15. Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych: Problemy i ograniczenia
******************************************************************

Floating-point numbers are represented in computer hardware as base 2
(binary) fractions.  For example, the **decimal** fraction "0.125" has
value 1/10 + 2/100 + 5/1000, and in the same way the **binary**
fraction "0.001" has value 0/2 + 0/4 + 1/8. These two fractions have
identical values, the only real difference being that the first is
written in base 10 fractional notation, and the second in base 2.

Niestety, większości ułamków dziesiętnych nie można przedstawić
dokładnie jako ułamków binarnych. Konsekwencją jest to, że ogólnie
wprowadzane dziesiętne liczby zmiennoprzecinkowe są jedynie
przybliżane przez binarne liczby zmiennoprzecinkowe faktycznie
przechowywane w maszynie.

Problem jest łatwiejszy do zrozumienia na początku przy podstawie 10.
Rozważ ułamek 1/3. Możesz go przybliżyć jako ułamek o podstawie 10:

   0.3

albo lepiej:

   0.33

albo lepiej:

   0.333

i tak dalej. Bez względu na to, ile cyfr jesteś w stanie zapisać,
wynik nigdy nie będzie dokładnie 1/3, ale będzie coraz lepszym
przybliżeniem 1/3.

W ten sam sposób, bez względu na to, ile cyfr o podstawie 2 chcesz
użyć, wartość dziesiętna 0,1 nie może być dokładnie przedstawiona jako
ułamek o podstawie 2. W podstawie 2, 1/10 to ułamek okresowy

   0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

Zatrzymaj się na dowolnej skończonej liczbie bitów, a otrzymasz
przybliżenie. Na większości dzisiejszych maszyn liczby
zmiennoprzecinkowe są aproksymowane przy użyciu ułamka binarnego z
licznikiem wykorzystującym pierwsze 53 bity, zaczynając od najbardziej
znaczącego bitu i mianownikiem jako potęgą dwójki. W przypadku 1/10
ułamek binarny jest równy "3602879701896397 / 2 ** 55" i jest zbliżony
do prawdziwej wartości 1/10, ale nie do końca jej równy.

Many users are not aware of the approximation because of the way
values are displayed.  Python only prints a decimal approximation to
the true decimal value of the binary approximation stored by the
machine.  On most machines, if Python were to print the true decimal
value of the binary approximation stored for 0.1, it would have to
display

   >>> 0.1
   0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

That is more digits than most people find useful, so Python keeps the
number of digits manageable by displaying a rounded value instead

   >>> 1 / 10
   0.1

Pamiętaj tylko, że chociaż wydrukowany wynik wygląda jak dokładna
wartość 1/10, rzeczywista zapisana wartość to najbliższa
reprezentatywna część binarna.

Co ciekawe, istnieje wiele różnych liczb dziesiętnych, które mają ten
sam najbliższy przybliżony ułamek binarny. Na przykład liczby "0.1",
"0.10000000000000001" i
"0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625" są
wszystkie przybliżone przez "3602879701896397 / 2 ** 55". Ponieważ
wszystkie te wartości dziesiętne mają to samo przybliżenie, każda z
nich może zostać wyświetlona przy jednoczesnym zachowaniu niezmiennika
"eval(repr(x)) == x".

W przeszłości, interaktywny prompt oraz wbudowana funkcja Pythona
"repr()" wybierały tę z 17 cyframi znaczącymi, "0.10000000000000001".
Począwszy od Pythona 3.1, Python (w większości systemów) może teraz
wybrać najkrótszy z nich i po prostu wyświetlić "0.1".

Zauważ, że leży to w samej naturze binarnej liczby
zmiennoprzecinkowej: nie jest to błąd w Pythonie ani w twoim kodzie.
Zobaczysz to samo we wszystkich językach obsługujących arytmetykę
zmiennoprzecinkową twojego sprzętu (chociaż niektóre języki mogą nie
*wyświetlać* różnicy domyślnie lub we wszystkich trybach wyjściowych).

For more pleasant output, you may wish to use string formatting to
produce a limited number of significant digits:

   >>> format(math.pi, '.12g')  # give 12 significant digits
   '3.14159265359'

   >>> format(math.pi, '.2f')   # give 2 digits after the point
   '3.14'

   >>> repr(math.pi)
   '3.141592653589793'

Ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że w rzeczywistości jest to
złudzenie: po prostu zaokrąglasz *wyświetlanie* prawdziwej wartości
zapisanej w komputerze.

One illusion may beget another.  For example, since 0.1 is not exactly
1/10, summing three values of 0.1 may not yield exactly 0.3, either:

   >>> .1 + .1 + .1 == .3
   False

Also, since the 0.1 cannot get any closer to the exact value of 1/10
and 0.3 cannot get any closer to the exact value of 3/10, then pre-
rounding with "round()" function cannot help:

   >>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
   False

Though the numbers cannot be made closer to their intended exact
values, the "round()" function can be useful for post-rounding so that
results with inexact values become comparable to one another:

   >>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
   True

Binarna arytmetyka zmiennoprzecinkowa kryje w sobie wiele takich
niespodzianek. Problem z „0,1” został dokładnie wyjaśniony poniżej, w
sekcji „Błąd reprezentacji”.  Zobacz Przykłady problemów
zmiennoprzecinkowych dla przyjemnego podsumowania jak działa binarna
arytmetyka zmiennoprzecinkowa i jakie rodzaje problemów często spotyka
się w praktyce.  Zobacz także The Perils of Floating Point dla
bardziej kompletnego opisu innych typowych niespodzianek.

Jak jest tam napisane pod koniec, „nie ma łatwych odpowiedzi”. Mimo to
nie należy nadmiernie uważać na liczby zmiennoprzecinkowe! Błędy w
operacjach zmiennoprzecinkowych Pythona są dziedziczone z budowy
komputera i na większości maszyn są rzędu nie więcej niż 1 przez 2**53
na operację. Jest to więcej niż wystarczające dla większości zadań,
ale należy pamiętać, że nie jest to arytmetyka dziesiętna i że każda
operacja zmiennoprzecinkowa może napotkać nowy błąd zaokrąglenia.

Chociaż istnieją przypadki skrajne, w większości przypadkowych
zastosowań arytmetyki zmiennoprzecinkowej zobaczysz oczekiwany wynik,
jeśli po prostu zaokrąglisz wyświetlanie końcowych wyników do
oczekiwanej liczby cyfr dziesiętnych. "str()" zwykle wystarcza, lecz
dla dokładniejszej kontroli możesz zobaczyć opis formatowania tekstu
za pomocą metody "str.format()" w Format String Syntax.

W przypadkach użycia, które wymagają dokładnej reprezentacji
dziesiętnej, spróbuj użyć modułu "decimal", który implementuje
arytmetykę dziesiętną odpowiednią dla aplikacji księgowych i aplikacji
o wysokiej precyzji.

Inną formą wspierającą arytmetykę dokładną jest moduł "fractions"
realizujący arytmetykę opartą na liczbach wymiernych (aby liczby takie
jak 1/3 mogły być reprezentowane dokładnie).

Jeśli często korzystasz z operacji zmiennoprzecinkowych, powinieneś
rzucić okiem na pakiet NumPy i wiele innych pakietów do operacji
matematycznych i statystycznych dostarczonych przez projekt SciPy.
Zobacz <https://scipy.org>.

Python provides tools that may help on those rare occasions when you
really *do* want to know the exact value of a float.  The
"float.as_integer_ratio()" method expresses the value of a float as a
fraction:

   >>> x = 3.14159
   >>> x.as_integer_ratio()
   (3537115888337719, 1125899906842624)

Since the ratio is exact, it can be used to losslessly recreate the
original value:

   >>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
   True

The "float.hex()" method expresses a float in hexadecimal (base 16),
again giving the exact value stored by your computer:

   >>> x.hex()
   '0x1.921f9f01b866ep+1'

This precise hexadecimal representation can be used to reconstruct the
float value exactly:

   >>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
   True

Ponieważ ta reprezentacja jest dokładna, przydatna jest ona do
niezawodnego przenoszenia wartości między różnymi wersjami Pythona
(niezależność od platformy) i wymiany danych z innymi językami
obsługującymi ten sam format (takimi jak Java czy C99).

Another helpful tool is the "math.fsum()" function which helps
mitigate loss-of-precision during summation.  It tracks "lost digits"
as values are added onto a running total.  That can make a difference
in overall accuracy so that the errors do not accumulate to the point
where they affect the final total:

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True


15.1. Błąd reprezentacji
========================

Ta sekcja wyjaśnia szczegółowo przykład „0,1” i pokazuje, jak
samodzielnie przeprowadzić dokładną analizę takich przypadków.
Zakładamy że masz podstawową znajomość binarnej reprezentacji liczb
zmiennoprzecinkowych.

*Błąd reprezentacji* odnosi się do faktu, że niektóre (właściwie
większość) ułamków dziesiętnych nie może być reprezentowane dokładnie
jako ułamki binarne (o podstawie 2). Jest to główny powód, dla którego
Python (lub Perl, C, C++, Java, Fortran i wiele innych) często nie
wyświetla dokładnie takiej liczby dziesiętnej, jakiej oczekujesz.

Dlaczego? 1/10 nie jest dokładnie reprezentowalna jako ułamek binarny.
Od co najmniej 2000 roku, prawie wszystkie dzisiejsze maszyny używają
binarnej arytmetyki zmiennoprzecinkowej IEEE-754 i prawie wszystkie
platformy odwzorowują liczby zmiennoprzecinkowe Pythona na „podwójną
precyzję” IEEE-754 binary64. Wartości IEEE 754 binary64 zawierają 53
bity dokładności, więc na wejściu komputer stara się zamienić 0,1 na
najbliższy możliwy ułamek w postaci *J*/2***N*, gdzie *J* jest liczbą
całkowitą zawierającą dokładnie 53 bity. Zapisując

   1 / 10 ~= J / (2**N)

jako

   J ~= 2**N / 10

and recalling that *J* has exactly 53 bits (is ">= 2**52" but "<
2**53"), the best value for *N* is 56:

   >>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
   True

That is, 56 is the only value for *N* that leaves *J* with exactly 53
bits.  The best possible value for *J* is then that quotient rounded:

   >>> q, r = divmod(2**56, 10)
   >>> r
   6

Since the remainder is more than half of 10, the best approximation is
obtained by rounding up:

   >>> q+1
   7205759403792794

Dlatego najlepszym możliwym przybliżeniem do 1/10 w arytmetyce
podwójnej precyzji typu IEEE 754 jest:

   7205759403792794 / 2 ** 56

Podzielenie licznika i mianownika przez dwa zmniejsza ułamek do:

   3602879701896397 / 2 ** 55

Zauważ, że ponieważ zaokrągliliśmy w górę, jest to w rzeczywistości
trochę więcej niż 1/10; gdybyśmy nie zaokrąglili w górę, iloraz byłby
nieco mniejszy niż 1/10. Ale w żadnym wypadku nie może to być
*dokładnie* 1/10!

Tak więc komputer nigdy nie „widzi” 1/10: to, co widzi, to dokładny
ułamek podany powyżej, najlepsze przybliżenie w standardzie podwójnej
precyzji IEEE 754, jakie może uzyskać:

>>> 0.1 * 2 ** 55
3602879701896397.0

If we multiply that fraction by 10**55, we can see the value out to 55
decimal digits:

   >>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
   1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

meaning that the exact number stored in the computer is equal to the
decimal value
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625. Instead of
displaying the full decimal value, many languages (including older
versions of Python), round the result to 17 significant digits:

   >>> format(0.1, '.17f')
   '0.10000000000000001'

The "fractions" and "decimal" modules make these calculations easy:

   >>> from decimal import Decimal
   >>> from fractions import Fraction

   >>> Fraction.from_float(0.1)
   Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> (0.1).as_integer_ratio()
   (3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> Decimal.from_float(0.1)
   Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

   >>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
   '0.10000000000000001'
