuts, we have the problem of deciding how to define those functions on the cut itself. Following Kahan’s «Branch cuts for complex elementary functions» paper, as well as Annex G of C99 and later C standards, we use the sign of zero to distinguish one side of the branch cut from the other: for a branch cut along (a portion of) the real axis we look at the sign of the imaginary part, while for a branch cut along the imaginary axis we look at the sign of the real part.

For example, the `cmath.sqrt()` function has a branch cut along the negative real axis. An argument of `complex(-2.0, -0.0)` is treated as though it lies below the branch cut, and so gives a result on the negative imaginary axis:

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
    -1.4142135623730951j

But an argument of `complex(-2.0, 0.0)` is treated as though it lies above the branch cut:

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
    1.4142135623730951j

## Перетворення в і з полярних координат

A Python complex number `z` is stored internally using rectangular or Cartesian coordinates. It is completely determined by its real part `z.real` and its imaginary part `z.imag`.

Полярні координати дають альтернативний спосіб представлення комплексного числа. У полярних координатах комплексне число z визначається модулем r і фазовим кутом phi. Модуль r — це відстань від z до початку координат, тоді як фаза phi — це кут проти годинникової стрілки, виміряний у радіанах, від додатної осі x до відрізка лінії, який з’єднує початок координат із z.

Наступні функції можна використовувати для перетворення вихідних прямокутних координат у полярні координати та назад.

cmath.phase(x)

  Return the phase of x (also known as the argument of x), as a float. `phase(x)` is equivalent to `math.atan2(x.imag, x.real)`. The result lies in the range [-π, π], and the branch cut for this operation lies along the negative real axis. The sign of the result is the same as the sign of `x.imag`, even when `x.imag` is zero:

      >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
      3.141592653589793
      >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
      -3.141592653589793

Примітка

Модуль (абсолютне значення) комплексного числа x можна обчислити за допомогою вбудованої функції `abs()`. Для цієї операції немає окремої функції модуля `cmath`.

cmath.polar(x)

  Повертає представлення x у полярних координатах. Повертає пару «(r, phi)», де r — модуль x, а phi — фаза x. `polar(x)` еквівалентно `(abs(x),phase(x))`.

cmath.rect(r, phi)

  Return the complex number x with polar coordinates r and phi. Equivalent to `complex(r * math.cos(phi), r * math.sin(phi))`.

## Степеневі та логарифмічні функції

cmath.exp(x)

  Поверніть e у степені x, де e — основа натуральних логарифмів.

cmath.log(x[, base])

  Returns the logarithm of x to the given base. If the base is not specified, returns the natural logarithm of x. There is one branch cut, from 0 along the negative real axis to -∞.

cmath.log10(x)

  Повертає логарифм x за основою 10. Це такий же розріз гілки, як і `log()`.

cmath.sqrt(x)

  Повертає квадратний корінь з x. Це такий же розріз гілки, як і `log()`.

## Тригонометричні функції

cmath.acos(x)

  Return the arc cosine of x. There are two branch cuts: One extends right from 1 along the real axis to ∞. The other extends left from -1 along the real axis to -∞.

cmath.asin(x)

  Повернути арксинус x. Це має такі самі скорочення гілок, як `acos()`.

cmath.atan(x)

  Return the arc tangent of x. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`.

cmath.cos(x)

  Повертає косинус x.

cmath.sin(x)

  Повернути синус x.

cmath.tan(x)

  Поверніть тангенс x.

## Гіперболічні функції

cmath.acosh(x)

  Return the inverse hyperbolic cosine of x. There is one branch cut, extending left from 1 along the real axis to -∞.

cmath.asinh(x)

  Return the inverse hyperbolic sine of x. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`.

cmath.atanh(x)

  Return the inverse hyperbolic tangent of x. There are two branch cuts: One extends from `1` along the real axis to `∞`. The other extends from `-1` along the real axis to `-∞`.

cmath.cosh(x)

  Повертає гіперболічний косинус x.

cmath.sinh(x)

  Повернути гіперболічний синус x.

cmath.tanh(x)

  Поверніть гіперболічний тангенс x.

## Функції класифікації

cmath.isfinite(x)

  Повертає `True`, якщо і дійсна, і уявна частини x скінченні, і `False` в іншому випадку.

  Added in version 3.2.

cmath.isinf(x)

  Повертає `True`, якщо дійсна чи уявна частина x є нескінченністю, і `False` в іншому випадку.

cmath.isnan(x)

  Повертає `True`, якщо дійсна чи уявна частина x є NaN, і `False` в іншому випадку.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

  Повертає `True`, якщо значення a і b близькі одне до одного, і `False` в іншому випадку.

  Чи вважаються два значення близькими чи ні, визначається відповідно до заданих абсолютних і відносних допусків.

  rel_tol — це відносний допуск — це максимально допустима різниця між a і b відносно більшого абсолютного значення a або b. Наприклад, щоб встановити допуск 5%, передайте `rel_tol=0,05`. Допуск за замовчуванням — `1e-09`, який гарантує, що два значення збігаються в межах приблизно 9 десяткових цифр. rel_tol має бути більше нуля.

  abs_tol — це мінімальний абсолютний допуск — корисний для порівнянь біля нуля. abs_tol має бути не менше нуля.

  Якщо помилок не буде, результатом буде: `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`.

  Спеціальні значення IEEE 754 `NaN`, `inf` і `-inf` оброблятимуться відповідно до правил IEEE. Зокрема, `NaN` не вважається близьким до будь-якого іншого значення, включаючи `NaN`. `inf` і `-inf` вважаються лише близькими до самих себе.

  Added in version 3.5.

  Дивись також

  PEP 485 – Функція для перевірки приблизної рівності

## Константи

cmath.pi

  Математична константа π у вигляді числа з плаваючою точкою.

cmath.e

  Математична константа e як число з плаваючою точкою.

cmath.tau

  Математична константа τ як число з плаваючою точкою.

  Added in version 3.6.

cmath.inf

  Додатна нескінченність із плаваючою комою. Еквівалент `float('inf')`.

  Added in version 3.6.

cmath.infj

  Комплексне число з нульовою дійсною частиною та додатною нескінченною уявною частиною. Еквівалент `complex(0.0, float('inf'))`.

  Added in version 3.6.

cmath.nan

  Значення з плаваючою комою «не число» (NaN). Еквівалент `float('nan')`.

  Added in version 3.6.

cmath.nanj

  Комплексне число з нульовою дійсною частиною та NaN уявною частиною. Еквівалент `complex(0.0, float('nan'))`.

  Added in version 3.6.

Зауважте, що вибір функцій подібний, але не ідентичний до вибору в модулі `math`. Причина наявності двох модулів полягає в тому, що деякі користувачі не цікавляться комплексними числами і, можливо, навіть не знають, що це таке. Вони радше, щоб `math.sqrt(-1)` викликав виняток, ніж повертав комплексне число. Також зауважте, що функції, визначені в `cmath`, завжди повертають комплексне число, навіть якщо відповідь може бути виражена як дійсне число (у цьому випадку комплексне число має уявну частину нуля).

Примітка щодо розрізів гілок: це криві, уздовж яких дана функція не є неперервною. Вони є необхідною ознакою багатьох складних функцій. Передбачається, що якщо вам потрібно обчислювати зі складними функціями, ви зрозумієте про скорочення гілок. Зверніться до майже будь-якої (не надто елементарної) книги про комплексні змінні для просвітлення. Щоб отримати інформацію щодо правильного вибору обрізків гілок для чисельних цілей, гарною довідкою має бути наступне:

Дивись також

Kahan, W: Розрізи гілок для складних елементарних функцій; або «Багато шуму з нічого». У Ізерлес, А. та Пауелл, М. (ред.), Сучасний стан числового аналізу. Clarendon Press (1987) pp165–211.