# `cmath` — Mathematical functions for complex numbers

This module provides access to mathematical functions for complex numbers. The functions in this module accept integers, floating-point numbers or complex numbers as arguments. They will also accept any Python object that has either a `__complex__()` or a `__float__()` method: these methods are used to convert the object to a complex or floating-point number, respectively, and the function is then applied to the result of the conversion.

Примітка

For functions involving branch cuts, we have the problem of deciding how to define those functions on the cut itself. Following Kahan’s «Branch cuts for complex elementary functions» paper, as well as Annex G of C99 and later C standards, we use the sign of zero to distinguish one side of the branch cut from the other: for a branch cut along (a portion of) the real axis we look at the sign of the imaginary part, while for a branch cut along the imaginary axis we look at the sign of the real part.

For example, the `cmath.sqrt()` function has a branch cut along the negative real axis. An argument of `complex(-2.0, -0.0)` is treated as though it lies below the branch cut, and so gives a result on the negative imaginary axis:

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
    -1.4142135623730951j

But an argument of `complex(-2.0, 0.0)` is treated as though it lies above the branch cut:

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
    1.4142135623730951j

## Перетворення в і з полярних координат

A Python complex number `z` is stored internally using rectangular or Cartesian coordinates. It is completely determined by its real part `z.real` and its imaginary part `z.imag`. In other words:

    z == z.real + z.imag*1j

Полярні координати дають альтернативний спосіб представлення комплексного числа. У полярних координатах комплексне число z визначається модулем r і фазовим кутом phi. Модуль r — це відстань від z до початку координат, тоді як фаза phi — це кут проти годинникової стрілки, виміряний у радіанах, від додатної осі x до відрізка лінії, який з’єднує початок координат із z.

Наступні функції можна використовувати для перетворення вихідних прямокутних координат у полярні координати та назад.

cmath.phase(x)

  Return the phase of x (also known as the argument of x), as a float. `phase(x)` is equivalent to `math.atan2(x.imag, x.real)`. The result lies in the range [-π, π], and the branch cut for this operation lies along the negative real axis. The sign of the result is the same as the sign of `x.imag`, even when `x.imag` is zero:

      >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
      3.141592653589793
      >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
      -3.141592653589793

Примітка

The modulus (absolute value) of a complex number x can be computed using the built-in `abs()` function. There is no separate `cmath` module function for this operation.

cmath.polar(x)

  Return the representation of x in polar coordinates. Returns a pair `(r, phi)` where r is the modulus of x and phi is the phase of x. `polar(x)` is equivalent to `(abs(x), phase(x))`.

cmath.rect(r, phi)

  Return the complex number x with polar coordinates r and phi. Equivalent to `r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)`.

## Степеневі та логарифмічні функції

cmath.exp(x)

  Return e raised to the power x, where e is the base of natural logarithms.

cmath.log(x[, base])

  Returns the logarithm of x to the given base. If the base is not specified, returns the natural logarithm of x. There is one branch cut, from 0 along the negative real axis to -∞.

cmath.log10(x)

  Return the base-10 logarithm of x. This has the same branch cut as `log()`.

cmath.sqrt(x)

  Return the square root of x. This has the same branch cut as `log()`.

## Тригонометричні функції

cmath.acos(x)

  Return the arc cosine of x. There are two branch cuts: One extends right from 1 along the real axis to ∞. The other extends left from -1 along the real axis to -∞.

cmath.asin(x)

  Return the arc sine of x. This has the same branch cuts as `acos()`.

cmath.atan(x)

  Return the arc tangent of x. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`.

cmath.cos(x)

  Return the cosine of x.

cmath.sin(x)

  Return the sine of x.

cmath.tan(x)

  Return the tangent of x.

## Гіперболічні функції

cmath.acosh(x)

  Return the inverse hyperbolic cosine of x. There is one branch cut, extending left from 1 along the real axis to -∞.

cmath.asinh(x)

  Return the inverse hyperbolic sine of x. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`.

cmath.atanh(x)

  Return the inverse hyperbolic tangent of x. There are two branch cuts: One extends from `1` along the real axis to `∞`. The other extends from `-1` along the real axis to `-∞`.

cmath.cosh(x)

  Return the hyperbolic cosine of x.

cmath.sinh(x)

  Return the hyperbolic sine of x.

cmath.tanh(x)

  Return the hyperbolic tangent of x.

## Функції класифікації

cmath.isfinite(x)

  Return `True` if both the real and imaginary parts of x are finite, and `False` otherwise.

  Нове в версії 3.2.

cmath.isinf(x)

  Return `True` if either the real or the imaginary part of x is an infinity, and `False` otherwise.

cmath.isnan(x)

  Return `True` if either the real or the imaginary part of x is a NaN, and `False` otherwise.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

  Повертає `True`, якщо значення a і b близькі одне до одного, і `False` в іншому випадку.

  Whether or not two values are considered close is determined according to given absolute and relative tolerances.

  rel_tol is the relative tolerance – it is the maximum allowed difference between a and b, relative to the larger absolute value of a or b. For example, to set a tolerance of 5%, pass `rel_tol=0.05`. The default tolerance is `1e-09`, which assures that the two values are the same within about 9 decimal digits. rel_tol must be greater than zero.

  abs_tol is the minimum absolute tolerance – useful for comparisons near zero. abs_tol must be at least zero.

  If no errors occur, the result will be: `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`.

  Спеціальні значення IEEE 754 `NaN`, `inf` і `-inf` оброблятимуться відповідно до правил IEEE. Зокрема, `NaN` не вважається близьким до будь-якого іншого значення, включаючи `NaN`. `inf` і `-inf` вважаються лише близькими до самих себе.

  Нове в версії 3.5.

  Дивись також

  PEP 485 – Функція для перевірки приблизної рівності

## Константи

cmath.pi

  Математична константа π у вигляді числа з плаваючою точкою.

cmath.e

  Математична константа e як число з плаваючою точкою.

cmath.tau

  Математична константа τ як число з плаваючою точкою.

  Нове в версії 3.6.

cmath.inf

  Додатна нескінченність із плаваючою комою. Еквівалент `float('inf')`.

  Нове в версії 3.6.

cmath.infj

  Комплексне число з нульовою дійсною частиною та додатною нескінченною уявною частиною. Еквівалент `complex(0.0, float('inf'))`.

  Нове в версії 3.6.

cmath.nan

  Значення з плаваючою комою «не число» (NaN). Еквівалент `float('nan')`.

  Нове в версії 3.6.

cmath.nanj

  Комплексне число з нульовою дійсною частиною та NaN уявною частиною. Еквівалент `complex(0.0, float('nan'))`.

  Нове в версії 3.6.

Зауважте, що вибір функцій подібний, але не ідентичний до вибору в модулі `math`. Причина наявності двох модулів полягає в тому, що деякі користувачі не цікавляться комплексними числами і, можливо, навіть не знають, що це таке. Вони радше, щоб `math.sqrt(-1)` викликав виняток, ніж повертав комплексне число. Також зауважте, що функції, визначені в `cmath`, завжди повертають комплексне число, навіть якщо відповідь може бути виражена як дійсне число (у цьому випадку комплексне число має уявну частину нуля).

Примітка щодо розрізів гілок: це криві, уздовж яких дана функція не є неперервною. Вони є необхідною ознакою багатьох складних функцій. Передбачається, що якщо вам потрібно обчислювати зі складними функціями, ви зрозумієте про скорочення гілок. Зверніться до майже будь-якої (не надто елементарної) книги про комплексні змінні для просвітлення. Щоб отримати інформацію щодо правильного вибору обрізків гілок для чисельних цілей, гарною довідкою має бути наступне:

Дивись також

Kahan, W: Розрізи гілок для складних елементарних функцій; або «Багато шуму з нічого». У Ізерлес, А. та Пауелл, М. (ред.), Сучасний стан числового аналізу. Clarendon Press (1987) pp165–211.