"math" --- Funções matemáticas
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Este módulo fornece acesso às funções matemáticas definidas pelo
padrão C.

Essas funções não podem ser usadas com números complexos; use as
funções de mesmo nome do módulo "cmath" se você precisar de suporte
para números complexos. A distinção entre funções que suportam números
complexos e aquelas que não suportam é feita uma vez que a maioria dos
usuários não quer aprender a matemática necessária para entender
números complexos. Receber uma exceção em vez de um resultado complexo
permite a detecção antecipada do número complexo inesperado usado como
parâmetro, para que o programador possa determinar como e por que ele
foi gerado em primeiro lugar.

As funções a seguir são fornecidas por este módulo. Exceto quando
explicitamente indicado de outra forma, todos os valores de retorno
são pontos flutuantes.


Funções de teoria dos números e de representação
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math.ceil(x)

   Retorna o teto de *x*, o menor inteiro maior ou igual que *x*. Se
   *x* não é um float, delega para "x.__ceil__", que deve retornar um
   valor do tipo "Integral".

math.comb(n, k)

   Retorna o número de maneiras de escolher *k* itens de *n* itens sem
   repetição e sem ordem.

   Avalia para "n! / (k! * (n - k)!)" quando "k <= n" e avalia para
   zero quando "k > n".

   Também chamado de coeficiente binomial porque é equivalente ao
   coeficiente do k-ésimo termo na expansão polinomial da expressão
   "(1 + x) ** n".

   Levanta "TypeError" se algum dos argumentos não for inteiro.
   Levanta "ValueError" se algum dos argumentos for negativo.

   Novo na versão 3.8.

math.copysign(x, y)

   Retorna um ponto flutuante com a magnitude (valor absoluto) de *x*,
   mas o sinal de *y*. Em plataformas que suportam zeros com sinal,
   "copysign(1.0, -0.0)" retorna *-1.0*.

math.fabs(x)

   Retorna o valor absoluto de *x*.

math.factorial(x)

   Retorna *x* fatorial como um inteiro. Levanta "ValueError" se *x*
   não for integral ou for negativo.

   Obsoleto desde a versão 3.9: Aceitar pontos flutuantes com valores
   integrais (como "5.0") foi descontinuado.

math.floor(x)

   Retorna o chão de *x*, o maior inteiro menor ou igual a *x*. Se *x*
   não é um ponto flutuante, delega para "x.__floor__", que deve
   retornar um valor do tipo "Integral"

math.fmod(x, y)

   Retorna "fmod(x, y)", conforme definido pela biblioteca C da
   plataforma. Observe que a expressão Python "x % y" pode não
   retornar o mesmo resultado. A intenção do padrão C é que "fmod(x,
   y)" seja exatamente (matematicamente; com precisão infinita) igual
   a "x - n*y" para algum inteiro *n* de modo que o resultado tenha o
   mesmo sinal que *x* e magnitude menor que "abs(y)". O "x % y" do
   Python retorna um resultado com o sinal de *y*, e pode não ser
   exatamente computável para argumentos de ponto flutuante. Por
   exemplo, "fmod(-1e-100, 1e100)" é "-1e-100", mas o resultado de
   "-1e-100 % 1e100" do Python é "1e100-1e-100", que não pode ser
   representado exatamente como um ponto flutuante, e é arredondado
   para o surpreendente "1e100". Por esta razão, a função "fmod()" é
   geralmente preferida ao trabalhar com pontos flutuantes, enquanto o
   "x % y" do Python é preferido ao trabalhar com inteiros.

math.frexp(x)

   Retorna a mantissa e o expoente de *x* como o par "(m, e)". *m* é
   um ponto flutuante e *e* é um inteiro tal que "x == m * 2**e"
   exatamente. Se *x* for zero, retorna "(0.0, 0)", caso contrário,
   "0.5 <= abs(m) < 1". Isso é usado para "separar" a representação
   interna de um ponto flutuante de forma portátil.

math.fsum(iterable)

   Retorna uma soma de valores de ponto flutuante precisa no iterável.
   Evita perda de precisão rastreando várias somas parciais
   intermediárias:

      >>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
      0.9999999999999999
      >>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
      1.0

   A precisão do algoritmo depende das garantias aritméticas do
   IEEE-754 e do caso típico em que o modo de arredondamento é meio
   par. Em algumas compilações que não são do Windows, a biblioteca C
   subjacente usa adição de precisão estendida e pode ocasionalmente
   arredondar uma soma intermediária fazendo com que ela introduza um
   erro no bit menos significativo.

   Para uma discussão mais aprofundada e duas abordagens alternativas,
   consulte as receitas do livro de receitas ASPN para soma de ponto
   flutuante preciso.

math.gcd(*integers)

   Retorna o maior divisor comum dos argumentos inteiros
   especificados. Se algum dos argumentos for diferente de zero, o
   valor retornado será o maior inteiro positivo que é um divisor de
   todos os argumentos. Se todos os argumentos forem zero, o valor
   retornado será "0". "gcd()" sem argumentos retorna "0".

   Novo na versão 3.5.

   Alterado na versão 3.9: Adicionado suporte para um número
   arbitrário de argumentos. Anteriormente, apenas dois argumentos
   eram suportados.

math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

   Retorna "True" se os valores *a* e *b* estiverem próximos e "False"
   caso contrário.

   Se dois valores são ou não considerados próximos, é determinado de
   acordo com as tolerâncias absolutas e relativas fornecidas.

   *rel_tol* é a tolerância relativa -- é a diferença máxima permitida
   entre *a* e *b*, em relação ao maior valor absoluto de *a* ou *b*.
   Por exemplo, para definir uma tolerância de 5%, passe
   "rel_tol=0.05". A tolerância padrão é "1e-09", o que garante que os
   dois valores sejam iguais em cerca de 9 dígitos decimais. *rel_tol*
   deve ser maior que zero.

   *abs_tol* é a tolerância absoluta mínima -- útil para comparações
   próximas a zero. *abs_tol* deve ser pelo menos zero.

   Se nenhum erro ocorrer, o resultado será: "abs(a-b) <= max(rel_tol
   * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)".

   Os valores especiais do IEEE 754 de "NaN", "inf" e "-inf" serão
   tratados de acordo com as regras do IEEE. Especificamente, "NaN"
   não é considerado próximo a qualquer outro valor, incluindo "NaN".
   "inf" e "-inf" são considerados apenas próximos a si mesmos.

   Novo na versão 3.5.

   Ver também:

     **PEP 485** -- Uma função para testar igualdade aproximada

math.isfinite(x)

   Retorna "True" se *x* não for um infinito nem um NaN, e "False"
   caso contrário.  (Observe que "0.0" *é* considerado finito.)

   Novo na versão 3.2.

math.isinf(x)

   Retorna "True" se *x* for um infinito positivo ou negativo, e
   "False" caso contrário.

math.isnan(x)

   Retorna "True" se *x* for um NaN (não um número), e "False" caso
   contrário.

math.isqrt(n)

   Retorna a raiz quadrada inteira do inteiro não negativo *n*. Este é
   o piso da raiz quadrada exata de *n*, ou equivalentemente o maior
   inteiro *a* tal que *a*² ≤ *n*.

   Para algumas aplicações, pode ser mais conveniente ter o menor
   número inteiro *a* tal que *n* ≤ *a*² ou, em outras palavras, o
   teto da raiz quadrada exata de *n*. Para *n* positivo, isso pode
   ser calculado usando "a = 1 + isqrt(n - 1)".

   Novo na versão 3.8.

math.lcm(*integers)

   Retorna o mínimo múltiplo comum dos argumentos inteiros
   especificados. Se todos os argumentos forem diferentes de zero, o
   valor retornado será o menor inteiro positivo que é um múltiplo de
   todos os argumentos. Se algum dos argumentos for zero, o valor
   retornado será "0". "lcm()" sem argumentos retorna "1".

   Novo na versão 3.9.

math.ldexp(x, i)

   Retorna "x * (2**i)". Este é essencialmente o inverso da função
   "frexp()".

math.modf(x)

   Retorna as partes fracionárias e inteiras de *x*. Ambos os
   resultados carregam o sinal de *x* e são pontos flutuantes.

math.nextafter(x, y)

   Retorna o próximo valor de ponto flutuante após *x* em direção a
   *y*.

   Se *x* é igual a *y*, retorna *y*.

   Exemplos:

   * "math.nextafter(x, math.inf)" sobe: em direção ao infinito
     positivo.

   * "math.nextafter(x, -math.inf)" desce: em direção ao menos
     infinito.

   * "math.nextafter(x, 0.0)" vai em direção a zero.

   * "math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x))" se afasta do
     zero.

   Veja também "math.ulp.()"

   Novo na versão 3.9.

math.perm(n, k=None)

   Retorna o número de maneiras de escolher *k* itens de *n* itens sem
   repetição e com ordem.

   Avalia para "n! / (n - k)!" quando "k <= n" e avalia para zero
   quando "k > n".

   Se *k* não for especificado ou for None, *k* usará o padrão *n* e a
   função retornará "n!".

   Levanta "TypeError" se algum dos argumentos não for inteiro.
   Levanta "ValueError" se algum dos argumentos for negativo.

   Novo na versão 3.8.

math.prod(iterable, *, start=1)

   Calcula o produto de todos os elementos na entrada *iterable*. O
   valor *start* padrão para o produto é "1".

   Quando o iterável estiver vazio, retorna o valor de start. Esta
   função deve ser usada especificamente com valores numéricos e pode
   rejeitar tipos não numéricos.

   Novo na versão 3.8.

math.remainder(x, y)

   Retorna o resto no estilo IEEE 754 de *x* em relação a *y*. Para o
   finito *x* e o finito diferente de zero *y*, esta é a diferença "x
   - n*y", onde "n" é o número inteiro mais próximo do valor exato do
   quociente "x / y" . Se "x / y" está exatamente no meio do caminho
   entre dois inteiros consecutivos, o inteiro *par* mais próximo é
   usado para "n". O resto "r = remainder(x, y)" assim sempre satisfaz
   "abs(r) <= 0.5 * abs(y)".

   Casos especiais seguem IEEE 754: em particular, "remainder(x,
   math.inf)" é *x* para qualquer *x* finito, e "remainder(x, 0)" e
   "remainder(math.inf, x)" levantam "ValueError" para qualquer *x*
   não NaN. Se o resultado da operação "remainder" for zero, esse zero
   terá o mesmo sinal de *x*.

   Em plataformas que usam ponto flutuante binário do IEEE 754, o
   resultado dessa operação é sempre exatamente representável: nenhum
   erro de arredondamento é introduzido.

   Novo na versão 3.7.

math.trunc(x)

   Retorna *x* com a parte fracionária removida, deixando a parte
   inteira. Isso arredonda para 0: "trunc()" é equivalente a "floor()"
   para *x* positivos, e equivalentes a "ceil()" para *x* negativos.
   Se *x* não é um ponto flutuante, então delega para "x.__trunc__",
   cujo qual deve retornar um valor do tipo "Integral".

math.ulp(x)

   Retorna o valor do bit menos significativo do ponto flutuante *x*:

   * Se *x* for um NaN (não um número), retorna *x*.

   * Se *x* for negativo, retorna "ulp(-x)".

   * Se *x* for um infinito positivo, retorna *x*.

   * Se *x* for igual a zero, retorna o menor valor flutuante positivo
     *desnormalizado* representável (menor que o ponto flutuante de
     valor mínimo positivo *normalizado*, "sys.float_info.min").

   * Se *x* for igual ao maior ponto flutuante positivo representável,
     retorna o valor do bit menos significativo de *x*, tal que o
     primeiro ponto flutuante menor que *x* seja "x - ulp(x)".

   * Caso contrário (*x* é um número finito positivo), retorna o valor
     do bit menos significativo de *x*, de modo que o primeiro ponto
     flutuante maior que *x* seja "x + ulp(x)".

   ULP significa "Unit in the Last Place" ou, em português, unidade na
   última posição.

   Veja também "math.nextafter()" e "sys.float_info.epsilon".

   Novo na versão 3.9.

Observe que "frexp()" e "modf()" têm um padrão de chamada/retorno
diferente de seus equivalentes C: elas pegam um único argumento e
retornam um par de valores, ao invés de retornar seu segundo valor de
retorno por meio de um "parâmetro de saída" (não existe tal coisa em
Python).

Para as funções "ceil()", "floor()" e "modf()", observe que *todos* os
números de ponto flutuante de magnitude suficientemente grande são
inteiros exatos. Os pontos flutuantes do Python normalmente não
carregam mais do que 53 bits de precisão (o mesmo que o tipo duplo da
plataforma C), caso em que qualquer ponto flutuante *x* com "abs(x) >=
2**52" necessariamente não tem bits fracionários.


Funções de potência e logarítmicas
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math.exp(x)

   Retorna *e* elevado à potência *x*, onde *e* = 2.718281... é a base
   dos logaritmos naturais. Isso geralmente é mais preciso do que
   "math.e ** x" ou "pow(math.e, x)".

math.expm1(x)

   Retorna *e* elevado à potência *x*, menos 1. Aqui *e* é a base dos
   logaritmos naturais. Para pequenos pontos flutuantes *x*, a
   subtração em "exp(x) - 1" pode resultar em uma perda significativa
   de precisão; a função "expm1()" fornece uma maneira de calcular
   essa quantidade com precisão total:

      >>> from math import exp, expm1
      >>> exp(1e-5) - 1  # gives result accurate to 11 places
      1.0000050000069649e-05
      >>> expm1(1e-5)    # result accurate to full precision
      1.0000050000166668e-05

   Novo na versão 3.2.

math.log(x[, base])

   Com um argumento, retorna o logaritmo natural de *x* (para base
   *e*).

   Com dois argumentos, retorna o logaritmo de *x* para a *base*
   fornecida, calculada como "log(x)/log(base)".

math.log1p(x)

   Retorna o logaritmo natural de *1+x* (base *e*). O resultado é
   calculado de forma precisa para *x* próximo a zero.

math.log2(x)

   Retorna o logaritmo de base 2 de *x*. Isso geralmente é mais
   preciso do que "log(x, 2)".

   Novo na versão 3.3.

   Ver também:

     "int.bit_length()" retorna o número de bits necessários para
     representar um inteiro em binário, excluindo o sinal e os zeros à
     esquerda.

math.log10(x)

   Retorna o logaritmo de base 10 de *x*. Isso geralmente é mais
   preciso do que "log(x, 10)".

math.pow(x, y)

   Retorna "x" elevado à potência "y". Os casos excepcionais seguem o
   Anexo 'F' da norma C99, tanto quanto possível. Em particular,
   "pow(1.0, x)" e "pow(x, 0.0)" sempre retornam "1.0", mesmo quando
   "x" é um zero ou um NaN. Se ambos "x" e "y" são finitos, "x" é
   negativo, e "y" não é um inteiro, então "pow(x, y)" é indefinido e
   levanta "ValueError".

   Ao contrário do operador embutido "**", "math.pow()" converte ambos
   os seus argumentos para o tipo "float". Use "**" ou a função
   embutida "pow()" para calcular potências inteiras exatas.

math.sqrt(x)

   Retorna a raiz quadrada de *x*.


Funções trigonométricas
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math.acos(x)

   Retorna o arco cosseno de *x*, em radianos. O resultado está entre
   "0" e "pi".

math.asin(x)

   Retorna o arco seno de *x*, em radianos. O resultado está entre
   "-pi/2" e "pi/2".

math.atan(x)

   Retorna o arco tangente de *x*, em radianos. O resultado está entre
   "-pi/2" e "pi/2".

math.atan2(y, x)

   Retorna "atan(y / x)", em radianos. O resultado está entre "-pi" e
   "pi". O vetor no plano da origem ao ponto "(x, y)" faz este ângulo
   com o eixo X positivo. O ponto de "atan2()" é que os sinais de
   ambas as entradas são conhecidos por ele, então ele pode calcular o
   quadrante correto para o ângulo. Por exemplo, "atan(1)" e "atan2(1,
   1)" são ambos "pi/4", mas "atan2(-1, -1)" é "-3*pi/4".

math.cos(x)

   Retorna o cosseno de *x* radianos.

math.dist(p, q)

   Retorna a distância euclidiana entre dois pontos *p* e *q*, cada um
   dado como uma sequência (ou iterável) de coordenadas. Os dois
   pontos devem ter a mesma dimensão.

   Aproximadamente equivalente a:

      sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))

   Novo na versão 3.8.

math.hypot(*coordinates)

   Retorna a norma euclidiana, "sqrt(sum(x**2 for x in coordinates))".
   Este é o comprimento do vetor da origem até o ponto dado pelas
   coordenadas.

   Para um ponto bidimensional "(x, y)", isso é equivalente a calcular
   a hipotenusa de um triângulo retângulo usando o teorema de
   Pitágoras, "sqrt(x*x + y*y)".

   Alterado na versão 3.8: Adicionado suporte para pontos
   n-dimensionais. Anteriormente, apenas o caso bidimensional era
   suportado.

   Alterado na versão 3.10: Melhorou a precisão do algoritmo para que
   o erro máximo seja inferior a 1 ulp (unidade no último lugar). Mais
   tipicamente, o resultado é quase sempre arredondado corretamente
   para 1/2 ulp.

math.sin(x)

   Retorna o seno de *x* radianos.

math.tan(x)

   Retorna o tangente de *x* radianos.


Conversão angular
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math.degrees(x)

   Converte o ângulo *x* de radianos para graus.

math.radians(x)

   Converte o ângulo *x* de graus para radianos.


Funções hiperbólicas
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Funções hiperbólicas são análogas de funções trigonométricas baseadas
em hipérboles em vez de círculos.

math.acosh(x)

   Retorna o cosseno hiperbólico inverso de *x*.

math.asinh(x)

   Retorna o seno hiperbólico inverso de *x*.

math.atanh(x)

   Retorna a tangente hiperbólica inversa de *x*.

math.cosh(x)

   Retorna o cosseno hiperbólico de *x*.

math.sinh(x)

   Retorna o seno hiperbólico de *x*.

math.tanh(x)

   Retorna a tangente hiperbólica de *x*.


Funções especiais
=================

math.erf(x)

   Retorna a função erro em *x*.

   A função "erf()" pode ser usada para computar funções estatísticas
   tradicionais tal qual a distribuição normal padrão cumulativa:

      def phi(x):
          'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
          return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

   Novo na versão 3.2.

math.erfc(x)

   Retorna a função erro complementar em *x*. A função erro
   complementar é definida como "1.0 - erf(x)". É usado para grandes
   valores de *x* onde uma subtração de um causaria uma perda de
   significância.

   Novo na versão 3.2.

math.gamma(x)

   Retorna a função gama em *x*.

   Novo na versão 3.2.

math.lgamma(x)

   Retorna o logaritmo natural do valor absoluto da função gama em
   *x*.

   Novo na versão 3.2.


Constantes
==========

math.pi

   A constante matemática *π* = 3.141592..., para a precisão
   disponível.

math.e

   A constante matemática *e* = 2.718281..., para a precisão
   disponível.

math.tau

   A constante matemática *τ* = 6.283185..., para a precisão
   disponível. Tau é uma constante de círculo igual a 2*π*, a razão
   entre a circunferência de um círculo e seu raio. Para saber mais
   sobre Tau, confira o vídeo Pi is (still) Wrong de Vi Hart, e comece
   a comemorar o dia do Tau comendo duas vezes mais torta!

   Novo na versão 3.6.

math.inf

   Um infinito positivo de ponto flutuante. (Para infinito negativo,
   use "-math.inf".) Equivalente à saída de "float('inf')".

   Novo na versão 3.5.

math.nan

   Um ponto flutuante de valor "not a number" (NaN). Equivalente a
   saída do "float('nan')". Devido aos requisitos do padrão IEE-754
   https://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754, "math.nan" E "float('nan')"
   não são considerados iguais a qualquer outro valor númerico,
   incluindo eles mesmos. Para checar quando um numero é um NaN, usa-
   se a função "isnan()" ao invés de "is" ou "==". Exemplo:

      >>> import math
      >>> math.nan == math.nan
      False
      >>> float('nan') == float('nan')
      False
      >>> math.isnan(math.nan)
      True
      >>> math.isnan(float('nan'))
      True

   Novo na versão 3.5.

**Detalhes da implementação do CPython:** O módulo "math" consiste
principalmente em invólucros finos em torno das funções da biblioteca
matemática C da plataforma. O comportamento em casos excepcionais
segue o Anexo F da norma C99 quando apropriado. A implementação atual
levantará "ValueError" para operações inválidas como "sqrt(-1.0)" ou
"log(0.0)" (onde C99 Anexo F recomenda sinalizar operação inválida ou
divisão por zero), e "OverflowError" para resultados que estouram (por
exemplo, "exp(1000.0)"). Um NaN não será retornado de nenhuma das
funções acima, a menos que um ou mais dos argumentos de entrada sejam
um NaN; nesse caso, a maioria das funções retornará um NaN, mas
(novamente seguindo C99 Anexo F) há algumas exceções a esta regra, por
exemplo, "pow(float('nan'), 0.0)" ou "hypot(float('nan'),
float('inf'))".

Observe que o Python não faz nenhum esforço para distinguir NaNs de
sinalização de NaNs silenciosos, e o comportamento para NaNs de
sinalização permanece não especificado. O comportamento típico é
tratar todos os NaNs como se estivessem quietos.

Ver também:

  Módulo "cmath"
     Versões de números complexos de muitas dessas funções.
