cmath — Funções matemáticas para números complexos

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Este módulo fornece acesso a funções matemáticas para números complexos. As funções neste módulo aceitam inteiros, números de ponto flutuante ou números complexos como argumentos. Eles também aceitarão qualquer objeto Python que tenha um método __complex__() ou __float__(): esses métodos são usados para converter o objeto em um número complexo ou de ponto flutuante, respectivamente, e a função é então aplicada ao resultado da conversão.

Nota

Para funções que envolvem cortes de ramificação, temos o problema de decidir como definir essas funções no próprio corte. Seguindo o artigo de Kahan intitulado “Branch cuts for complex elementary functions” (em tradução livre, “Cortes de ramificação para funções complexas elementares”), bem como o Anexo G do C99 e padrões C posteriores, usamos o sinal de zero para distinguir um lado do outro no corte de ramificação: para um corte de ramificação ao longo (de uma porção) do eixo real olhamos para o sinal da parte imaginária, enquanto para um corte de ramificação ao longo do eixo imaginário olhamos para o sinal da parte real.

Por exemplo, a função cmath.sqrt() tem um corte de ramificação ao longo do eixo real negativo. Um argumento de complex(-2.0, -0.0) é tratado como se estivesse abaixo do corte de ramificação, e assim dá um resultado no eixo imaginário negativo:

>>>

>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
-1.4142135623730951j

Mas um argumento de complex(-2.0, 0.0) é tratado como se estivesse acima do corte de ramificação:

>>>

>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
1.4142135623730951j

Conversões de e para coordenadas polares

Um número complexo Python z é armazenado internamente usando coordenadas retangulares ou cartesianas. É completamente determinado por sua parte real z.real e sua parte imaginária z.imag.

Coordenadas polares fornecem uma forma alternativa de representar um número complexo. Em coordenadas polares, um número complexo z é definido pelo módulo r e pelo ângulo de fase phi. O módulo r é a distância de z à origem, enquanto a fase phi é o ângulo anti-horário, medido em radianos, do eixo x positivo ao segmento de reta que une a origem a z.

As funções a seguir podem ser usadas para converter coordenadas retangulares nativas em coordenadas polares e vice-versa.

cmath.phase(z)

Return the phase of z (also known as the argument of z), as a float. phase(z) is equivalent to math.atan2(z.imag, z.real). The result lies in the range [-π, π], and the branch cut for this operation lies along the negative real axis. The sign of the result is the same as the sign of z.imag, even when z.imag is zero:

>>>

>>> phase(complex(-1.0, 0.0))
3.141592653589793
>>> phase(complex(-1.0, -0.0))
-3.141592653589793

Nota

The modulus (absolute value) of a complex number z can be computed using the built-in abs() function. There is no separate cmath module function for this operation.

cmath.polar(z)

Return the representation of z in polar coordinates. Returns a pair (r, phi) where r is the modulus of z and phi is the phase of z. polar(z) is equivalent to (abs(z), phase(z)).

cmath.rect(r, phi)

Return the complex number z with polar coordinates r and phi. Equivalent to complex(r * math.cos(phi), r * math.sin(phi)).

Funções de potência e logarítmicas

cmath.exp(z)

Return e raised to the power z, where e is the base of natural logarithms.

cmath.log(z[, base])

Return the logarithm of z to the given base. If the base is not specified, returns the natural logarithm of z. There is one branch cut, from 0 along the negative real axis to -∞.

cmath.log10(z)

Return the base-10 logarithm of z. This has the same branch cut as log().

cmath.sqrt(z)

Return the square root of z. This has the same branch cut as log().

Funções trigonométricas

cmath.acos(z)

Return the arc cosine of z. There are two branch cuts: One extends right from 1 along the real axis to ∞. The other extends left from -1 along the real axis to -∞.

cmath.asin(z)

Return the arc sine of z. This has the same branch cuts as acos().

cmath.atan(z)

Return the arc tangent of z. There are two branch cuts: One extends from 1j along the imaginary axis to ∞j. The other extends from -1j along the imaginary axis to -∞j.

cmath.cos(z)

Return the cosine of z.

cmath.sin(z)

Return the sine of z.

cmath.tan(z)

Return the tangent of z.

Funções hiperbólicas

cmath.acosh(z)

Return the inverse hyperbolic cosine of z. There is one branch cut, extending left from 1 along the real axis to -∞.

cmath.asinh(z)

Return the inverse hyperbolic sine of z. There are two branch cuts: One extends from 1j along the imaginary axis to ∞j. The other extends from -1j along the imaginary axis to -∞j.

cmath.atanh(z)

Return the inverse hyperbolic tangent of z. There are two branch cuts: One extends from 1 along the real axis to ∞. The other extends from -1 along the real axis to -∞.

cmath.cosh(z)

Return the hyperbolic cosine of z.

cmath.sinh(z)

Return the hyperbolic sine of z.

cmath.tanh(z)

Return the hyperbolic tangent of z.

Funções de classificação

cmath.isfinite(z)

Return True if both the real and imaginary parts of z are finite, and False otherwise.

Adicionado na versão 3.2.

cmath.isinf(z)

Return True if either the real or the imaginary part of z is an infinity, and False otherwise.

cmath.isnan(z)

Return True if either the real or the imaginary part of z is a NaN, and False otherwise.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

Retorna True se os valores a e b estiverem próximos e False caso contrário.

Se dois valores são considerados próximos ou não é determinado de acordo com tolerâncias absolutas e relativas fornecidas. Se nenhum erro ocorrer, o resultado será: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).

rel_tol é a tolerância relativa – é a diferença máxima permitida entre a e b, em relação ao maior valor absoluto de a ou b. Por exemplo, para definir uma tolerância de 5%, passe rel_tol=0.05. A tolerância padrão é 1e-09, o que garante que os dois valores sejam iguais em cerca de 9 dígitos decimais. rel_tol deve ser não negativo e menor que 1.0.

abs_tol é a tolerância absoluta; o padrão é 0.0 e deve ser não negativo. Ao comparar x com 0.0, isclose(x, 0) é computado como abs(x) <= rel_tol * abs(x), que é False para qualquer x e rel_tol menor que 1.0. Então adicione um argumento abs_tol positivo apropriado à chamada.

Os valores especiais do IEEE 754 de NaN, inf e -inf serão tratados de acordo com as regras do IEEE. Especificamente, NaN não é considerado próximo a qualquer outro valor, incluindo NaN. inf e -inf são considerados apenas próximos a si mesmos.

Adicionado na versão 3.5.

Ver também

PEP 485 – Uma função para testar igualdade aproximada

Constantes

cmath.pi

A constante matemática π, como um ponto flutuante.

cmath.e

A constante matemática e, como um ponto flutuante.

cmath.tau

A constante matemática τ, como um ponto flutuante.

Adicionado na versão 3.6.

cmath.inf

Infinito positivo de ponto flutuante. Equivalente a float('inf').

Adicionado na versão 3.6.

cmath.infj

Número complexo com parte real zero e parte imaginária infinita positiva. Equivalente a complex(0.0, float('inf')).

Adicionado na versão 3.6.

cmath.nan

Um valor de ponto flutuante “não um número” (NaN). Equivalente a float('nan').

Adicionado na versão 3.6.

cmath.nanj

Número complexo com parte real zero e parte imaginária NaN. Equivalente a complex(0.0, float('nan')).

Adicionado na versão 3.6.

Observe que a seleção de funções é semelhante, mas não idêntica, àquela no módulo math. A razão para ter dois módulos é que alguns usuários não estão interessados em números complexos e talvez nem saibam o que são. Eles preferem que math.sqrt(-1) gere uma exceção do que retorne um número complexo. Observe também que as funções definidas em cmath sempre retornam um número complexo, mesmo que a resposta possa ser expressa como um número real (nesse caso o número complexo tem uma parte imaginária de zero).

Uma nota sobre cortes de ramificação: são curvas ao longo das quais a função dada não é contínua. Eles são um recurso necessário de muitas funções complexas. Presume-se que se você precisar calcular com funções complexas, você entenderá sobre cortes de ramificação. Consulte quase qualquer livro (não muito elementar) sobre variáveis complexas para obter esclarecimento. Para informações sobre a escolha adequada dos cortes de ramificação para fins numéricos, uma boa referência deve ser a seguinte:

Ver também

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing’s sign bit. Em Iserles, A. e Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165–211.