15. Aritmética de ponto flutuante: problemas e limitações
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Números de ponto flutuante são representados no hardware do computador
como frações binárias (base 2). Por exemplo, a fração decimal:

   0.125

tem o valor 1/10 + 2/100 + 5/1000, e da mesma maneira a fração
binária:

   0.001

tem o valor 0/2 + 0/4 + 1/8. Essas duas frações têm valores idênticos,
a única diferença real é que a primeira está representada na forma de
frações base 10, e a segunda na base 2.

Infelizmente, muitas frações decimais não podem ser representadas
precisamente como frações binárias. O resultado é que, em geral, os
números decimais de ponto flutuante que você digita acabam sendo
armazenados de forma apenas aproximada, na forma de números binários
de ponto flutuante.

O problema é mais fácil de entender primeiro em base 10. Considere a
fração 1/3. Podemos representá-la aproximadamente como uma fração base
10:

   0.3

ou melhor,

   0.33

ou melhor,

   0.333

e assim por diante. Não importa quantos dígitos você está disposto a
escrever, o resultado nunca será exatamente 1/3, mas será uma
aproximação de cada vez melhor de 1/3.

Da mesma forma, não importa quantos dígitos de base 2 estejas disposto
a usar, o valor decimal 0.1 não pode ser representado exatamente como
uma fração de base 2. No sistema de base 2, 1/10 é uma fração binária
que se repete infinitamente:

   0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

Se parares em qualquer número finito de bits, obterás uma aproximação.
Hoje em dia, na maioria dos computadores, as casas decimais são
aproximados usando uma fração binária onde o numerado utiliza os
primeiros 53 bits iniciando no bit mais significativo e tendo como
denominador uma potência de dois. No caso de 1/10, a fração binária
seria "602879701896397 / 2 ** 55" o que chega bem perto, mas mesmo
assim, não é igual ao valor original de 1/10.

É fácil esquecer que o valor armazenado é uma aproximação da fração
decimal original, devido à forma como os floats são exibidos no
interpretador interativo. O Python exibe apenas uma aproximação
decimal do verdadeiro valor decimal da aproximação binária armazenada
pela máquina. Se o Python exibisse o verdadeiro valor decimal da
aproximação binária que representa o decimal 0.1, seria necessário
mostrar:

   >>> 0.1
   0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

Contém muito mais dígitos do que é o esperado e utilizado pela grande
maioria dos desenvolvedores, portanto, o Python limita o número de
dígitos exibidos, apresentando um valor arredondado, ao invés de
mostrar todas as casas decimais:

   >>> 1 / 10
   0.1

Lembre-se, mesmo que o resultado impresso seja o valor exato de 1/10,
o valor que verdadeiramente estará armazenado será uma fração binária
representável que mais se aproxima.

Curiosamente, existem muitos números decimais diferentes que
compartilham a mesma fração binária aproximada. Por exemplo, os
números "0.1" ou o "0.10000000000000001" e
"0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625" são todos
aproximações de "3602879701896397/2 ** 55". Como todos esses valores
decimais compartilham um mesma de aproximação, qualquer um poderá ser
exibido enquanto for preservado o invariante "eval(repr(x)) == x".

Historicamente, o prompt do Python e a função embutida "repr()"
utilizariam o que contivesse 17 dígitos
significativos,``0.10000000000000001``. Desde a versão do Python 3.1,
o Python (na maioria dos sistemas) agora é possível optar pela forma
mais reduzida, exibindo simplesmente o número "0.1".

Note que essa é a própria natureza do ponto flutuante binário: não é
um bug do Python, e nem é um bug do seu código. Essa situação pode ser
observada em todas as linguagens que usam as instruções aritméticas de
ponto flutuante do hardware (apesar de algumas linguagens não
*mostrarem* a diferença, por padrão, ou em todos os modos de saída).

Para obter um valor mais agradável, poderás utilizar a formatação de
sequência de caracteres sendo capaz de gerar um número limitado de
dígitos significativos:

   >>> format(math.pi, '.12g')  # give 12 significant digits
   '3.14159265359'

   >>> format(math.pi, '.2f')   # give 2 digits after the point
   '3.14'

   >>> repr(math.pi)
   '3.141592653589793'

É importante perceber que tudo não passa de pura ilusão: estas
simplesmente arredondando a *exibição* da verdadeira maquinaria do
valor.

Uma ilusão pode gerar outra. Por exemplo, uma vez que 0,1 não é
exatamente 1/10, somar três vezes o valor 0.1, não garantirá que o
resultado seja exatamente 0,3, isso porque:

   >>> .1 + .1 + .1 == .3
   False

Inclusive, uma vez que o 0,1 não consegue aproximar-se do valor exato
de 1/10 e 0,3 não pode se aproximar mais do valor exato de 3/10, temos
então que o pré-arredondamento com a função "round()" não servirá como
ajuda:

   >>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
   False

Embora os números não possam se aproximar mais dos exatos valores que
desejamos, a função "round()" poderá ser útil na obtenção do pós-
arredondamento para que os resultados contendo valores inexatos se
tornem comparáveis uns aos outros:

   >>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
   True

A aritmética de ponto flutuante binário traz muitas surpresas como
essas. O problema do "0.1" é explicado em detalhes precisos abaixo, na
seção "Erro de Representação". Para uma descrição mais completa de
outras surpresas que comumente nos deparamos, veja a seção The Perils
of Floating Point que contém diversos exemplos distintos.

Como dizemos perto do final, "não há respostas fáceis". Ainda assim,
não se percam indevidamente no uso do ponto flutuante! Os erros nas
operações do tipo float do Python são heranças do hardware de ponto
flutuante e, a maioria dos computadores estão na ordem de não mais do
que 1 parte em 2**53 por operação. Isso é mais do que o suficiente
para a maioria das tarefas, portanto, é importante lembrar que não se
trata de uma aritmética decimal e que toda operação com o tipo float
poderá via a apresentar novos problemas referentes ao arredondamento.

Embora existam casos patológicos, na maior parte das vezes, terás como
resultado final o valor esperado, se simplesmente arredondares a
exibição final dos resultados para a quantidade de dígitos decimais
que esperas a função "str()" geralmente será o suficiente, e , para
seja necessário um valor refinado, veja os especificadores de formato
"str.format()" contido na seção Sintaxe das strings de formato.

Para as situações que exijam uma representação decimal exata,
experimente o módulo "decimal" que possui, a implementação de uma
adequada aritmética decimal bastante utilizada nas aplicações
contábeis e pelas aplicações que demandam alta precisão.

Uma outra forma de obter uma aritmética exata tem suporte pelo módulo
"fracções" que implementa a aritmética baseada em números racionais
(portanto, os números fracionários como o 1/3 conseguem uma
representação precisa).

Caso necessites fazer um intenso uso das operações de ponto flutuante,
é importante que conheças o pacote Numerical Python e, também é
importante dizer, que existem diversos pacotes destinados ao trabalho
intenso com operações matemáticas e estatísticas que são fornecidas
pelo projeto SciPy. Veja <https://scipy.org>.

O Python fornece ferramentas que podem ajudar nessas raras ocasiões em
que realmente *faz* necessitas conhecer o valor exato de um float. O
método "float.as_integer_ratio()" expressa o valor do tipo float em
sua forma fracionária:

   >>> x = 3.14159
   >>> x.as_integer_ratio()
   (3537115888337719, 1125899906842624)

Uma vez que a relação seja exata, será possível utiliza-la para obter,
sem que haja quaisquer perda o valor original:

   >>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
   True

O método "float.hex()" expressa um tipo float em hexadecimal (base
16), o mesmo também conferirá o valor exato pelo computador:

   >>> x.hex()
   '0x1.921f9f01b866ep+1'

Sua precisa representação hexadecimal poderá ser utilizada para
reconstruir o valor exato do float:

   >>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
   True

Como a representação será exata, é interessante utilizar valores
confiáveis em diferentes versões do Python (independente da
plataforma) e a troca de dados entre idiomas diferentes que forneçam o
mesmo formato (como o Java e o C99).

Uma outra ferramenta que poderá ser útil é a função "math.fsum()" que
ajuda a mitigar a perda de precisão durante a soma. Ele rastreia
"dígitos perdidos", isso porque, os valores serão adicionados a um
total em execução. Isso poderá fazer a diferença na precisão geral de
forma que os erros não se acumulem chegando ao ponto de afetar o
resultado final:

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True


15.1. Erro de representação
===========================

Esta seção explica o exemplo do "0,1" em detalhes, e mostra como
poderás realizar uma análise exata de casos semelhantes. Assumimos que
tenhas uma familiaridade básica com a representação binária de ponto
flutuante.

*Erro de representação* refere-se ao fato de que algumas frações
decimais (a maioria, na verdade) não podem ser representadas
exatamente como frações binárias (base 2). Esta é a principal razão
por que o Python (ou Perl, C, C++, Java, Fortran, e muitas outras)
frequentemente não exibe o número decimal exato conforme o esperado:

Por que isso acontece? 1/10 e 2/10 não são podem ser representados
exatamente ​​sendo frações binárias. Atualmente, quase todos
computadores (julho de 2010) usam aritmética de ponto flutuante
conforme a norma IEEE-754, e o Python, em quase todas as plataformas,
representa um float como um "IEEE-754 double precision float" ("float
de precisão dupla IEEE-754"). Os tais "doubles IEEE-754" têm 53 bits
de precisão, por isso na entrada o computador se esforça para
converter "0.1" pra fração mais próxima que puder, na forma *J*/2***N*
onde *J* é um número inteiro contendo exatamente 53 bits.
Reescrevendo:

   1 / 10 ~= J / (2**N)

como

   J ~= 2**N / 10

e recordando que *J* tenha exatamente 53 bits (é ">= 2**52", mas "<
2**53"), o melhor valor para *N* é 56:

   >>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
   True

Ou seja, 56 é o único valor de *N* que deixa *J* com exatamente 53
bits. Portanto, o melhor valor que conseguimos obter pra *J* será
aquele que possui o quociente arredondado:

   >>> q, r = divmod(2**56, 10)
   >>> r
   6

Uma vez que o resto seja maior do que a metade de 10, a melhor
aproximação que poderá ser obtida se arredondarmos para cima:

   >>> q+1
   7205759403792794

Portanto, a melhor aproximação possível de 1/10 como um "IEEE-754
double precision" é:

   7205759403792794 / 2 ** 56

Dividir o numerador e o denominador por dois reduzirá a fração para:

   3602879701896397 / 2 ** 55

Note que, como arredondamos para cima, esse valor é, de fato, um pouco
maior que 1/10; se não tivéssemos arredondado para cima, o quociente
teria sido um pouco menor que 1/10. Mas em nenhum caso seria possível
obter *exatamente* o valor 1/10!

Por isso, o computador nunca "vê" 1/10: o que ele vê é exatamente a
fração que é obtida pra cima, a melhor aproximação "IEEE-754 double"
possível é:

   >>> 0.1 * 2 ** 55
   3602879701896397.0

Se multiplicarmos essa fração por 10**30, podemos ver o valor contendo
os 55 dígitos mais significativos:

   >>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
   1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

o que significa que o número exato armazenados no computador será
aproximadamente igual ao o valor decimal
0.100000000000000005551115123125. Versões do Python anteriores a 2.7 e
a 3.1, esse valor era exibido pelo arredondamento dos 17 dígitos
significativos, produzindo '0.10000000000000001'. As últimas versões,
o Python está exibindo fração decimal mais curta que poderá ser
convertida para o verdadeiro valor binário, o que resulta simplesmente
em '0.1'.

   >>> format(0.1, '.17f')
   '0.10000000000000001'

Módulos como o "fractions" e o "decimal" tornam esses cálculos muito
mais fáceis:

   >>> from decimal import Decimal
   >>> from fractions import Fraction

   >>> Fraction.from_float(0.1)
   Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> (0.1).as_integer_ratio()
   (3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> Decimal.from_float(0.1)
   Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

   >>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
   '0.10000000000000001'
