# `cmath` — Funções matemáticas para números complexos

This module provides access to mathematical functions for complex numbers. The functions in this module accept integers, floating-point numbers or complex numbers as arguments. They will also accept any Python object that has either a `__complex__()` or a `__float__()` method: these methods are used to convert the object to a complex or floating-point number, respectively, and the function is then applied to the result of the conversion.

Nota

On platforms with hardware and system-level support for signed zeros, functions involving branch cuts are continuous on both sides of the branch cut: the sign of the zero distinguishes one side of the branch cut from the other. On platforms that do not support signed zeros the continuity is as specified below.

## Conversões de e para coordenadas polares

A Python complex number `z` is stored internally using rectangular or Cartesian coordinates. It is completely determined by its real part `z.real` and its imaginary part `z.imag`. In other words:

    z == z.real + z.imag*1j

Coordenadas polares fornecem uma forma alternativa de representar um número complexo. Em coordenadas polares, um número complexo z é definido pelo módulo r e pelo ângulo de fase phi. O módulo r é a distância de z à origem, enquanto a fase phi é o ângulo anti-horário, medido em radianos, do eixo x positivo ao segmento de reta que une a origem a z.

As funções a seguir podem ser usadas para converter coordenadas retangulares nativas em coordenadas polares e vice-versa.

`cmath.``phase`(x)

  Return the phase of x (also known as the argument of x), as a float. `phase(x)` is equivalent to `math.atan2(x.imag, x.real)`. The result lies in the range [-π, π], and the branch cut for this operation lies along the negative real axis, continuous from above. On systems with support for signed zeros (which includes most systems in current use), this means that the sign of the result is the same as the sign of `x.imag`, even when `x.imag` is zero:

      >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
      3.141592653589793
      >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
      -3.141592653589793

Nota

O módulo (valor absoluto) de um número complexo x pode ser calculado usando a função embutida `abs()`. Não há função do módulo `cmath` separada para esta operação.

`cmath.``polar`(x)

  Retorna a representação de x em coordenadas polares. Retorna um par `(r, phi)` onde r é o módulo de x e phi é a fase de x. `polar(x)` é equivalente a `(abs(x), phase(x))`.

`cmath.``rect`(r, phi)

  Return the complex number x with polar coordinates r and phi. Equivalent to `r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)`.

## Funções de potência e logarítmicas

`cmath.``exp`(x)

  Retorna e elevado à potência x, onde e é a base de logaritmos naturais.

`cmath.``log`(x[, base])

  Returns the logarithm of x to the given base. If the base is not specified, returns the natural logarithm of x. There is one branch cut, from 0 along the negative real axis to -∞, continuous from above.

`cmath.``log10`(x)

  Retorna o logaritmo de x na base 10. Este tem o mesmo corte de ramificação que `log()`.

`cmath.``sqrt`(x)

  Retorna a raiz quadrada de x. Este tem o mesmo corte de ramificação que `log()`.

## Funções trigonométricas

`cmath.``acos`(x)

  Return the arc cosine of x. There are two branch cuts: One extends right from 1 along the real axis to ∞, continuous from below. The other extends left from -1 along the real axis to -∞, continuous from above.

`cmath.``asin`(x)

  Retorna o arco seno de x. Tem os mesmos cortes de ramificação que `acos()`.

`cmath.``atan`(x)

  Return the arc tangent of x. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`, continuous from the right. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`, continuous from the left.

`cmath.``cos`(x)

  Retorna o cosseno de x.

`cmath.``sin`(x)

  Retorna o seno de x.

`cmath.``tan`(x)

  Retorna a tangente de x.

## Funções hiperbólicas

`cmath.``acosh`(x)

  Return the inverse hyperbolic cosine of x. There is one branch cut, extending left from 1 along the real axis to -∞, continuous from above.

`cmath.``asinh`(x)

  Return the inverse hyperbolic sine of x. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`, continuous from the right. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`, continuous from the left.

`cmath.``atanh`(x)

  Return the inverse hyperbolic tangent of x. There are two branch cuts: One extends from `1` along the real axis to `∞`, continuous from below. The other extends from `-1` along the real axis to `-∞`, continuous from above.

`cmath.``cosh`(x)

  Retorna o cosseno hiperbólico de x.

`cmath.``sinh`(x)

  Retorna o seno hiperbólico de x.

`cmath.``tanh`(x)

  Retorna a tangente hiperbólica de x.

## Funções de classificação

`cmath.``isfinite`(x)

  Retorna `True` se ambas as partes real e imaginária de x forem finitas, e `False` caso contrário.

  Novo na versão 3.2.

`cmath.``isinf`(x)

  Retorna `True` se ou a parte real ou a imaginária de x for infinita, e `False` caso contrário.

`cmath.``isnan`(x)

  Retorna `True` se ou a parte real ou a imaginária de x for NaN, e `False` caso contrário.

`cmath.``isclose`(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

  Retorna `True` se os valores a e b estiverem próximos e `False` caso contrário.

  Se dois valores são ou não considerados próximos, é determinado de acordo com as tolerâncias absolutas e relativas fornecidas.

  rel_tol é a tolerância relativa – é a diferença máxima permitida entre a e b, em relação ao maior valor absoluto de a ou b. Por exemplo, para definir uma tolerância de 5%, passe `rel_tol=0.05`. A tolerância padrão é `1e-09`, o que garante que os dois valores sejam iguais em cerca de 9 dígitos decimais. rel_tol deve ser maior que zero.

  abs_tol é a tolerância absoluta mínima – útil para comparações próximas a zero. abs_tol deve ser pelo menos zero.

  Se nenhum erro ocorrer, o resultado será: `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`.

  Os valores especiais do IEEE 754 de `NaN`, `inf` e `-inf` serão tratados de acordo com as regras do IEEE. Especificamente, `NaN` não é considerado próximo a qualquer outro valor, incluindo `NaN`. `inf` e `-inf` são considerados apenas próximos a si mesmos.

  Novo na versão 3.5.

  Ver também

  PEP 485 – Uma função para testar igualdade aproximada

## Constantes

`cmath.``pi`

  A constante matemática π, como um ponto flutuante.

`cmath.``e`

  A constante matemática e, como um ponto flutuante.

`cmath.``tau`

  A constante matemática τ, como um ponto flutuante.

  Novo na versão 3.6.

`cmath.``inf`

  Infinito positivo de ponto flutuante. Equivale a `float('inf')`.

  Novo na versão 3.6.

`cmath.``infj`

  Número complexo com parte real zero e parte imaginária infinita positiva. Equivale a `complex(0.0, float('inf'))`.

  Novo na versão 3.6.

`cmath.``nan`

  Um valor de ponto flutuante “não um número” (NaN). Equivale a `float('nan')`.

  Novo na versão 3.6.

`cmath.``nanj`

  Número complexo com parte real zero e parte imaginária NaN. Equivale a `complex(0.0, float('nan'))`.

  Novo na versão 3.6.

Observe que a seleção de funções é semelhante, mas não idêntica, àquela no módulo `math`. A razão para ter dois módulos é que alguns usuários não estão interessados em números complexos e talvez nem saibam o que são. Eles preferem que `math.sqrt(-1)` gere uma exceção do que retorne um número complexo. Observe também que as funções definidas em `cmath` sempre retornam um número complexo, mesmo que a resposta possa ser expressa como um número real (nesse caso o número complexo tem uma parte imaginária de zero).

Uma nota sobre cortes de ramificação: são curvas ao longo das quais a função dada não é contínua. Eles são um recurso necessário de muitas funções complexas. Presume-se que se você precisar calcular com funções complexas, você entenderá sobre cortes de ramificação. Consulte quase qualquer livro (não muito elementar) sobre variáveis complexas para obter esclarecimento. Para informações sobre a escolha adequada dos cortes de ramificação para fins numéricos, uma boa referência deve ser a seguinte:

Ver também

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing’s sign bit. Em Iserles, A. e Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165–211.