# `statistics` — Mathematical statistics functions

Нове в версії 3.4.

Вихідний код: Lib/statistics.py

Цей модуль надає функції для обчислення математичної статистики числових (`Real`-значних) даних.

The module is not intended to be a competitor to third-party libraries such as NumPy, SciPy, or proprietary full-featured statistics packages aimed at professional statisticians such as Minitab, SAS and Matlab. It is aimed at the level of graphing and scientific calculators.

Якщо не зазначено явно, ці функції підтримують `int`, `float`, `Decimal` і `Fraction`. Поведінка з іншими типами (у числовій вежі чи ні) наразі не підтримується. Колекції з сумішшю типів також не визначені та залежать від реалізації. Якщо ваші вхідні дані складаються зі змішаних типів, ви можете використовувати `map()`, щоб забезпечити послідовний результат, наприклад: `map(float, input_data)`.

Some datasets use `NaN` (not a number) values to represent missing data. Since NaNs have unusual comparison semantics, they cause surprising or undefined behaviors in the statistics functions that sort data or that count occurrences. The functions affected are `median()`, `median_low()`, `median_high()`, `median_grouped()`, `mode()`, `multimode()`, and `quantiles()`. The `NaN` values should be stripped before calling these functions:

    >>> from statistics import median
    >>> from math import isnan
    >>> from itertools import filterfalse

    >>> data = [20.7, float('NaN'),19.2, 18.3, float('NaN'), 14.4]
    >>> sorted(data)  # This has surprising behavior
    [20.7, nan, 14.4, 18.3, 19.2, nan]
    >>> median(data)  # This result is unexpected
    16.35

    >>> sum(map(isnan, data))    # Number of missing values
    2
    >>> clean = list(filterfalse(isnan, data))  # Strip NaN values
    >>> clean
    [20.7, 19.2, 18.3, 14.4]
    >>> sorted(clean)  # Sorting now works as expected
    [14.4, 18.3, 19.2, 20.7]
    >>> median(clean)       # This result is now well defined
    18.75

## Середні значення та міри центрального розташування

Ці функції обчислюють середнє або типове значення з генеральної сукупності чи вибірки.

`mean()` | Середнє арифметичне («середнє») даних.
`fmean()` | Fast, floating point arithmetic mean.
`геометричне_середнє()` | Середнє геометричне даних.
`harmonic_mean()` | Середнє гармонійне даних.
`median()` | Медіана (середнє значення) даних.
`median_low()` | Низька медіана даних.
`median_high()` | Висока медіана даних.
`median_grouped()` | Median, or 50th percentile, of grouped data.
`mode()` | Одиночний режим (найпоширеніше значення) дискретних або номінальних даних.
`multimode()` | Список режимів (найпоширеніших значень) дискретних або номінальних даних.
`quantiles()` | Розділіть дані на інтервали з рівною ймовірністю.

## Міри поширення

Ці функції обчислюють міру того, наскільки генеральна сукупність або вибірка має тенденцію відхилятися від типових чи середніх значень.

`pstdev()` | Стандартне відхилення сукупності даних.
`pvariance()` | Популяційна дисперсія даних.
`stdev()` | Стандартне відхилення вибірки даних.
`variance()` | Вибіркова дисперсія даних.

## Статистика для відносин між двома вхідними даними

Ці функції обчислюють статистичні дані щодо зв’язків між двома входами.

`covariance()` | Вибіркова коваріація для двох змінних.
`correlation()` | Pearson’s correlation coefficient for two variables.
`лінійна_регресія()` | Нахил і відрізок для простої лінійної регресії.

## Деталі функції

Примітка. Функції не вимагають сортування наданих їм даних. Однак для зручності читання більшість прикладів показують відсортовані послідовності.

`statistics.``mean`(data)

  Повертає зразкове середнє арифметичне даних, яке може бути послідовністю або ітерованим.

  Середнє арифметичне — це сума даних, поділена на кількість точок даних. Його зазвичай називають «середнім», хоча це лише одне з багатьох різних математичних середніх. Це міра центрального розташування даних.

  Якщо data порожній, буде викликано `StatisticsError`.

  Деякі приклади використання:

      >>> mean([1, 2, 3, 4, 4])
      2.8
      >>> mean([-1.0, 2.5, 3.25, 5.75])
      2.625

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> mean([F(3, 7), F(1, 21), F(5, 3), F(1, 3)])
      Fraction(13, 21)

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> mean([D("0.5"), D("0.75"), D("0.625"), D("0.375")])
      Decimal('0.5625')

  Примітка

  На середнє значення сильно впливають викиди і не обов’язково є типовим прикладом точок даних. Для більш надійного, хоча й менш ефективного вимірювання центральної тенденції, див. `median()`.

  Середнє значення вибірки дає неупереджену оцінку справжнього середнього значення генеральної сукупності, так що, узявши середнє значення за всіма можливими вибірками, «середнє (вибірка)» збігається зі справжнім середнім значенням усієї генеральної сукупності. Якщо data представляє всю генеральну сукупність, а не вибірку, тоді `середнє (дані)` еквівалентно обчисленню справжнього середнього µ генеральної сукупності.

`statistics.``fmean`(data)

  Перетворіть дані на числа з плаваючою точкою та обчисліть середнє арифметичне.

  Це працює швидше, ніж функція `mean()`, і завжди повертає `float`. Дані можуть бути послідовністю або ітерованими. Якщо вхідний набір даних порожній, виникає `StatisticsError`.

      >>> fmean([3.5, 4.0, 5.25])
      4.25

  Нове в версії 3.8.

`statistics.``geometric_mean`(data)

  Перетворіть дані на числа з плаваючою точкою та обчисліть середнє геометричне.

  Середнє геометричне вказує на центральну тенденцію або типове значення даних за допомогою добутку значень (на відміну від середнього арифметичного, яке використовує їх суму).

  Викликає `StatisticsError`, якщо вхідний набір даних порожній, містить нуль або містить від’ємне значення. Дані можуть бути послідовністю або ітерованими.

  Особливих зусиль для досягнення точних результатів не докладається. (Однак це може змінитися в майбутньому.)

      >>> round(geometric_mean([54, 24, 36]), 1)
      36.0

  Нове в версії 3.8.

`statistics.``harmonic_mean`(data, weights=None)

  Return the harmonic mean of data, a sequence or iterable of real-valued numbers. If weights is omitted or None, then equal weighting is assumed.

  Середнє гармонічне є зворотним арифметичним `mean()` зворотних величин даних. Наприклад, середнє гармонійне трьох значень a, b і c буде еквівалентним `3/(1/a + 1/b + 1/c)`. Якщо одне зі значень дорівнює нулю, результат буде нульовим.

  Середнє гармонічне — це тип середнього значення, міра центрального розташування даних. Це часто доцільно під час усереднення співвідношень або швидкості, наприклад швидкості.

  Припустимо, автомобіль проїжджає 10 км зі швидкістю 40 км/год, потім ще 10 км зі швидкістю 60 км/год. Яка середня швидкість?

      >>> harmonic_mean([40, 60])
      48.0

  Припустімо, що автомобіль їде зі швидкістю 40 км/год протягом 5 км, а коли рух припиниться, розвиває швидкість до 60 км/год протягом решти 30 км шляху. Яка середня швидкість?

      >>> harmonic_mean([40, 60], weights=[5, 30])
      56.0

  `StatisticsError` виникає, якщо data порожні, будь-який елемент менше нуля або якщо зважена сума не додатна.

  Поточний алгоритм має ранній вихід, коли він зустрічає нуль у вхідних даних. Це означає, що наступні вхідні дані не перевіряються на дійсність. (Ця поведінка може змінитися в майбутньому.)

  Нове в версії 3.6.

  Змінено в версії 3.10: Додано підтримку ваги.

`statistics.``median`(data)

  Повертає медіану (середнє значення) числових даних, використовуючи поширений метод «середнього середнього двох». Якщо data порожній, виникає `StatisticsError`. data може бути послідовністю або ітерованою.

  Медіана є надійним показником центрального розташування, і на неї менше впливає наявність викидів. Якщо кількість точок даних непарна, повертається середня точка даних:

      >>> median([1, 3, 5])
      3

  Якщо кількість точок даних парна, медіана інтерполюється, беручи середнє значення двох середніх значень:

      >>> median([1, 3, 5, 7])
      4.0

  Це підходить, коли ваші дані є дискретними, і ви не заперечуєте, що медіана може не бути фактичною точкою даних.

  Якщо дані є порядковими (підтримують операції порядку), але не числовими (не підтримують додавання), подумайте про використання `median_low()` або `median_high()` натомість.

`statistics.``median_low`(data)

  Повертає нижню медіану числових даних. Якщо data порожній, виникає `StatisticsError`. data може бути послідовністю або ітерованою.

  Нижня медіана завжди є членом набору даних. Якщо кількість точок даних непарна, повертається середнє значення. Якщо воно парне, повертається менше з двох середніх значень.

      >>> median_low([1, 3, 5])
      3
      >>> median_low([1, 3, 5, 7])
      3

  Використовуйте низьку медіану, якщо ваші дані є дискретними, і ви віддаєте перевагу, щоб медіана була фактичною точкою даних, а не інтерпольованою.

`statistics.``median_high`(data)

  Повернути високу медіану даних. Якщо data порожній, виникає `StatisticsError`. data може бути послідовністю або ітерованою.

  Верхня медіана завжди є членом набору даних. Якщо кількість точок даних непарна, повертається середнє значення. Якщо воно парне, повертається більше з двох середніх значень.

      >>> median_high([1, 3, 5])
      3
      >>> median_high([1, 3, 5, 7])
      5

  Використовуйте високу медіану, якщо ваші дані є дискретними, і ви віддаєте перевагу, щоб медіана була фактичною точкою даних, а не інтерпольованою.

`statistics.``median_grouped`(data, interval=1)

  Return the median of grouped continuous data, calculated as the 50th percentile, using interpolation. If data is empty, `StatisticsError` is raised. data can be a sequence or iterable.

      >>> median_grouped([52, 52, 53, 54])
      52.5

  In the following example, the data are rounded, so that each value represents the midpoint of data classes, e.g. 1 is the midpoint of the class 0.5–1.5, 2 is the midpoint of 1.5–2.5, 3 is the midpoint of 2.5–3.5, etc. With the data given, the middle value falls somewhere in the class 3.5–4.5, and interpolation is used to estimate it:

      >>> median_grouped([1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5])
      3.7

  Optional argument interval represents the class interval, and defaults to 1. Changing the class interval naturally will change the interpolation:

      >>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=1)
      3.25
      >>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=2)
      3.5

  This function does not check whether the data points are at least interval apart.

  Деталі реалізації CPython: Under some circumstances, `median_grouped()` may coerce data points to floats. This behaviour is likely to change in the future.

  Дивись також

  - «Statistics for the Behavioral Sciences», Frederick J Gravetter and Larry B Wallnau (8th Edition).

  - The SSMEDIAN function in the Gnome Gnumeric spreadsheet, including this discussion.

`statistics.``mode`(data)

  Повертає єдину найпоширенішу точку даних із дискретних або номінальних даних. Режим (якщо він існує) є найбільш типовим значенням і служить мірою центрального розташування.

  Якщо є кілька режимів з однаковою частотою, повертає перший, який зустрічається в даних. Якщо натомість потрібне найменше або найбільше з них, використовуйте `min(multimode(data))` або `max(multimode(data))`. Якщо введення data порожнє, виникає `StatisticsError`.

  `mode` передбачає дискретні дані та повертає одне значення. Це стандартне лікування режиму, якому зазвичай навчають у школах:

      >>> mode([1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4])
      3

  Режим унікальний тим, що це єдина статистика в цьому пакеті, яка також застосовується до номінальних (нечислових) даних:

      >>> mode(["red", "blue", "blue", "red", "green", "red", "red"])
      'red'

  Змінено в версії 3.8: Тепер обробляє мультимодальні набори даних, повертаючи перший зустрічається режим. Раніше він викликав `StatisticsError`, коли було знайдено більше ніж один режим.

`statistics.``multimode`(data)

  Повертає список значень, які найчастіше зустрічаються, у тому порядку, в якому вони були вперше зустрінуті в даних. Поверне більше одного результату, якщо існує кілька режимів, або порожній список, якщо дані порожні:

      >>> multimode('aabbbbccddddeeffffgg')
      ['b', 'd', 'f']
      >>> multimode('')
      []

  Нове в версії 3.8.

`statistics.``pstdev`(data, mu=None)

  Повертає стандартне відхилення сукупності (квадратний корінь із дисперсії сукупності). Перегляньте `pvariance()` для отримання аргументів та інших деталей.

      >>> pstdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
      0.986893273527251

`statistics.``pvariance`(data, mu=None)

  Повертає дисперсію сукупності даних, непорожню послідовність або ітерацію дійсних чисел. Дисперсія, або другий момент відносно середнього, є мірою мінливості (розкиду або дисперсії) даних. Велика дисперсія вказує на те, що дані розкидані; невелика дисперсія вказує на те, що вона згрупована близько середнього значення.

  If the optional second argument mu is given, it is typically the mean of the data. It can also be used to compute the second moment around a point that is not the mean. If it is missing or `None` (the default), the arithmetic mean is automatically calculated.

  Використовуйте цю функцію, щоб обчислити дисперсію для всієї сукупності. Щоб оцінити дисперсію за вибіркою, функція `variance()` зазвичай є кращим вибором.

  Викликає `StatisticsError`, якщо data порожні.

  приклади:

      >>> data = [0.0, 0.25, 0.25, 1.25, 1.5, 1.75, 2.75, 3.25]
      >>> pvariance(data)
      1.25

  Якщо ви вже обчислили середнє значення своїх даних, ви можете передати його як необов’язковий другий аргумент mu, щоб уникнути перерахунку:

      >>> mu = mean(data)
      >>> pvariance(data, mu)
      1.25

  Підтримуються десяткові знаки та дроби:

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> pvariance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
      Decimal('24.815')

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> pvariance([F(1, 4), F(5, 4), F(1, 2)])
      Fraction(13, 72)

  Примітка

  При виклику з усією сукупністю це дає дисперсію сукупності σ². Якщо замість цього викликати вибірку, це є дисперсія зміщеної вибірки s², також відома як дисперсія з N ступенями свободи.

  Якщо ви якимось чином знаєте справжнє середнє значення сукупності μ, ви можете використати цю функцію для обчислення дисперсії вибірки, вказавши відоме середнє значення сукупності як другий аргумент. За умови, що точки даних є випадковою вибіркою сукупності, результатом буде неупереджена оцінка дисперсії генеральної сукупності.

`statistics.``stdev`(data, xbar=None)

  Повертає стандартне відхилення вибірки (квадратний корінь із дисперсії вибірки). Перегляньте `variance()` для отримання аргументів та інших деталей.

      >>> stdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
      1.0810874155219827

`statistics.``variance`(data, xbar=None)

  Повертає вибіркову дисперсію data, повторюваного принаймні двох дійсних чисел. Дисперсія, або другий момент відносно середнього, є мірою мінливості (розкиду або дисперсії) даних. Велика дисперсія вказує на те, що дані розкидані; невелика дисперсія вказує на те, що вона щільно згрупована навколо середнього значення.

  If the optional second argument xbar is given, it should be the mean of data. If it is missing or `None` (the default), the mean is automatically calculated.

  Використовуйте цю функцію, якщо ваші дані є вибіркою із генеральної сукупності. Щоб обчислити дисперсію для всієї сукупності, перегляньте `pvariance()`.

  Викликає `StatisticsError`, якщо data має менше двох значень.

  приклади:

      >>> data = [2.75, 1.75, 1.25, 0.25, 0.5, 1.25, 3.5]
      >>> variance(data)
      1.3720238095238095

  If you have already calculated the mean of your data, you can pass it as the optional second argument xbar to avoid recalculation:

      >>> m = mean(data)
      >>> variance(data, m)
      1.3720238095238095

  Ця функція не намагається перевірити, що ви передали фактичне середнє як xbar. Використання довільних значень для xbar може призвести до недійсних або неможливих результатів.

  Підтримуються десяткові та дробові значення:

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> variance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
      Decimal('31.01875')

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> variance([F(1, 6), F(1, 2), F(5, 3)])
      Fraction(67, 108)

  Примітка

  Це вибіркова дисперсія s² з поправкою Бесселя, також відома як дисперсія з N-1 ступенями свободи. За умови, що точки даних є репрезентативними (наприклад, незалежними та однаково розподіленими), результат має бути неупередженою оцінкою справжньої дисперсії сукупності.

  Якщо ви якимось чином знаєте фактичне середнє значення μ, ви повинні передати його функції `pvariance()` як параметр mu, щоб отримати дисперсію вибірки.

`statistics.``quantiles`(data, *, n=4, method='exclusive')

  Розділіть дані на n безперервних інтервалів з рівною ймовірністю. Повертає список `n - 1` точок розрізу, що розділяють інтервали.

  Встановіть n на 4 для квартилів (за замовчуванням). Встановіть n на 10 для децилів. Встановіть n на 100 для процентилів, що дає 99 точок розрізу, які розділяють дані на 100 груп однакового розміру. Викликає `StatisticsError`, якщо n не менше 1.

  The data can be any iterable containing sample data. For meaningful results, the number of data points in data should be larger than n. Raises `StatisticsError` if there are not at least two data points.

  Точки розрізу лінійно інтерполюються з двох найближчих точок даних. Наприклад, якщо точка зрізу падає на одну третину відстані між двома значеннями вибірки, `100` і `112`, точка зрізу буде оцінена як `104`.

  Метод для обчислення квантилів може варіюватися залежно від того, чи дані включають чи виключають найнижчі та найвищі можливі значення з сукупності.

  Метод за замовчуванням є «ексклюзивним» і використовується для даних, відібраних із сукупності, яка може мати більш екстремальні значення, ніж у вибірках. Частка генеральної сукупності, яка знаходиться нижче i-ї з m відсортованих точок даних, обчислюється як `i / (m + 1)`. Маючи дев’ять значень вибірки, метод сортує їх і призначає наступні процентилі: 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%.

  Встановлення методу на «включно» використовується для опису даних сукупності або для вибірок, які, як відомо, включають найбільш екстремальні значення сукупності. Мінімальне значення в даних розглядається як 0-й процентиль, а максимальне значення розглядається як 100-й процентиль. Частка генеральної сукупності, що опускається нижче i-ї з m відсортованих точок даних, обчислюється як `(i - 1) / (m - 1)`. Враховуючи 11 значень вибірки, метод сортує їх і призначає наступні процентилі: 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 100%.

      # Decile cut points for empirically sampled data
      >>> data = [105, 129, 87, 86, 111, 111, 89, 81, 108, 92, 110,
      ...         100, 75, 105, 103, 109, 76, 119, 99, 91, 103, 129,
      ...         106, 101, 84, 111, 74, 87, 86, 103, 103, 106, 86,
      ...         111, 75, 87, 102, 121, 111, 88, 89, 101, 106, 95,
      ...         103, 107, 101, 81, 109, 104]
      >>> [round(q, 1) for q in quantiles(data, n=10)]
      [81.0, 86.2, 89.0, 99.4, 102.5, 103.6, 106.0, 109.8, 111.0]

  Нове в версії 3.8.

`statistics.``covariance`(x, y, /)

  Повертає зразкову коваріацію двох вхідних даних x і y. Коваріація є мірою спільної мінливості двох вхідних даних.

  Обидва входи мають бути однакової довжини (не менше двох), інакше виникає `StatisticsError`.

  приклади:

      >>> x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
      >>> y = [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]
      >>> covariance(x, y)
      0.75
      >>> z = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
      >>> covariance(x, z)
      -7.5
      >>> covariance(z, x)
      -7.5

  Нове в версії 3.10.

`statistics.``correlation`(x, y, /)

  Return the Pearson’s correlation coefficient for two inputs. Pearson’s correlation coefficient r takes values between -1 and +1. It measures the strength and direction of the linear relationship, where +1 means very strong, positive linear relationship, -1 very strong, negative linear relationship, and 0 no linear relationship.

  Обидва вхідні дані мають бути однакової довжини (не менше двох) і не повинні бути постійними, інакше виникає `StatisticsError`.

  приклади:

      >>> x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
      >>> y = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
      >>> correlation(x, x)
      1.0
      >>> correlation(x, y)
      -1.0

  Нове в версії 3.10.

`statistics.``linear_regression`(x, y, /)

  Повертає нахил і відрізок параметрів простої лінійної регресії, оцінених за допомогою звичайних методів найменших квадратів. Проста лінійна регресія описує зв’язок між незалежною змінною x і залежною змінною y в термінах цієї лінійної функції:

  > y = нахил * x + перехоплення + шум

  де `нахил` і `перетин` є параметрами регресії, які оцінюються, а `шум` представляє мінливість даних, яка не була пояснена лінійною регресією (він дорівнює різниці між прогнозованим і фактичні значення залежної змінної).

  Обидва входи повинні мати однакову довжину (не менше двох), а незалежна змінна x не може бути постійною; інакше виникає `StatisticsError`.

  Наприклад, ми можемо використати дати виходу фільмів Монті Пайтона, щоб передбачити загальну кількість фільмів Монті Пайтона, які були б створені до 2019 року, якщо припустити, що вони тримали темп.

      >>> year = [1971, 1975, 1979, 1982, 1983]
      >>> films_total = [1, 2, 3, 4, 5]
      >>> slope, intercept = linear_regression(year, films_total)
      >>> round(slope * 2019 + intercept)
      16

  Нове в версії 3.10.

## Винятки

Визначено єдиний виняток:

exception `statistics.``StatisticsError`

  Підклас `ValueError` для винятків, пов’язаних зі статистикою.

## `NormalDist` об’єкти

`NormalDist` — це інструмент для створення та керування нормальними розподілами випадкової змінної. Це клас, який розглядає середнє значення та стандартне відхилення вимірювань даних як єдине ціле.

Нормальні розподіли випливають із Центральної граничної теореми і мають широкий спектр застосувань у статистиці.

class `statistics.``NormalDist`(mu=0.0, sigma=1.0)

  Повертає новий об’єкт NormalDist, де mu представляє середнє арифметичне, а sigma являє собою стандартне відхилення.

  Якщо сигма від’ємна, викликає `StatisticsError`.

  `mean`

    Властивість лише для читання для середнього арифметичного нормального розподілу.

  `median`

    Властивість лише для читання для медіани нормального розподілу.

  `mode`

    Властивість лише для читання для mode нормального розподілу.

  `stdev`

    Властивість лише для читання для стандартного відхилення нормального розподілу.

  `variance`

    Властивість лише для читання для variance нормального розподілу. Дорівнює квадрату стандартного відхилення.

  classmethod `from_samples`(data)

    Створює звичайний екземпляр розподілу з параметрами mu і sigma, оціненими з data за допомогою `fmean()` і `stdev()`.

    Data може бути будь-яким iterable і має складатися зі значень, які можна перетворити на тип `float`. Якщо data не містить принаймні двох елементів, виникає `StatisticsError`, оскільки для оцінки центрального значення потрібна принаймні одна точка, а для оцінки дисперсії — принаймні дві точки.

  `samples`(n, *, seed=None)

    Генерує n випадкових вибірок для заданого середнього значення та стандартного відхилення. Повертає `list` значень `float`.

    Якщо задано seed, створюється новий екземпляр основного генератора випадкових чисел. Це корисно для створення відтворюваних результатів, навіть у багатопоточному контексті.

  `pdf`(x)

    Використовуючи функцію щільності ймовірності (pdf), обчисліть відносну ймовірність того, що випадкова змінна X буде близько заданого значення x. Математично, це межа відношення `P(x <= X < x+dx) / dx`, коли dx наближається до нуля.

    The relative likelihood is computed as the probability of a sample occurring in a narrow range divided by the width of the range (hence the word «density»). Since the likelihood is relative to other points, its value can be greater than `1.0`.

  `cdf`(x)

    Використовуючи кумулятивну функцію розподілу (cdf), обчисліть імовірність того, що випадкова змінна X буде меншою або дорівнює x. Математично це пишеться як `P(X <= x)`.

  `inv_cdf`(p)

    Compute the inverse cumulative distribution function, also known as the quantile function or the percent-point function. Mathematically, it is written `x : P(X <= x) = p`.

    Знаходить таке значення x випадкової змінної X, що ймовірність того, що змінна буде меншою або дорівнює цьому значенню, дорівнює заданій ймовірності p.

  `overlap`(other)

    Вимірює узгодженість між двома нормальними розподілами ймовірностей. Повертає значення від 0,0 до 1,0, що дає область перекриття для двох функцій щільності ймовірності.

  `quantiles`(n=4)

    Розділіть нормальний розподіл на n безперервних інтервалів з рівною ймовірністю. Повертає список (n - 1) точок розрізу, що розділяють інтервали.

    Встановіть n на 4 для квартилів (за замовчуванням). Встановіть n на 10 для децилів. Встановіть n на 100 для процентилів, що дає 99 точок розсічення, які поділяють нормальний розподіл на 100 груп однакового розміру.

  `zscore`(x)

    Обчисліть Стандартну оцінку, що описує x у термінах кількості стандартних відхилень вище або нижче середнього нормального розподілу: `(x - середнє) / стандартне відхилення`.

    Нове в версії 3.9.

  Екземпляри `NormalDist` підтримують додавання, віднімання, множення та ділення на константу. Ці операції використовуються для перекладу та масштабування. Наприклад:

      >>> temperature_february = NormalDist(5, 2.5)             # Celsius
      >>> temperature_february * (9/5) + 32                     # Fahrenheit
      NormalDist(mu=41.0, sigma=4.5)

  Ділення константи на екземпляр `NormalDist` не підтримується, оскільки результат не розподілятиметься нормально.

  Оскільки нормальний розподіл виникає внаслідок адитивних ефектів незалежних змінних, можна додавати та віднімати дві незалежні нормально розподілені випадкові змінні, представлені як екземпляри `NormalDist`. Наприклад:

      >>> birth_weights = NormalDist.from_samples([2.5, 3.1, 2.1, 2.4, 2.7, 3.5])
      >>> drug_effects = NormalDist(0.4, 0.15)
      >>> combined = birth_weights + drug_effects
      >>> round(combined.mean, 1)
      3.1
      >>> round(combined.stdev, 1)
      0.5

  Нове в версії 3.8.

### `NormalDist` Examples and Recipes

`NormalDist` легко вирішує класичні ймовірнісні проблеми.

Наприклад, враховуючи історичні дані для іспитів SAT, які показують, що бали зазвичай розподіляються із середнім значенням 1060 і стандартним відхиленням 195, визначте відсоток студентів із тестовими балами між 1100 і 1200 після округлення до найближчого цілого номер:

    >>> sat = NormalDist(1060, 195)
    >>> fraction = sat.cdf(1200 + 0.5) - sat.cdf(1100 - 0.5)
    >>> round(fraction * 100.0, 1)
    18.4

Знайдіть квартилі і децилі для результатів SAT:

    >>> list(map(round, sat.quantiles()))
    [928, 1060, 1192]
    >>> list(map(round, sat.quantiles(n=10)))
    [810, 896, 958, 1011, 1060, 1109, 1162, 1224, 1310]

To estimate the distribution for a model than isn’t easy to solve analytically, `NormalDist` can generate input samples for a Monte Carlo simulation:

    >>> def model(x, y, z):
    ...     return (3*x + 7*x*y - 5*y) / (11 * z)
    ...
    >>> n = 100_000
    >>> X = NormalDist(10, 2.5).samples(n, seed=3652260728)
    >>> Y = NormalDist(15, 1.75).samples(n, seed=4582495471)
    >>> Z = NormalDist(50, 1.25).samples(n, seed=6582483453)
    >>> quantiles(map(model, X, Y, Z))
    [1.4591308524824727, 1.8035946855390597, 2.175091447274739]

Normal distributions can be used to approximate Binomial distributions when the sample size is large and when the probability of a successful trial is near 50%.

Наприклад, конференція з відкритим кодом має 750 учасників і дві кімнати на 500 осіб. Є розмова про Python, а інша про Ruby. На попередніх конференціях 65% відвідувачів воліли слухати доповіді на Python. Якщо припустити, що переваги населення не змінилися, яка ймовірність того, що кімната Python залишиться в межах своїх можливостей?

    >>> n = 750             # Sample size
    >>> p = 0.65            # Preference for Python
    >>> q = 1.0 - p         # Preference for Ruby
    >>> k = 500             # Room capacity

    >>> # Approximation using the cumulative normal distribution
    >>> from math import sqrt
    >>> round(NormalDist(mu=n*p, sigma=sqrt(n*p*q)).cdf(k + 0.5), 4)
    0.8402

    >>> # Solution using the cumulative binomial distribution
    >>> from math import comb, fsum
    >>> round(fsum(comb(n, r) * p**r * q**(n-r) for r in range(k+1)), 4)
    0.8402

    >>> # Approximation using a simulation
    >>> from random import seed, choices
    >>> seed(8675309)
    >>> def trial():
    ...     return choices(('Python', 'Ruby'), (p, q), k=n).count('Python')
    >>> mean(trial() <= k for i in range(10_000))
    0.8398

Нормальний розподіл зазвичай виникає в задачах машинного навчання.

Wikipedia has a nice example of a Naive Bayesian Classifier. The challenge is to predict a person’s gender from measurements of normally distributed features including height, weight, and foot size.

Нам надається навчальний набір даних із вимірюваннями для восьми осіб. Припускається, що вимірювання мають нормальний розподіл, тому ми підсумовуємо дані за допомогою `NormalDist`:

    >>> height_male = NormalDist.from_samples([6, 5.92, 5.58, 5.92])
    >>> height_female = NormalDist.from_samples([5, 5.5, 5.42, 5.75])
    >>> weight_male = NormalDist.from_samples([180, 190, 170, 165])
    >>> weight_female = NormalDist.from_samples([100, 150, 130, 150])
    >>> foot_size_male = NormalDist.from_samples([12, 11, 12, 10])
    >>> foot_size_female = NormalDist.from_samples([6, 8, 7, 9])

Далі ми зустрічаємо нову людину, характеристики якої відомі, але стать невідома:

    >>> ht = 6.0        # height
    >>> wt = 130        # weight
    >>> fs = 8          # foot size

Починаючи з 50% попередньої ймовірності бути чоловіком чи жінкою, ми обчислюємо апостеріор як попередній час добуток ймовірностей для вимірювань ознаки з урахуванням статі:

    >>> prior_male = 0.5
    >>> prior_female = 0.5
    >>> posterior_male = (prior_male * height_male.pdf(ht) *
    ...                   weight_male.pdf(wt) * foot_size_male.pdf(fs))

    >>> posterior_female = (prior_female * height_female.pdf(ht) *
    ...                     weight_female.pdf(wt) * foot_size_female.pdf(fs))

Остаточне передбачення йде до найбільшого заднього. Це відомо як maximum a posteriori або MAP:

    >>> 'male' if posterior_male > posterior_female else 'female'
    'female'