15. Floating-Point Arithmetic:  Issues and Limitations
******************************************************

Floating-point numbers are represented in computer hardware as base 2
(binary) fractions.  For example, the **decimal** fraction "0.625" has
value 6/10 + 2/100 + 5/1000, and in the same way the **binary**
fraction "0.101" has value 1/2 + 0/4 + 1/8. These two fractions have
identical values, the only real difference being that the first is
written in base 10 fractional notation, and the second in base 2.

Ne yazık ki, ondalık kesirlerin çoğu tam olarak ikili kesir olarak
gösterilemez.  Bunun bir sonucu olarak, genel olarak, girdiğiniz
ondalık kayan noktalı sayılar, makinede gerçekte depolanan ikili kayan
noktalı sayılar tarafından yalnızca yaklaşık olarak gösterilir.

Problem ilk başta 10 tabanında daha kolay anlaşılabilir.  1/3 kesrini
düşünün.  Bunu 10 tabanında bir kesir olarak yaklaşık olarak
hesaplayabilirsiniz:

   0.3

ya da daha iyisi

   0.33

ya da daha iyisi

   0.333

ve bunun gibi.  Kaç basamak yazmak isterseniz isteyin, sonuç hiçbir
zaman tam olarak 1/3 olmayacak, ancak 1/3'ün giderek daha iyi bir
yaklaşımı olacaktır.

Aynı şekilde, kaç tane 2 tabanı basamağı kullanmak isterseniz isteyin,
0.1 ondalık değeri tam olarak 2 tabanı kesri olarak gösterilemez.
Taban 2'de 1/10 sonsuza kadar tekrar eden bir kesirdir

   0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

Herhangi bir sonlu bit sayısında durduğunuzda bir yaklaşık değer elde
edersiniz.  Bugün çoğu makinede, kayan sayılar, pay en anlamlı bitten
başlayarak ilk 53 bit kullanılarak ve payda ikinin kuvveti olarak
ikili bir kesir kullanılarak yaklaştırılır.  1/10 durumunda ikili
kesir, 1/10'un gerçek değerine yakın ancak tam olarak eşit olmayan
"3602879701896397 / 2 ** 55" şeklindedir.

Many users are not aware of the approximation because of the way
values are displayed.  Python only prints a decimal approximation to
the true decimal value of the binary approximation stored by the
machine.  On most machines, if Python were to print the true decimal
value of the binary approximation stored for 0.1, it would have to
display:

   >>> 0.1
   0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

That is more digits than most people find useful, so Python keeps the
number of digits manageable by displaying a rounded value instead:

   >>> 1 / 10
   0.1

Unutmayın, yazdırılan sonuç 1/10'un tam değeri gibi görünse de,
saklanan gerçek değer temsil edilebilir olan en yakın ikili kesirdir.

İlginç bir şekilde, aynı en yakın yaklaşık ikili kesri paylaşan birçok
farklı ondalık sayı vardır.  Örneğin, "0.1" ve "0.10000000000000001"
ve "0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625"
sayılarının tümü "3602879701896397 / 2 ** 55" ile yaklaştırılır.  Bu
ondalık değerlerin tümü aynı yaklaşımı paylaştığından, "eval(repr(x))
== x" değişmezi korunarak bunlardan herhangi biri görüntülenebilir.

Geçmişte, Python komut istemi ve yerleşik "repr()" işlevi 17 anlamlı
basamağa sahip olanı, "0.10000000000000001" 'i seçerdi.   Python
3.1’den itibaren, Python (çoğu sistemde) artık bunlardan en kısa olanı
seçebilmekte ve basitçe "0.1" 'i görüntüleyebilmektedir.

Note that this is in the very nature of binary floating point: this is
not a bug in Python, and it is not a bug in your code either.  You'll
see the same kind of thing in all languages that support your
hardware's floating-point arithmetic (although some languages may not
*display* the difference by default, or in all output modes).

For more pleasant output, you may wish to use string formatting to
produce a limited number of significant digits:

   >>> format(math.pi, '.12g')  # give 12 significant digits
   '3.14159265359'

   >>> format(math.pi, '.2f')   # give 2 digits after the point
   '3.14'

   >>> repr(math.pi)
   '3.141592653589793'

Bunun gerçek anlamda bir yanılsama olduğunun farkına varmak önemlidir:
gerçek makine değerinin *görüntüsünü* yuvarlıyorsunuz.

One illusion may beget another.  For example, since 0.1 is not exactly
1/10, summing three values of 0.1 may not yield exactly 0.3, either:

   >>> 0.1 + 0.1 + 0.1 == 0.3
   False

Also, since the 0.1 cannot get any closer to the exact value of 1/10
and 0.3 cannot get any closer to the exact value of 3/10, then pre-
rounding with "round()" function cannot help:

   >>> round(0.1, 1) + round(0.1, 1) + round(0.1, 1) == round(0.3, 1)
   False

Though the numbers cannot be made closer to their intended exact
values, the "math.isclose()" function can be useful for comparing
inexact values:

   >>> math.isclose(0.1 + 0.1 + 0.1, 0.3)
   True

Alternatively, the "round()" function can be used to compare rough
approximations:

   >>> round(math.pi, ndigits=2) == round(22 / 7, ndigits=2)
   True

Binary floating-point arithmetic holds many surprises like this.  The
problem with "0.1" is explained in precise detail below, in the
"Representation Error" section.  See Examples of Floating Point
Problems for a pleasant summary of how binary floating point works and
the kinds of problems commonly encountered in practice.  Also see The
Perils of Floating Point for a more complete account of other common
surprises.

As that says near the end, "there are no easy answers."  Still, don't
be unduly wary of floating point!  The errors in Python float
operations are inherited from the floating-point hardware, and on most
machines are on the order of no more than 1 part in 2**53 per
operation.  That's more than adequate for most tasks, but you do need
to keep in mind that it's not decimal arithmetic and that every float
operation can suffer a new rounding error.

Patolojik durumlar mevcut olsa da, kayan noktalı aritmetiğin sıradan
kullanımı için, nihai sonuçlarınızın görüntüsünü beklediğiniz ondalık
basamak sayısına yuvarlarsanız, sonunda beklediğiniz sonucu
görürsünüz. "str()" genellikle yeterlidir ve daha ince kontrol için
Format string syntax içindeki "str.format()" yönteminin biçim
belirleyicilerine bakın.

Tam ondalık gösterim gerektiren durumlar için, muhasebe uygulamaları
ve yüksek hassasiyetli uygulamalar için uygun ondalık aritmetiği
uygulayan "decimal" modülünü kullanmayı deneyin.

Kesin aritmetiğin bir başka biçimi, rasyonel sayılara dayalı aritmetik
uygulayan "fractions" modülü tarafından desteklenir (böylece 1/3 gibi
sayılar tam olarak temsil edilebilir).

If you are a heavy user of floating-point operations you should take a
look at the NumPy package and many other packages for mathematical and
statistical operations supplied by the SciPy project. See
<https://scipy.org>.

Python provides tools that may help on those rare occasions when you
really *do* want to know the exact value of a float.  The
"float.as_integer_ratio()" method expresses the value of a float as a
fraction:

   >>> x = 3.14159
   >>> x.as_integer_ratio()
   (3537115888337719, 1125899906842624)

Since the ratio is exact, it can be used to losslessly recreate the
original value:

   >>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
   True

The "float.hex()" method expresses a float in hexadecimal (base 16),
again giving the exact value stored by your computer:

   >>> x.hex()
   '0x1.921f9f01b866ep+1'

This precise hexadecimal representation can be used to reconstruct the
float value exactly:

   >>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
   True

Temsil tam olduğundan, değerleri Python'un farklı sürümleri arasında
güvenilir bir şekilde taşımak (platform bağımsızlığı) ve aynı biçimi
destekleyen diğer dillerle (Java ve C99 gibi) veri alışverişi yapmak
için kullanışlıdır.

Another helpful tool is the "sum()" function which helps mitigate
loss-of-precision during summation.  It uses extended precision for
intermediate rounding steps as values are added onto a running total.
That can make a difference in overall accuracy so that the errors do
not accumulate to the point where they affect the final total:

   >>> 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 == 1.0
   False
   >>> sum([0.1] * 10) == 1.0
   True

The "math.fsum()" goes further and tracks all of the "lost digits" as
values are added onto a running total so that the result has only a
single rounding.  This is slower than "sum()" but will be more
accurate in uncommon cases where large magnitude inputs mostly cancel
each other out leaving a final sum near zero:

   >>> arr = [-0.10430216751806065, -266310978.67179024, 143401161448607.16,
   ...        -143401161400469.7, 266262841.31058735, -0.003244936839808227]
   >>> float(sum(map(Fraction, arr)))   # Exact summation with single rounding
   8.042173697819788e-13
   >>> math.fsum(arr)                   # Single rounding
   8.042173697819788e-13
   >>> sum(arr)                         # Multiple roundings in extended precision
   8.042178034628478e-13
   >>> total = 0.0
   >>> for x in arr:
   ...     total += x                   # Multiple roundings in standard precision
   ...
   >>> total                            # Straight addition has no correct digits!
   -0.0051575902860057365


15.1. Temsil Hatası
===================

Bu bölüm "0.1" örneğini ayrıntılı olarak açıklamakta ve bu gibi
durumların tam analizini kendiniz nasıl yapabileceğinizi
göstermektedir.  İkili kayan nokta gösterimine temel düzeyde aşina
olunduğu varsayılmaktadır.

*Temsil hatası*, bazı (aslında çoğu) ondalık kesirlerin tam olarak
ikili (taban 2) kesirler olarak temsil edilemeyeceği gerçeğini ifade
eder. Bu, Python'un (veya Perl, C, C++, Java, Fortran ve diğerlerinin)
genellikle beklediğiniz tam ondalık sayıyı göstermemesinin başlıca
nedenidir.

Why is that?  1/10 is not exactly representable as a binary fraction.
Since at least 2000, almost all machines use IEEE 754 binary floating-
point arithmetic, and almost all platforms map Python floats to IEEE
754 binary64 "double precision" values.  IEEE 754 binary64 values
contain 53 bits of precision, so on input the computer strives to
convert 0.1 to the closest fraction it can of the form *J*/2***N*
where *J* is an integer containing exactly 53 bits. Rewriting

   1 / 10 ~= J / (2**N)

şu şekilde

   J ~= 2**N / 10

and recalling that *J* has exactly 53 bits (is ">= 2**52" but "<
2**53"), the best value for *N* is 56:

   >>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
   True

That is, 56 is the only value for *N* that leaves *J* with exactly 53
bits.  The best possible value for *J* is then that quotient rounded:

   >>> q, r = divmod(2**56, 10)
   >>> r
   6

Since the remainder is more than half of 10, the best approximation is
obtained by rounding up:

   >>> q+1
   7205759403792794

Therefore the best possible approximation to 1/10 in IEEE 754 double
precision is:

   7205759403792794 / 2 ** 56

Hem pay hem de paydayı ikiye böldüğünüzde kesir şuna indirgenir:

   3602879701896397 / 2 ** 55

Aslında bölümü yukarı yuvarladığımız için değerin 1/10'dan biraz daha
büyük olduğuna dikkat edin; yukarı yuvarlamamış olsaydık, bölüm
1/10'dan biraz daha küçük olurdu.  Ancak hiçbir durumda *tam olarak*
1/10 olamaz!

So the computer never "sees" 1/10:  what it sees is the exact fraction
given above, the best IEEE 754 double approximation it can get:

   >>> 0.1 * 2 ** 55
   3602879701896397.0

If we multiply that fraction by 10**55, we can see the value out to 55
decimal digits:

   >>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
   1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

meaning that the exact number stored in the computer is equal to the
decimal value
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625. Instead of
displaying the full decimal value, many languages (including older
versions of Python), round the result to 17 significant digits:

   >>> format(0.1, '.17f')
   '0.10000000000000001'

The "fractions" and "decimal" modules make these calculations easy:

   >>> from decimal import Decimal
   >>> from fractions import Fraction

   >>> Fraction.from_float(0.1)
   Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> (0.1).as_integer_ratio()
   (3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> Decimal.from_float(0.1)
   Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

   >>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
   '0.10000000000000001'
