15. Kayan Nokta Aritmetiği: Sorunlar ve Sınırlamalar
****************************************************

Kayan noktalı sayılar bilgisayar donanımında taban 2 (ikili) kesirler
olarak temsil edilir.  Örneğin, ondalık kesir

   0.125

1/10 + 2/100 + 5/1000 değerine sahiptir ve aynı şekilde ikili kesir

   0.001

0/2 + 0/4 + 1/8 değerine sahiptir.  Bu iki kesir aynı değerlere
sahiptir, tek gerçek fark ilkinin 10 tabanında, ikincisinin ise 2
tabanında kesirli gösterimle yazılmış olmasıdır.

Ne yazık ki, ondalık kesirlerin çoğu tam olarak ikili kesir olarak
gösterilemez.  Bunun bir sonucu olarak, genel olarak, girdiğiniz
ondalık kayan noktalı sayılar, makinede gerçekte depolanan ikili kayan
noktalı sayılar tarafından yalnızca yaklaşık olarak gösterilir.

Problem ilk başta 10 tabanında daha kolay anlaşılabilir.  1/3 kesrini
düşünün.  Bunu 10 tabanında bir kesir olarak yaklaşık olarak
hesaplayabilirsiniz:

   0.3

ya da daha iyisi

   0.33

ya da daha iyisi

   0.333

ve bunun gibi.  Kaç basamak yazmak isterseniz isteyin, sonuç hiçbir
zaman tam olarak 1/3 olmayacak, ancak 1/3'ün giderek daha iyi bir
yaklaşımı olacaktır.

Aynı şekilde, kaç tane 2 tabanı basamağı kullanmak isterseniz isteyin,
0.1 ondalık değeri tam olarak 2 tabanı kesri olarak gösterilemez.
Taban 2'de 1/10 sonsuza kadar tekrar eden bir kesirdir

   0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

Herhangi bir sonlu bit sayısında durduğunuzda bir yaklaşık değer elde
edersiniz.  Bugün çoğu makinede, kayan sayılar, pay en anlamlı bitten
başlayarak ilk 53 bit kullanılarak ve payda ikinin kuvveti olarak
ikili bir kesir kullanılarak yaklaştırılır.  1/10 durumunda ikili
kesir, 1/10'un gerçek değerine yakın ancak tam olarak eşit olmayan
"3602879701896397 / 2 ** 55" şeklindedir.

Birçok kullanıcı, değerlerin görüntülenme şekli nedeniyle bu
yaklaşımın farkında değildir.  Python, makine tarafından depolanan
ikili yaklaşımın gerçek ondalık değerine yalnızca ondalık bir yaklaşım
yazdırır.  Çoğu makinede, Python 0.1 için saklanan ikili yaklaşımın
gerçek ondalık değerini yazdıracak olsaydı,

   >>> 0.1
   0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

Bu çoğu insanın kullanışlı bulacağı seviyeden çok daha fazla basamak
olurdu. Dolayısıyla, Python sayıları yuvarlayarak basamak sayısını
kontrol edilebilir seviyede tutar

   >>> 1 / 10
   0.1

Unutmayın, yazdırılan sonuç 1/10'un tam değeri gibi görünse de,
saklanan gerçek değer temsil edilebilir olan en yakın ikili kesirdir.

İlginç bir şekilde, aynı en yakın yaklaşık ikili kesri paylaşan birçok
farklı ondalık sayı vardır.  Örneğin, "0.1" ve "0.10000000000000001"
ve "0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625"
sayılarının tümü "3602879701896397 / 2 ** 55" ile yaklaştırılır.  Bu
ondalık değerlerin tümü aynı yaklaşımı paylaştığından, "eval(repr(x))
== x" değişmezi korunarak bunlardan herhangi biri görüntülenebilir.

Geçmişte, Python komut istemi ve yerleşik "repr()" işlevi 17 anlamlı
basamağa sahip olanı, "0.10000000000000001" 'i seçerdi.   Python
3.1’den itibaren, Python (çoğu sistemde) artık bunlardan en kısa olanı
seçebilmekte ve basitçe "0.1" 'i görüntüleyebilmektedir.

Bunun ikili kayan noktanın doğasında olduğunu unutmayın: bu
Python'daki bir hata değildir ve kodunuzda daki bir hata da değildir.
Donanımınızın kayan noktalı aritmetiğini destekleyen tüm dillerde aynı
şeyi göreceksiniz (bazı diller varsayılan olarak veya tüm çıktı
modlarında farkı *göstermeyebilir*).

Daha hoş bir çıktı için, sınırlı sayıda anlamlı hane üretmek üzere
dize biçimlendirmesini kullanmak isteyebilirsiniz:

   >>> format(math.pi, '.12g')  # give 12 significant digits
   '3.14159265359'

   >>> format(math.pi, '.2f')   # give 2 digits after the point
   '3.14'

   >>> repr(math.pi)
   '3.141592653589793'

Bunun gerçek anlamda bir yanılsama olduğunun farkına varmak önemlidir:
gerçek makine değerinin *görüntüsünü* yuvarlıyorsunuz.

Bir yanılsama diğerini doğurabilir.  Örneğin, 0,1 tam olarak 1/10
olmadığından, 0,1'in üç değerini toplamak da tam olarak 0,3
vermeyebilir:

   >>> .1 + .1 + .1 == .3
   False

Ayrıca, 0,1 tam 1/10 değerine ve 0,3 tam 3/10 değerine daha fazla
yaklaşamayacağından, "round()" fonksiyonu ile ön yuvarlama yapmak
yardımcı olamaz:

   >>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
   False

Sayılar amaçlanan tam değerlere yaklaştırılamasa da, "round()" işlevi,
kesin olmayan değerlere sahip sonuçların birbiriyle
karşılaştırılabilir hale gelmesi için sonradan yuvarlama yapmaya
yarayabilir:

   >>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
   True

Binary floating-point arithmetic holds many surprises like this.  The
problem with "0.1" is explained in precise detail below, in the
"Representation Error" section.  See The Perils of Floating Point for
a more complete account of other common surprises.

Söylendiği üzere, "kolay cevaplar yoktur."  Yine de, kayan nokta
konusunda gereksiz yere temkinli olmayın!  Python kayan nokta
işlemlerindeki hatalar kayan nokta donanımından miras alınır ve çoğu
makinede işlem başına 2**53'te 1 parçadan fazla değildir.  Bu, çoğu
görev için fazlasıyla yeterlidir, ancak bunun ondalık aritmetik
olmadığını ve her kayan nokta işleminin yeni bir yuvarlama hatasına
maruz kalabileceğini aklınızda bulundurmanız gerekir.

Patolojik durumlar mevcut olsa da, kayan noktalı aritmetiğin sıradan
kullanımı için, nihai sonuçlarınızın görüntüsünü beklediğiniz ondalık
basamak sayısına yuvarlarsanız, sonunda beklediğiniz sonucu
görürsünüz. "str()" genellikle yeterlidir ve daha ince kontrol için
Format String Syntax içindeki "str.format()" yönteminin biçim
belirleyicilerine bakın.

Tam ondalık gösterim gerektiren durumlar için, muhasebe uygulamaları
ve yüksek hassasiyetli uygulamalar için uygun ondalık aritmetiği
uygulayan "decimal" modülünü kullanmayı deneyin.

Kesin aritmetiğin bir başka biçimi, rasyonel sayılara dayalı aritmetik
uygulayan "fractions" modülü tarafından desteklenir (böylece 1/3 gibi
sayılar tam olarak temsil edilebilir).

If you are a heavy user of floating point operations you should take a
look at the Numerical Python package and many other packages for
mathematical and statistical operations supplied by the SciPy project.
See <https://scipy.org>.

Python, bir kayan noktanın tam değerini *gerçekten* bilmek istediğiniz
nadir durumlarda yardımcı olabilecek araçlar sağlar.
"float.as_integer_ratio()" metodu bir kayan noktanın değerini kesir
olarak ifade eder:

   >>> x = 3.14159
   >>> x.as_integer_ratio()
   (3537115888337719, 1125899906842624)

Oran tam olduğundan, orijinal değeri kayıpsız olarak yeniden
oluşturmak için kullanılabilir:

   >>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
   True

"float.hex()" yöntemi bir kayan nokta değerini onaltılık (16 tabanı)
olarak ifade eder ve yine bilgisayarınız tarafından depolanan tam
değeri verir:

   >>> x.hex()
   '0x1.921f9f01b866ep+1'

Bu hassas onaltılık gösterim, float değerini tam olarak yeniden
oluşturmak için kullanılabilir:

   >>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
   True

Temsil tam olduğundan, değerleri Python'un farklı sürümleri arasında
güvenilir bir şekilde taşımak (platform bağımsızlığı) ve aynı biçimi
destekleyen diğer dillerle (Java ve C99 gibi) veri alışverişi yapmak
için kullanışlıdır.

Bir başka yararlı araç da toplama sırasında hassasiyet kaybını
azaltmaya yardımcı olan "math.fsum()" işlevidir.  Değerler çalışan bir
toplam üzerine eklendikçe "kayıp rakamları" izler.  Bu, genel
doğrulukta bir fark yaratabilir, böylece hatalar nihai toplamı
etkileyecek noktaya kadar birikmez:

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True


15.1. Temsil Hatası
===================

Bu bölüm "0.1" örneğini ayrıntılı olarak açıklamakta ve bu gibi
durumların tam analizini kendiniz nasıl yapabileceğinizi
göstermektedir.  İkili kayan nokta gösterimine temel düzeyde aşina
olunduğu varsayılmaktadır.

*Temsil hatası*, bazı (aslında çoğu) ondalık kesirlerin tam olarak
ikili (taban 2) kesirler olarak temsil edilemeyeceği gerçeğini ifade
eder. Bu, Python'un (veya Perl, C, C++, Java, Fortran ve diğerlerinin)
genellikle beklediğiniz tam ondalık sayıyı göstermemesinin başlıca
nedenidir.

Peki bu neden gerçekleşir?  1/10 tam olarak ikili bir kesir olarak
temsil edilemez. Günümüzde (Kasım 2000) neredeyse tüm makineler
IEEE-754 kayan nokta aritmetiği kullanmaktadır ve neredeyse tüm
platformlar Python kayan noktalarını IEEE-754 “çift duyarlılık” ile
eşlemektedir.  754 çift 53 bit kesinlik içerir, bu nedenle girişte
bilgisayar 0.1'i *J*/2***N* formundaki en yakın kesre dönüştürmeye
çalışır, burada *J* tam olarak 53 bit içeren bir tamsayıdır.  Yeniden
Yazma

   1 / 10 ~= J / (2**N)

şu şekilde

   J ~= 2**N / 10

ve *J*'nin tam olarak 53 bit olduğunu hatırlarsak (">= 2**52" ama "<
2**53"), *N* için en iyi değer 56:'dır:

   >>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
   True

Yani, *N* için *J*'ye tam olarak 53 bit bırakan tek değer 56'dır.  O
halde *J* için mümkün olan en iyi değer, bu bölümün yuvarlanmış
halidir:

   >>> q, r = divmod(2**56, 10)
   >>> r
   6

Kalanın değeri 10'un yarısından fazla olduğu için, en iyi yaklaşım
yukarı yuvarlama ile elde edilir:

   >>> q+1
   7205759403792794

Bu nedenle 754 çift duyarlılıkta, 1/10'a mümkün olan en iyi yaklaşım
şudur

   7205759403792794 / 2 ** 56

Hem pay hem de paydayı ikiye böldüğünüzde kesir şuna indirgenir:

   3602879701896397 / 2 ** 55

Aslında bölümü yukarı yuvarladığımız için değerin 1/10'dan biraz daha
büyük olduğuna dikkat edin; yukarı yuvarlamamış olsaydık, bölüm
1/10'dan biraz daha küçük olurdu.  Ancak hiçbir durumda *tam olarak*
1/10 olamaz!

Yani bilgisayar asla 1/10'u "görmez": gördüğü şey yukarıda verilen tam
kesirdir, alabileceği en iyi 754 çift yaklaşımıdır:

   >>> 0.1 * 2 ** 55
   3602879701896397.0

Bu kesri 10**55 ile çarparsak, değeri 55 ondalık basamağa kadar
görebiliriz:

   >>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
   1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

Bu da bilgisayarda depolanan gerçek değerin
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 kesrine eşit
olduğu anlamına gelir. Python’un eski sürümleri dahil olmak üzere çoğu
dil, tam kesri göstermek yerine sonucu 17 anlamlı basamağa yuvarlar:

   >>> format(0.1, '.17f')
   '0.10000000000000001'

"fractions" ve "decimal" modülleri bu hesaplamaları kolaylaştırır:

   >>> from decimal import Decimal
   >>> from fractions import Fraction

   >>> Fraction.from_float(0.1)
   Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> (0.1).as_integer_ratio()
   (3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> Decimal.from_float(0.1)
   Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

   >>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
   '0.10000000000000001'
