15. Kayan Nokta Aritmetiği: Sorunlar ve Sınırlamalar

Kayan noktalı sayılar, bilgisayar donanımında 2 tabanlı (ikili) kesirler olarak temsil edilir. Örneğin, ondalık kesir 0,125, 1/10 + 2/100 + 5/1000 değerine sahiptir ve aynı şekilde ikili kesir 0,001 aynı şekilde 0/2 + 0/4 + 1/8 değerine sahiptir. Bu iki kesir aynı değerlere sahiptir, tek gerçek fark, birincisinin 10 tabanlı kesirli gösterimde ve ikincisinin 2 tabanlı olarak yazılmasıdır.

Ne yazık ki, ondalık kesirlerin çoğu tam olarak ikili kesir olarak gösterilemez. Bunun bir sonucu olarak, genel olarak, girdiğiniz ondalık kayan noktalı sayılar, makinede gerçekte depolanan ikili kayan noktalı sayılar tarafından yalnızca yaklaşık olarak gösterilir.

Problem ilk başta 10 tabanında daha kolay anlaşılabilir. 1/3 kesrini düşünün. Bunu 10 tabanında bir kesir olarak yaklaşık olarak hesaplayabilirsiniz:

0.3

ya da daha iyisi

0.33

ya da daha iyisi

0.333

ve bunun gibi. Kaç basamak yazmak isterseniz isteyin, sonuç hiçbir zaman tam olarak 1/3 olmayacak, ancak 1/3’ün giderek daha iyi bir yaklaşımı olacaktır.

Aynı şekilde, kaç tane 2 tabanı basamağı kullanmak isterseniz isteyin, 0.1 ondalık değeri tam olarak 2 tabanı kesri olarak gösterilemez. Taban 2’de 1/10 sonsuza kadar tekrar eden bir kesirdir

0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

Herhangi bir sonlu bit sayısında durduğunuzda bir yaklaşık değer elde edersiniz. Bugün çoğu makinede, kayan sayılar, pay en anlamlı bitten başlayarak ilk 53 bit kullanılarak ve payda ikinin kuvveti olarak ikili bir kesir kullanılarak yaklaştırılır. 1/10 durumunda ikili kesir, 1/10’un gerçek değerine yakın ancak tam olarak eşit olmayan 3602879701896397 / 2 ** 55 şeklindedir.

Birçok kullanıcı, değerlerin görüntülenme şekli nedeniyle bu yaklaşımın farkında değildir. Python, makine tarafından depolanan ikili yaklaşımın gerçek ondalık değerine yalnızca ondalık bir yaklaşım yazdırır. Çoğu makinede, Python 0.1 için saklanan ikili yaklaşımın gerçek ondalık değerini yazdıracak olsaydı,

>>> 0.1
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

Bu çoğu insanın kullanışlı bulacağı seviyeden çok daha fazla basamak olurdu. Dolayısıyla, Python sayıları yuvarlayarak basamak sayısını kontrol edilebilir seviyede tutar

>>> 1 / 10
0.1

Unutmayın, yazdırılan sonuç 1/10’un tam değeri gibi görünse de, saklanan gerçek değer temsil edilebilir olan en yakın ikili kesirdir.

İlginç bir şekilde, aynı en yakın yaklaşık ikili kesri paylaşan birçok farklı ondalık sayı vardır. Örneğin, 0.1 ve 0.10000000000000001 ve 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 sayılarının tümü 3602879701896397 / 2 ** 55 ile yaklaştırılır. Bu ondalık değerlerin tümü aynı yaklaşımı paylaştığından, eval(repr(x)) == x değişmezi korunarak bunlardan herhangi biri görüntülenebilir.

Geçmişte, Python komut istemi ve yerleşik repr() işlevi 17 anlamlı basamağa sahip olanı, 0.10000000000000001 ‘i seçerdi. Python 3.1’den itibaren, Python (çoğu sistemde) artık bunlardan en kısa olanı seçebilmekte ve basitçe 0.1 ‘i görüntüleyebilmektedir.

Bunun ikili kayan noktanın doğasında olduğunu unutmayın: bu Python’daki bir hata değildir ve kodunuzda daki bir hata da değildir. Donanımınızın kayan noktalı aritmetiğini destekleyen tüm dillerde aynı şeyi göreceksiniz (bazı diller varsayılan olarak veya tüm çıktı modlarında farkı göstermeyebilir).

Daha hoş bir çıktı için, sınırlı sayıda anlamlı hane üretmek üzere dize biçimlendirmesini kullanmak isteyebilirsiniz:

>>> format(math.pi, '.12g')  # give 12 significant digits
'3.14159265359'

>>> format(math.pi, '.2f')   # give 2 digits after the point
'3.14'

>>> repr(math.pi)
'3.141592653589793'

Bunun gerçek anlamda bir yanılsama olduğunun farkına varmak önemlidir: gerçek makine değerinin görüntüsünü yuvarlıyorsunuz.

Bir yanılsama diğerini doğurabilir. Örneğin, 0,1 tam olarak 1/10 olmadığından, 0,1’in üç değerini toplamak da tam olarak 0,3 vermeyebilir:

>>> .1 + .1 + .1 == .3
False

Ayrıca, 0,1 tam 1/10 değerine ve 0,3 tam 3/10 değerine daha fazla yaklaşamayacağından, round() fonksiyonu ile ön yuvarlama yapmak yardımcı olamaz:

>>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
False

Sayılar amaçlanan tam değerlere yaklaştırılamasa da, round() işlevi, kesin olmayan değerlere sahip sonuçların birbiriyle karşılaştırılabilir hale gelmesi için sonradan yuvarlama yapmaya yarayabilir:

>>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
True

Binary floating-point arithmetic holds many surprises like this. The problem with “0.1” is explained in precise detail below, in the “Representation Error” section. See Examples of Floating Point Problems for a pleasant summary of how binary floating-point works and the kinds of problems commonly encountered in practice. Also see The Perils of Floating Point for a more complete account of other common surprises.

Söylendiği üzere, “kolay cevaplar yoktur.” Yine de, kayan nokta konusunda gereksiz yere temkinli olmayın! Python kayan nokta işlemlerindeki hatalar kayan nokta donanımından miras alınır ve çoğu makinede işlem başına 2**53’te 1 parçadan fazla değildir. Bu, çoğu görev için fazlasıyla yeterlidir, ancak bunun ondalık aritmetik olmadığını ve her kayan nokta işleminin yeni bir yuvarlama hatasına maruz kalabileceğini aklınızda bulundurmanız gerekir.

Patolojik durumlar mevcut olsa da, kayan noktalı aritmetiğin sıradan kullanımı için, nihai sonuçlarınızın görüntüsünü beklediğiniz ondalık basamak sayısına yuvarlarsanız, sonunda beklediğiniz sonucu görürsünüz. str() genellikle yeterlidir ve daha ince kontrol için Format String Syntax içindeki str.format() yönteminin biçim belirleyicilerine bakın.

Tam ondalık gösterim gerektiren durumlar için, muhasebe uygulamaları ve yüksek hassasiyetli uygulamalar için uygun ondalık aritmetiği uygulayan decimal modülünü kullanmayı deneyin.

Kesin aritmetiğin bir başka biçimi, rasyonel sayılara dayalı aritmetik uygulayan fractions modülü tarafından desteklenir (böylece 1/3 gibi sayılar tam olarak temsil edilebilir).

If you are a heavy user of floating-point operations you should take a look at the NumPy package and many other packages for mathematical and statistical operations supplied by the SciPy project. See <https://scipy.org>.

Python, bir kayan noktanın tam değerini gerçekten bilmek istediğiniz nadir durumlarda yardımcı olabilecek araçlar sağlar. float.as_integer_ratio() metodu bir kayan noktanın değerini kesir olarak ifade eder:

>>> x = 3.14159
>>> x.as_integer_ratio()
(3537115888337719, 1125899906842624)

Oran tam olduğundan, orijinal değeri kayıpsız olarak yeniden oluşturmak için kullanılabilir:

>>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
True

float.hex() yöntemi bir kayan nokta değerini onaltılık (16 tabanı) olarak ifade eder ve yine bilgisayarınız tarafından depolanan tam değeri verir:

>>> x.hex()
'0x1.921f9f01b866ep+1'

Bu hassas onaltılık gösterim, float değerini tam olarak yeniden oluşturmak için kullanılabilir:

>>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
True

Temsil tam olduğundan, değerleri Python’un farklı sürümleri arasında güvenilir bir şekilde taşımak (platform bağımsızlığı) ve aynı biçimi destekleyen diğer dillerle (Java ve C99 gibi) veri alışverişi yapmak için kullanışlıdır.

Bir başka yararlı araç da toplama sırasında hassasiyet kaybını azaltmaya yardımcı olan math.fsum() işlevidir. Değerler çalışan bir toplam üzerine eklendikçe “kayıp rakamları” izler. Bu, genel doğrulukta bir fark yaratabilir, böylece hatalar nihai toplamı etkileyecek noktaya kadar birikmez:

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True

15.1. Temsil Hatası

Bu bölüm “0.1” örneğini ayrıntılı olarak açıklamakta ve bu gibi durumların tam analizini kendiniz nasıl yapabileceğinizi göstermektedir. İkili kayan nokta gösterimine temel düzeyde aşina olunduğu varsayılmaktadır.

Temsil hatası, bazı (aslında çoğu) ondalık kesirlerin tam olarak ikili (taban 2) kesirler olarak temsil edilemeyeceği gerçeğini ifade eder. Bu, Python’un (veya Perl, C, C++, Java, Fortran ve diğerlerinin) genellikle beklediğiniz tam ondalık sayıyı göstermemesinin başlıca nedenidir.

Why is that? 1/10 is not exactly representable as a binary fraction. Since at least 2000, almost all machines use IEEE 754 binary floating-point arithmetic, and almost all platforms map Python floats to IEEE 754 binary64 “double precision” values. IEEE 754 binary64 values contain 53 bits of precision, so on input the computer strives to convert 0.1 to the closest fraction it can of the form J/2**N where J is an integer containing exactly 53 bits. Rewriting

1 / 10 ~= J / (2**N)

şu şekilde

J ~= 2**N / 10

ve J’nin tam olarak 53 bit olduğunu hatırlarsak (>= 2**52 ama < 2**53), N için en iyi değer 56:’dır:

>>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
True

Yani, N için J’ye tam olarak 53 bit bırakan tek değer 56’dır. O halde J için mümkün olan en iyi değer, bu bölümün yuvarlanmış halidir:

>>> q, r = divmod(2**56, 10)
>>> r
6

Kalanın değeri 10’un yarısından fazla olduğu için, en iyi yaklaşım yukarı yuvarlama ile elde edilir:

>>> q+1
7205759403792794

Therefore the best possible approximation to 1/10 in IEEE 754 double precision is:

7205759403792794 / 2 ** 56

Hem pay hem de paydayı ikiye böldüğünüzde kesir şuna indirgenir:

3602879701896397 / 2 ** 55

Aslında bölümü yukarı yuvarladığımız için değerin 1/10’dan biraz daha büyük olduğuna dikkat edin; yukarı yuvarlamamış olsaydık, bölüm 1/10’dan biraz daha küçük olurdu. Ancak hiçbir durumda tam olarak 1/10 olamaz!

So the computer never “sees” 1/10: what it sees is the exact fraction given above, the best IEEE 754 double approximation it can get:

>>> 0.1 * 2 ** 55
3602879701896397.0

Bu kesri 10**55 ile çarparsak, değeri 55 ondalık basamağa kadar görebiliriz:

>>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

bu da bilgisayarda depolanan gerçek değerin 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 kesrine eşit olduğu anlamına gelir. Python’un eski sürümleri dahil olmak üzere çoğu dil, tam kesri göstermek yerine sonucu 17 anlamlı basamağa yuvarlar:

>>> format(0.1, '.17f')
'0.10000000000000001'

fractions ve decimal modülleri bu hesaplamaları kolaylaştırır:

>>> from decimal import Decimal
>>> from fractions import Fraction

>>> Fraction.from_float(0.1)
Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

>>> (0.1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)

>>> Decimal.from_float(0.1)
Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

>>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
'0.10000000000000001'