"statistics" --- 수학 통계 함수
*******************************

버전 3.4에 추가.

**소스 코드:** Lib/statistics.py

======================================================================

이 모듈은 숫자 ("Real" 값) 데이터의 수학적 통계를 계산하는 함수를 제공
합니다.

이 모듈은 NumPy, SciPy와 같은 제삼자 라이브러리나 Minitab, SAS 및
Matlab과 같은 통계 전문가를 대상으로 하는 완전한 기능의 통계 패키지와
경쟁하기 위한 것이 아닙니다. 그래프를 그릴 수 있는 과학 계산기의 수준
을 목표로 합니다.

달리 명시되지 않는 한, 이 함수는 "int", "float", "decimal.Decimal" 및
"fractions.Fraction"을 지원합니다. 다른 형(숫자 계층에 있든 없든)에서
의 동작은 현재 지원되지 않습니다. 여러 형의 컬렉션도 정의되지 않으며
구현에 따라 다릅니다. 입력 데이터가 혼합형으로 구성되었으면, "map()"을
사용하여 일관된 결과를 보장 할 수 있습니다, 예를 들어 "map(float,
input_data)".


평균과 중심 위치의 측정
=======================

이 함수는 모집단(population)이나 표본(sample)에서 평균이나 최빈값을 계
산합니다.

+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "mean()"                | 데이터의 산술 평균(arithmetic mean) ( "average").               |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "fmean()"               | 빠른, 부동 소수점 산술 평균.                                    |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "geometric_mean()"      | 데이터의 기하 평균(geometric mean).                             |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "harmonic_mean()"       | 데이터의 조화 평균(harmonic mean).                              |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "median()"              | 데이터의 중앙값(median) (중간값).                               |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "median_low()"          | 데이터의 낮은 중앙값(low median).                               |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "median_high()"         | 데이터의 높은 중앙값(high median).                              |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "median_grouped()"      | 그룹화된 데이터의 중앙값, 또는 50번째 백분위 수(50th            |
|                         | percentile)                                                     |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "mode()"                | 이산(discrete) 또는 범주(nominal) 데이터의 단일 최빈값(mode) (  |
|                         | 가장 흔 한 값)                                                  |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "multimode()"           | 이산 또는 범주 데이터의 최빈값(mode) (가장 흔한 값) 리스트.     |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+
| "quantiles()"           | 데이터를 같은 확률을 갖는 구간으로 나눕니다.                    |
+-------------------------+-----------------------------------------------------------------+


분산 측정
=========

이 함수는 모집단이나 표본이 평균값에서 벗어나는 정도를 측정합니다.

+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "pstdev()"              | 데이터의 모집단 표준 편차(population standard |
|                         | deviation).                                   |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "pvariance()"           | 데이터의 모집단 분산(population variance).    |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "stdev()"               | 데이터의 표본 표준 편차(sample standard       |
|                         | deviation).                                   |
+-------------------------+-----------------------------------------------+
| "variance()"            | 데이터의 표본 분산(sample variance).          |
+-------------------------+-----------------------------------------------+


함수 세부 사항
==============

참고: 함수에 전달되는 데이터가 정렬될 필요는 없습니다. 하지만, 읽기 쉽
도록 대부분 예제는 정렬된 시퀀스를 보여줍니다.

statistics.mean(data)

   시퀀스나 이터러블일 수 있는 *data*의 표본 산술 평균을 반환합니다.

   산술 평균은 데이터의 합을 데이터 포인트 수로 나눈 값입니다. 흔히 "
   평균"이라고 합니다만, 많은 수학적 평균 중 하나일 뿐입니다. 데이터의
   중심 위치에 대한 측정(measure)입니다.

   *data*가 비어 있으면, "StatisticsError"가 발생합니다.

   사용 예:

      >>> mean([1, 2, 3, 4, 4])
      2.8
      >>> mean([-1.0, 2.5, 3.25, 5.75])
      2.625

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> mean([F(3, 7), F(1, 21), F(5, 3), F(1, 3)])
      Fraction(13, 21)

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> mean([D("0.5"), D("0.75"), D("0.625"), D("0.375")])
      Decimal('0.5625')

   참고:

     The mean is strongly affected by outliers and is not necessarily
     a typical example of the data points. For a more robust, although
     less efficient, measure of central tendency, see "median()".표본
     평균은 실제 모집단 평균의 편향되지 않은(unbiased) 추정치를 제공합
     니다. 즉, 가능한 모든 표본에 대해 평균을 취하면, "mean(sample)"은
     전체 모집단의 실제 평균에 수렴합니다. *data*가 표본이 아닌 전체
     모집단을 나타낸다면, "mean(data)"는 실제 모집단 평균 μ를 계산하는
     것과 동등합니다.

statistics.fmean(data)

   *data*를 float로 변환하고 산술 평균을 계산합니다.

   "mean()" 함수보다 빠르게 실행되며 항상 "float"를 반환합니다. *data*
   는 시퀀스나 이터러블일 수 있습니다. 입력 data가 비어 있으면
   "StatisticsError"를 발생시킵니다.

      >>> fmean([3.5, 4.0, 5.25])
      4.25

   버전 3.8에 추가.

statistics.geometric_mean(data)

   *data*를 float로 변환하고 기하 평균(geometric mean)을 계산합니다.

   기하 평균은 값의 곱을 사용하는 *data*의 중심 경향(central tendency)
   이나 대표값(typical value)을 나타냅니다 (합을 사용하는 산술 평균과
   달리).

   입력 data가 비어 있거나, 0을 포함하거나, 음수 값을 포함하면
   "StatisticsError"를 발생시킵니다. *data*는 시퀀스나 이터러블일 수
   있습니다.

   정확한 결과를 얻기 위해 특별한 노력을 기울이지는 않습니다. (하지만,
   향후 변경될 수 있습니다.)

      >>> round(geometric_mean([54, 24, 36]), 1)
      36.0

   버전 3.8에 추가.

statistics.harmonic_mean(data)

   실숫값 숫자의 시퀀스나 이터러블인 *data*의 조화 평균(harmonic mean)
   을 반환합니다.

   때때로 subcontrary mean이라고도 하는 조화 평균은 데이터의 역수의 산
   술 "mean()"의 역수입니다. 예를 들어, 세 *a*, *b* 및 *c* 값의 조화
   평균은 "3/(1/a + 1/b + 1/c)"와 동등합니다. 값 중 하나가 0이면, 결과
   는 0입니다.

   조화 평균은 데이터의 중심 위치의 측정인 평균의 한가지 유형입니다.
   예를 들어 속도와 같은 율(rate)이나 비율(ratio)을 평균할 때 종종 적
   합합니다.

   자동차가 40km/hr로 10km를 주행한 다음, 60km/hr로 10km를 주행한다고
   가정해 봅시다. 평균 속도는 얼마입니까?

      >>> harmonic_mean([40, 60])
      48.0

   투자자가 P/E (가격/수익) 비율이 2.5, 3 및 10인 세 회사 각각에서 같
   은 비용으로 주식을 산다고 가정해 봅시다. 투자자 포트폴리오의 평균
   P/E 비율은 무엇입니까?

      >>> harmonic_mean([2.5, 3, 10])  # For an equal investment portfolio.
      3.6

   *data*가 비어 있거나 0보다 작은 값이 있으면 "StatisticsError"가 발
   생합니다.

   현재 알고리즘은 입력에서 0을 만나면 조기 종료됩니다. 이는 후속 입력
   의 유효성을 검사하지 않았음을 의미합니다. (이 동작은 나중에 변경될
   수 있습니다.)

   버전 3.6에 추가.

statistics.median(data)

   일반적인 "중간 2개의 평균" 방법을 사용하여, 숫자 data의 중앙값(중간
   값)을 반환합니다. *data*가 비어 있으면, "StatisticsError"가 발생합
   니다. *data*는 시퀀스나 이터러블일 수 있습니다.

   중앙값은 중심 위치에 대한 강인한 측정이며, 특이치가 있을 때 영향을
   덜 받습니다. 데이터 포인트 수가 홀수면, 가운데 데이터 포인트가 반환
   됩니다:

      >>> median([1, 3, 5])
      3

   데이터 포인트 수가 짝수면, 중앙값은 두 가운데 값의 평균을 취하여 보
   간됩니다:

      >>> median([1, 3, 5, 7])
      4.0

   데이터가 이산(discrete)적이고, 중앙값이 실제 데이터 포인트가 아니라
   도 상관없을 때 적합합니다.

   데이터가 순서는 있지만 (대소 비교 지원) 숫자가 아니면 (덧셈을 지원
   하지 않음), 대신 "median_low()"나 "median_high()"를 사용하는 것을
   고려하십시오.

statistics.median_low(data)

   숫자 데이터의 낮은 중앙값을 반환합니다. *data*가 비어 있으면
   "StatisticsError"가 발생합니다. *data*는 시퀀스나 이터러블일 수 있
   습니다.

   낮은 중앙값은 항상 데이터 세트의 멤버입니다. 데이터 포인트 수가 홀
   수이면 중간값이 반환됩니다. 짝수이면, 두 중간값 중 작은 값이 반환됩
   니다.

      >>> median_low([1, 3, 5])
      3
      >>> median_low([1, 3, 5, 7])
      3

   데이터가 이산(discrete)적이고 보간된 값이 아닌 실제 데이터 포인트를
   중앙값으로 선호할 때 낮은 중앙값을 사용하십시오.

statistics.median_high(data)

   데이터의 높은 중앙값을 반환합니다. *data*가 비어 있으면
   "StatisticsError"가 발생합니다. *data*는 시퀀스나 이터러블일 수 있
   습니다.

   높은 중앙값은 항상 데이터 세트의 멤버입니다. 데이터 포인트 수가 홀
   수이면 중간값이 반환됩니다. 짝수이면, 두 중간값 중 큰 값이 반환됩니
   다.

      >>> median_high([1, 3, 5])
      3
      >>> median_high([1, 3, 5, 7])
      5

   데이터가 이산(discrete)적이고 보간된 값이 아닌 실제 데이터 포인트를
   중앙값으로 선호할 때 높은 중앙값을 사용하십시오.

statistics.median_grouped(data, interval=1)

   보간법을 사용하여, 50번째 백분위 수로 계산된, 연속 데이터의 그룹 중
   앙값을 반환합니다. *data*가 비어 있으면, "StatisticsError"가 발생합
   니다. *data*는 시퀀스나 이터러블일 수 있습니다.

      >>> median_grouped([52, 52, 53, 54])
      52.5

   다음 예에서, 각 값이 데이터 클래스의 중간 점을 나타내도록 데이터가
   자리 올림 됩니다. 예를 들어, 1은 클래스 0.5--1.5의 중간 점, 2는 1.5
   --2.5의 중간 점, 3은 2.5--3.5의 중간 점, 등입니다. 주어진 데이터에
   서 중간값은 3.5--4.5 클래스 어딘가에 있고, 보간법을 사용하여 추정합
   니다:

      >>> median_grouped([1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5])
      3.7

   선택적 인자 *interval*은 클래스 간격을 나타내며, 기본값은 1입니다.
   클래스 간격을 변경하면 자연스럽게 보간이 변경됩니다:

      >>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=1)
      3.25
      >>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=2)
      3.5

   이 함수는 데이터 포인트가 적어도 *interval*만큼 떨어져 있는지 확인
   하지 않습니다.

   **CPython implementation detail:** 때에 따라, "median_grouped()"는
   데이터 포인트를 float로 강제 변환할 수 있습니다. 이 동작은 향후에
   변경될 수 있습니다.

   더 보기:

     * "Statistics for the Behavioral Sciences", Frederick J Gravetter
       와 Larry B Wallnau (8판).

     * Gnome Gnumeric 스프레드시트의 SSMEDIAN 함수, 이 토론도 참조하세
       요

statistics.mode(data)

   이산(discrete)적이거나 범주(nominal)적인 *data*에서 가장 흔한 단일
   데이터 포인트를 반환합니다. 최빈값(mode)은 (존재할 때) 가장 흔한 값
   이며 중심 위치의 측정으로 기능합니다.

   같은 빈도의 여러 최빈값이 있으면, *data*에서 처음 발견된 첫 번째 값
   을 반환합니다. 여러 최빈값 중 가장 작거나 가장 큰 값이 필요하면 대
   신 "min(multimode(data))"나 "max(multimode(data))"를 사용하십시오.
   입력 *data*가 비어 있으면, "StatisticsError"가 발생합니다.

   "mode"는 이산 데이터를 가정하고 단일 값을 반환합니다. 이것이 학교에
   서 일반적으로 가르치는 최빈값의 표준적인 처리입니다:

      >>> mode([1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4])
      3

   최빈값은 범주(nominal)적 (숫자가 아닌) 데이터에도 적용되는 이 패키
   지에 있는 유일한 통계라는 점에서 특별합니다:

      >>> mode(["red", "blue", "blue", "red", "green", "red", "red"])
      'red'

   버전 3.8에서 변경: 이제 첫 번째 최빈값을 모드를 반환하여 다봉
   (multimodal) 데이터 세트를 처리합니다. 이전에는, 둘 이상의 최빈값이
   발견되면 "StatisticsError"가 발생했습니다.

statistics.multimode(data)

   *data*에서 먼저 발견되는 순서대로 가장 자주 등장하는 값의 리스트를
   반환합니다. 여러 최빈값이 있으면 둘 이상의 결과를 반환하고, *data*
   가 비어 있으면 빈 리스트를 반환합니다:

      >>> multimode('aabbbbccddddeeffffgg')
      ['b', 'd', 'f']
      >>> multimode('')
      []

   버전 3.8에 추가.

statistics.pstdev(data, mu=None)

   모집단 표준 편차(모집단 분산의 제곱근)를 반환합니다. 인자와 기타 세
   부 사항은 "pvariance()"를 참조하십시오.

      >>> pstdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
      0.986893273527251

statistics.pvariance(data, mu=None)

   실수 숫자의 비어있지 않은 시퀀스나 이터러블인 *data*의 모집단 분산
   을 반환합니다. 분산(또는 평균에 대한 이차 모멘트)은 데이터 변동성(
   퍼진 정도)의 측정입니다. 큰 분산은 데이터가 퍼져 있음을 나타냅니다;
   작은 분산은 평균 주변에 군집되어 있음을 나타냅니다.

   선택적 두 번째 인자 *mu*가 제공되면, 보통 *data*의 평균입니다. 평균
   이 아닌 점을 기준으로 이차 모멘트를 계산하는 데에도 사용할 수 있습
   니다. 누락되었거나 "None"(기본값)이면, 산술 평균이 자동으로 계산됩
   니다.

   이 함수를 사용하여 전체 모집단의 분산을 계산하십시오. 표본으로 분산
   을 추정하려면, 일반적으로 "variance()" 함수가 더 좋은 선택입니다.

   *data*가 비어 있으면 "StatisticsError"를 발생시킵니다.

   예:

      >>> data = [0.0, 0.25, 0.25, 1.25, 1.5, 1.75, 2.75, 3.25]
      >>> pvariance(data)
      1.25

   데이터의 평균을 이미 계산했다면, 재계산을 피하고자 선택적인 두 번째
   인자 *mu*로 전달할 수 있습니다:

      >>> mu = mean(data)
      >>> pvariance(data, mu)
      1.25

   Decimal과 Fraction이 지원됩니다:

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> pvariance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
      Decimal('24.815')

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> pvariance([F(1, 4), F(5, 4), F(1, 2)])
      Fraction(13, 72)

   참고:

     전체 모집단으로 호출하면, 모집단 분산 σ²을 줍니다. 대신 표본으로
     호출하면, 편향된(biased) 표본 분산 s²이 됩니다, N 자유도의 분산이
     라고도 합니다.실제 모집단 평균 μ를 어떻게든 알고 있다면, 알려진
     모집단 평균을 두 번째 인자로 지정해서, 이 함수를 사용하여 표본의
     분산을 계산할 수 있습니다. 데이터 포인트가 모집단의 무작위 표본이
     면, 결과는 모집단 분산의 편향 없는(unbiased) 추정치가 됩니다.

statistics.stdev(data, xbar=None)

   표본 표준 편차(표본 분산의 제곱근)를 반환합니다. 인자와 기타 세부
   사항은 "variance()"를 참조하십시오.

      >>> stdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
      1.0810874155219827

statistics.variance(data, xbar=None)

   적어도 두 개의 실수 숫자를 제공하는 이터러블인 *data*의 표본 분산을
   반환합니다. 분산(또는 평균에 대한 이차 모멘트)은 데이터 변동성(퍼진
   정도)의 측정입니다. 큰 분산은 데이터가 퍼져 있음을 나타냅니다; 작은
   분산은 평균 주변에 군집되어 있음을 나타냅니다.

   선택적 두 번째 인자 *xbar*가 제공되면, *data*의 평균이어야 합니다.
   누락되었거나 "None"(기본값)이면, 평균은 자동으로 계산됩니다.

   데이터가 모집단의 표본이면 이 함수를 사용하십시오. 전체 모집단의 분
   산을 계산하려면, "pvariance()"를 참조하십시오.

   *data*의 두 개 미만의 값을 갖고 있으면 "StatisticsError"를 발생시킵
   니다.

   예:

      >>> data = [2.75, 1.75, 1.25, 0.25, 0.5, 1.25, 3.5]
      >>> variance(data)
      1.3720238095238095

   데이터의 평균을 이미 계산했다면, 재계산을 피하고자 선택적인 두 번째
   인자 *xbar*로 전달할 수 있습니다:

      >>> m = mean(data)
      >>> variance(data, m)
      1.3720238095238095

   이 함수는 실제 평균을 *xbar*로 전달했는지 확인하지 않습니다. *xbar*
   에 임의의 값을 사용하면 결과가 유효하지 않거나 불가능한 값일 수 있
   습니다.

   Decimal과 Fraction 값이 지원됩니다:

      >>> from decimal import Decimal as D
      >>> variance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
      Decimal('31.01875')

      >>> from fractions import Fraction as F
      >>> variance([F(1, 6), F(1, 2), F(5, 3)])
      Fraction(67, 108)

   참고:

     이것은 베셀 보정(Bessel's correction)을 적용한 표본 분산 s² 입니
     다, N-1 자유도의 분산이라고도 합니다. 데이터 포인트가 대표적(예를
     들어, 독립적이고 동일하게 분포된)이라면, 결과는 실제 모집단 분산
     의 편향 없는(unbiased) 추정치가 되어야 합니다.실제 모집단 평균 μ
     를 어떻게든 알고 있다면 *mu* 매개 변수로 "pvariance()" 함수에 전
     달하여 표본의 분산을 구해야 합니다.

statistics.quantiles(data, *, n=4, method='exclusive')

   *data*를 같은 확률을 갖는 *n* 개의 연속 구간으로 나눕니다. 구간을
   분할하는 "n - 1"개의 절단 점(cut point) 리스트를 반환합니다.

   사분위는 *n*을 4로 설정하십시오 (기본값). 십분위는 *n*을 10으로 설
   정하십시오. 백분위는 *n*을 100으로 설정하십시오. 그러면 *data*를
   100개의 같은 크기 그룹으로 분할하는 99개의 절단 점이 제공됩니다.
   *n*이 1 미만이면 "StatisticsError"를 발생시킵니다.

   *data*는 표본 데이터를 포함하는 모든 이터러블일 수 있습니다. 의미
   있는 결과를 얻으려면, *data*의 데이터 포인트 수가 *n*보다 커야 합니
   다. 데이터 포인트 수가 2개 미만이면 "StatisticsError"를 발생시킵니
   다.

   절단 점은 가장 가까운 두 개의 데이터 포인트에서 선형 보간됩니다. 예
   를 들어, 절단 점이 두 표본 값 "100"과 "112" 사이의 거리로 1/3 지점
   에 해당하면, 절단 점은 "104"로 평가됩니다.

   균등 분위(quantile) 계산 방법(*method*)은 *data*가 모집단에서 가능
   한 최젓값과 최곳값을 포함하는지 제외하는지에 따라 달라질 수 있습니
   다.

   기본 *method*는 "exclusive"이며, 표본에서 발견되는 것보다 더 극단적
   인 값을 가질 수 있는 모집단에서 표본 추출된 데이터에 사용됩니다.
   *m* 개의 정렬된 데이터 포인트의 *i-번째* 아래로 떨어지는 모집단 부
   분은 "i / (m + 1)"로 계산됩니다. 9개의 표본 값을 주면, 이 방법은 그
   들을 정렬한 다음, 다음과 같은 백분위를 할당합니다: 10%, 20%, 30%,
   40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%.

   *method*를 "inclusive"로 설정하는 것은 모집단 데이터를 기술하거나
   모집단의 가장 극단적인 값을 포함하는 것으로 알려진 표본에 사용됩니
   다. *data*의 최솟값은 0번째 백분위 수로 취급되고 최댓값은 100번째
   백분위 수로 취급됩니다. *m* 개의 정렬된 데이터 포인트의 *i-번째* 아
   래로 떨어지는 모집단 부분은 "(i - 1) / (m - 1)"로 계산됩니다. 11개
   의 표본 값을 주면, 이 방법은 그들을 정렬한 다음, 다음과 같은 백분위
   를 할당합니다: 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%,
   100%.

      # Decile cut points for empirically sampled data
      >>> data = [105, 129, 87, 86, 111, 111, 89, 81, 108, 92, 110,
      ...         100, 75, 105, 103, 109, 76, 119, 99, 91, 103, 129,
      ...         106, 101, 84, 111, 74, 87, 86, 103, 103, 106, 86,
      ...         111, 75, 87, 102, 121, 111, 88, 89, 101, 106, 95,
      ...         103, 107, 101, 81, 109, 104]
      >>> [round(q, 1) for q in quantiles(data, n=10)]
      [81.0, 86.2, 89.0, 99.4, 102.5, 103.6, 106.0, 109.8, 111.0]

   버전 3.8에 추가.


예외
====

하나의 예외가 정의됩니다:

exception statistics.StatisticsError

   통계 관련 예외를 위한 "ValueError"의 서브 클래스.


"NormalDist" 객체
=================

"NormalDist"는 무작위 변수의 정규 분포를 만들고 조작하기 위한 도구입니
다. 데이터 측정의 평균과 표준 편차를 단일 엔티티로 취급하는 클래스입니
다.

정규 분포는 중심 극한 정리(Central Limit Theorem)에서 도출되며 통계에
서 광범위하게 응용됩니다.

class statistics.NormalDist(mu=0.0, sigma=1.0)

   *mu*가 산술 평균을 나타내고 *sigma*가 표준 편차를 나타내는 새
   *NormalDist* 객체를 반환합니다.

   *sigma*가 음수이면 "StatisticsError"를 발생시킵니다.

   mean

      정규 분포의 산술 평균에 대한 읽기 전용 프로퍼티.

   median

      정규 분포의 중앙값에 대한 읽기 전용 프로퍼티.

   mode

      정규 분포의 최빈값에 대한 읽기 전용 프로퍼티.

   stdev

      정규 분포의 표준 편차에 대한 읽기 전용 프로퍼티.

   variance

      정규 분포의 분산에 대한 읽기 전용 프로퍼티. 표준 편차의 제곱과
      같습니다.

   classmethod from_samples(data)

      "fmean()"과 "stdev()"를 사용해서 *data*에서 추정된 *mu*와
      *sigma* 매개 변수로 정규 분포 인스턴스를 만듭니다.

      *data*는 임의의 *이터러블*일 수 있으며 "float" 형으로 변환될 수
      있는 값으로 구성되어야 합니다. *data*가 두 개 이상의 값을 포함하
      지 않으면 "StatisticsError"를 발생시키는데, 중심 값을 추정하는
      데 적어도 한 점이 필요하고 분산을 추정하는 데 적어도 두 점이 필
      요하기 때문입니다.

   samples(n, *, seed=None)

      주어진 평균과 표준 편차로 *n* 개의 무작위 표본을 생성합니다.
      "float" 값의 "list"를 반환합니다.

      *seed*가 제공되면, 하부 난수 생성기의 새 인스턴스를 만듭니다. 이
      는 다중 스레딩 문맥에서도, 재현 가능한 결과를 만드는 데 유용합니
      다.

   pdf(x)

      확률 밀도 함수(pdf)를 사용하여, 무작위 변수 *X*가 주어진 값 *x*
      에 가까울 상대적 가능도(likelihood)를 계산합니다. 수학적으로, 비
      율 "P(x <= X < x+dx) / dx"의 *dx*가 0으로 접근할 때의 극한값입니
      다.

      상대적 가능도는 좁은 구간에 표본이 발생할 수 있는 확률을 구간의
      너비로 나눈 값으로 계산됩니다 (그래서 "밀도"라고 합니다). 가능도
      는 다른 점에 상대적이기 때문에, *1.0*보다 클 수 있습니다.

   cdf(x)

      누적 분포 함수 (cdf)를 사용하여, 무작위 변수 *X*가 *x*보다 작거
      나 같을 확률을 계산합니다. 수학적으로, "P(X <= x)"라고 씁니다.

   inv_cdf(p)

      분위 함수(quantile function)나 백분위 수(percent-point) 함수라고
      도 하는 역 누적 분포 함수를 계산합니다. 수학적으로, "x : P(X <=
      x) = p"라고 씁니다.

      변수가 *x*보다 작거나 같을 확률이 주어진 확률 *p*와 같아지도록
      하는 무작위 변수 *X*의 값 *x*를 찾습니다.

   overlap(other)

      두 정규 확률 분포 간의 일치를 측정합니다. 두 확률 밀도 함수가 겹
      치는 영역의 면적을 제공하는 0.0과 1.0 사이의 값을 반환합니다.

   quantiles(n=4)

      정규 분포를 같은 확률을 갖는 *n* 개의 연속 구간으로 나눕니다. 구
      간을 분할하는 (n - 1)개의 절단 점(cut point) 리스트를 반환합니다
      .

      사분위는 *n*을 4로 설정하십시오 (기본값). 십분위는 *n*을 10으로
      설정하십시오. 백분위는 *n*을 100으로 설정하십시오, 그러면 정규
      분포를 100개의 같은 크기 그룹으로 분할하는 99개의 절단 점이 제공
      됩니다.

   zscore(x)

      정규 분포의 평균 위나 아래의 표준 편차 수로 *x*를 설명하는 표준
      점수(Standard Score)를 계산합니다: "(x - mean) / stdev".

      버전 3.9에 추가.

   "NormalDist"의 인스턴스는 상수에 의한 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈을
   지원합니다. 이러한 연산은 이동(translation)과 확대(scaling)에 사용
   됩니다. 예를 들면:

      >>> temperature_february = NormalDist(5, 2.5)             # Celsius
      >>> temperature_february * (9/5) + 32                     # Fahrenheit
      NormalDist(mu=41.0, sigma=4.5)

   상수를 "NormalDist"의 인스턴스로 나누는 것은 결과가 정규 분포가 되
   지 않기 때문에 지원되지 않습니다.

   정규 분포는 독립 변수의 가산(additive) 효과에서 발생하므로, 두 독립
   된 정규 분포 무작위 변수를 더하고 빼는 것은 "NormalDist"의 인스턴스
   로 나타낼 수 있습니다. 예를 들면:

      >>> birth_weights = NormalDist.from_samples([2.5, 3.1, 2.1, 2.4, 2.7, 3.5])
      >>> drug_effects = NormalDist(0.4, 0.15)
      >>> combined = birth_weights + drug_effects
      >>> round(combined.mean, 1)
      3.1
      >>> round(combined.stdev, 1)
      0.5

   버전 3.8에 추가.


"NormalDist" 예제와 조리법
--------------------------

"NormalDist"는 고전적인 확률 문제를 쉽게 해결합니다.

예를 들어, 점수가 평균 1060이고 표준 편차가 195인 정규 분포를 보이는
SAT 시험의 역사적 데이터를 줄 때, 시험 점수가 1100에서 1200 사이인 학
생들의 백분율을 결정하십시오. 가장 가까운 정수로 반올림하십시오:

   >>> sat = NormalDist(1060, 195)
   >>> fraction = sat.cdf(1200 + 0.5) - sat.cdf(1100 - 0.5)
   >>> round(fraction * 100.0, 1)
   18.4

SAT 점수의 사분위 수(quartiles)와 십분위 수(deciles)를 찾으십시오:

   >>> list(map(round, sat.quantiles()))
   [928, 1060, 1192]
   >>> list(map(round, sat.quantiles(n=10)))
   [810, 896, 958, 1011, 1060, 1109, 1162, 1224, 1310]

분석적으로 풀기 쉽지 않은 모델의 분포를 추정하기 위해, "NormalDist"는
몬테카를로 시뮬레이션(Monte Carlo simulation)을 위한 입력 표본을 생성
할 수 있습니다:

   >>> def model(x, y, z):
   ...     return (3*x + 7*x*y - 5*y) / (11 * z)
   ...
   >>> n = 100_000
   >>> X = NormalDist(10, 2.5).samples(n, seed=3652260728)
   >>> Y = NormalDist(15, 1.75).samples(n, seed=4582495471)
   >>> Z = NormalDist(50, 1.25).samples(n, seed=6582483453)
   >>> quantiles(map(model, X, Y, Z))       
   [1.4591308524824727, 1.8035946855390597, 2.175091447274739]

표본 크기가 크고 성공적인 시행의 확률이 50%에 가까울 때 정규 분포를 사
용하여 이항 분포(Binomial distributions)를 근사할 수 있습니다.

예를 들어, 오픈 소스 회의에는 750명의 참석자와 500명 정원의 방 두 개가
있습니다. 파이썬과 루비에 대한 발표가 있습니다. 이전 회의에서는, 참석
자의 65%가 파이썬 발표를 듣는 것을 선호했습니다. 모집단 선호도가 변경
되지 않았다고 가정할 때, 파이썬 방이 정원 한도 내에 머무를 확률은 얼마
입니까?

   >>> n = 750             # Sample size
   >>> p = 0.65            # Preference for Python
   >>> q = 1.0 - p         # Preference for Ruby
   >>> k = 500             # Room capacity

   >>> # Approximation using the cumulative normal distribution
   >>> from math import sqrt
   >>> round(NormalDist(mu=n*p, sigma=sqrt(n*p*q)).cdf(k + 0.5), 4)
   0.8402

   >>> # Solution using the cumulative binomial distribution
   >>> from math import comb, fsum
   >>> round(fsum(comb(n, r) * p**r * q**(n-r) for r in range(k+1)), 4)
   0.8402

   >>> # Approximation using a simulation
   >>> from random import seed, choices
   >>> seed(8675309)
   >>> def trial():
   ...     return choices(('Python', 'Ruby'), (p, q), k=n).count('Python')
   >>> mean(trial() <= k for i in range(10_000))
   0.8398

정규 분포는 기계 학습 문제에서 흔히 등장합니다.

위키백과에는 나이브 베이즈 분류기(Naive Bayesian Classifier)의 멋진 예
가 있습니다. 문제는 키, 몸무게 및 발 크기를 포함하는 정규 분포된 피처
(feature)들로부터 사람의 성별을 예측하는 것입니다.

우리는 8명을 측정한 훈련 데이터 집합을 받았습니다. 측정값은 정규 분포
로 가정되므로, "NormalDist"로 데이터를 요약합니다:

   >>> height_male = NormalDist.from_samples([6, 5.92, 5.58, 5.92])
   >>> height_female = NormalDist.from_samples([5, 5.5, 5.42, 5.75])
   >>> weight_male = NormalDist.from_samples([180, 190, 170, 165])
   >>> weight_female = NormalDist.from_samples([100, 150, 130, 150])
   >>> foot_size_male = NormalDist.from_samples([12, 11, 12, 10])
   >>> foot_size_female = NormalDist.from_samples([6, 8, 7, 9])

다음으로, 피처 측정은 알려졌지만, 성별을 모르는 새로운 사람을 만납니다
:

   >>> ht = 6.0        # height
   >>> wt = 130        # weight
   >>> fs = 8          # foot size

남성이나 여성일 50%의 사전 확률(prior probability)로 시작하여, 사전 확
률에 주어진 성별이 피처 측정을 줄 우도(likelihood)를 곱해서 사후 확률
(posterior)을 계산합니다.:

   >>> prior_male = 0.5
   >>> prior_female = 0.5
   >>> posterior_male = (prior_male * height_male.pdf(ht) *
   ...                   weight_male.pdf(wt) * foot_size_male.pdf(fs))

   >>> posterior_female = (prior_female * height_female.pdf(ht) *
   ...                     weight_female.pdf(wt) * foot_size_female.pdf(fs))

최종 예측은 가장 큰 사후 확률(posterior)이 됩니다. 이것을 최대 사후 확
률(maximum a posteriori) 또는 MAP이라고 합니다.:

   >>> 'male' if posterior_male > posterior_female else 'female'
   'female'
