# `cmath` — 복소수를 위한 수학 함수

이 모듈은 복소수를 위한 수학 함수에 대한 액세스를 제공합니다. 이 모듈의 함수는 정수, 부동 소수점 수 또는 복소수를 인자로 받아들입니다. 이들은 또한 `__complex__()`나 `__float__()` 메서드를 가진 임의의 파이썬 객체를 받아들일 것입니다: 이 메서드는 객체를 각각 복소수나 부동 소수점 수로 변환하기 위해 사용되며, 함수는 변환 결과에 적용됩니다.

참고

부호 있는 0에 대한 하드웨어와 시스템 수준 지원이 있는 플랫폼에서, 분지 절단(branch cut)을 수반하는 함수는 분지 절단의 양 면에서 연속입니다: 0의 부호는 분지 절단의 한 면을 다른 면과 구별합니다. 부호 있는 0을 지원하지 않는 플랫폼에서 연속성은 아래에 지정된 것과 같습니다.

## 극좌표 변환

파이썬 복소수 `z`는 직교 혹은 데카르트 좌표를 사용하여 내부적으로 저장됩니다. 실수부 `z.real`과 허수부 `z.imag`에 의해 완전히 결정됩니다. 다시 말해:

    z == z.real + z.imag*1j

극좌표(polar coordinates)는 복소수를 나타내는 다른 방법을 제공합니다. 극좌표에서, 복소수 z는 모듈러스(modulus) r과 위상 각(phase angle) phi로 정의됩니다. 모듈러스 r은 z에서 원점까지의 거리이며, 위상 phi는 양의 x축에서 원점과 z를 잇는 선분으로의 라디안(radian)으로 측정한 반 시계 방향 각도입니다.

네이티브 직교 좌표와 극좌표 간의 변환에 다음 함수를 사용할 수 있습니다.

`cmath.``phase`(x)

  x의 위상(x의 편각(argument)이라고도 합니다)을 float로 반환합니다. `phase(x)`는 `math.atan2(x.imag, x.real)`과 동등합니다. 결과는 [-π, π] 범위에 놓이고, 이 작업의 분지 절단은 음의 실수 축에 놓이고, 위로부터 연속입니다. 부호 있는 0을 지원하는 시스템(현재 사용 중인 대부분의 시스템을 포함합니다)에서, 이는 결과의 부호가 `x.imag`가 0일 때도 `x.imag`의 부호와 같음을 의미합니다:

      >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
      3.141592653589793
      >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
      -3.141592653589793

참고

복소수 x의 모듈러스(절댓값)는 내장 `abs()` 함수를 사용하여 계산할 수 있습니다. 이 연산을 위한 별도의 `cmath` 모듈 함수는 없습니다.

`cmath.``polar`(x)

  x 표현을 극좌표로 반환합니다. 쌍 `(r, phi)`를 반환합니다. 여기서 r은 x의 모듈러스이고 phi는 x의 위상입니다. `polar(x)`는 `(abs(x), phase(x))`와 동등합니다.

`cmath.``rect`(r, phi)

  극좌표 r과 phi를 가지는 복소수 x를 반환합니다. `r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)`와 동등합니다.

## 거듭제곱과 로그 함수

`cmath.``exp`(x)

  e의 x 거듭제곱을 반환합니다. 여기서 e는 자연로그(natural logarithms)의 밑입니다.

`cmath.``log`(x[, base])

  주어진 밑(base)에 대한 x의 로그를 반환합니다. base가 지정되지 않으면, x의 자연로그를 반환합니다. 음의 실수 축을 따라 0에서부터 -∞ 까지 가고, 위로부터 연속인 하나의 분지 절단이 있습니다.

`cmath.``log10`(x)

  x의 밑이 10인 로그를 반환합니다. 이것은 `log()`와 같은 분지 절단을 가집니다.

`cmath.``sqrt`(x)

  x의 제곱근을 반환합니다. 이것은 `log()`와 같은 분지 절단을 가집니다.

## 삼각 함수

`cmath.``acos`(x)

  x의 아크 코사인을 반환합니다. 두 개의 분지 절단이 있습니다: 하나는 실수 축을 따라 1에서 오른쪽으로 ∞까지 확장하고, 아래로부터 연속입니다. 다른 하나는 실수 축을 따라 -1에서 왼쪽으로 -∞까지 확장되고, 위에서부터 연속입니다.

`cmath.``asin`(x)

  x의 아크 사인을 반환합니다. 이것은 `acos()`와 같은 분지 절단을 가집니다.

`cmath.``atan`(x)

  x의 아크 탄젠트를 반환합니다. 두 개의 분지 절단이 있습니다: 하나는 허수 축을 따라 `1j`에서 `∞j`까지 확장되며, 오른쪽으로부터 연속입니다. 다른 하나는 허수 축을 따라 `-1j`에서 `-∞j`까지 확장되며, 왼쪽으로부터 연속입니다.

`cmath.``cos`(x)

  x의 코사인을 반환합니다.

`cmath.``sin`(x)

  x의 사인을 반환합니다.

`cmath.``tan`(x)

  x의 탄젠트를 반환합니다.

## 쌍곡선(hyperbolic) 함수

`cmath.``acosh`(x)

  x의 역 쌍곡선 코사인을 반환합니다. 하나의 분지 절단이 있습니다, 실수 축을 따라 1에서 왼쪽으로 -∞까지 확장되며 위로부터 연속입니다.

`cmath.``asinh`(x)

  x의 역 쌍곡선 사인을 반환합니다. 두 개의 분지 절단이 있습니다: 하나는 허수 축을 따라 `1j`에서 `∞j`까지 확장되며, 오른쪽으로부터 연속입니다. 다른 하나는 허수 축을 따라 `-1j`에서 `-∞j`까지 확장되며, 왼쪽으로부터 연속입니다.

`cmath.``atanh`(x)

  x의 역 쌍곡선 탄젠트를 반환합니다. 두 개의 분지 절단이 있습니다: 하나는 실수 축을 따라 `1`에서 `∞`까지 확장되며, 아래로부터 연속입니다. 다른 하나는 실수 축을 따라 `-1`에서 `-∞`까지 확장되며, 위로부터 연속입니다.

`cmath.``cosh`(x)

  x의 쌍곡선 코사인을 반환합니다.

`cmath.``sinh`(x)

  x의 쌍곡선 사인을 반환합니다.

`cmath.``tanh`(x)

  x의 쌍곡선 탄젠트를 반환합니다.

## 분류 함수

`cmath.``isfinite`(x)

  x의 실수부와 허수부가 모두 유한이면 `True`를 반환하고, 그렇지 않으면 `False`를 반환합니다.

  버전 3.2에 추가.

`cmath.``isinf`(x)

  x의 실수부나 허수부 중 하나가 무한이면 `True`를 반환하고, 그렇지 않으면 `False`를 반환합니다.

`cmath.``isnan`(x)

  x의 실수부나 허수부 중 하나가 NaN이면 `True`를 반환하고, 그렇지 않으면 `False`를 반환합니다.

`cmath.``isclose`(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

  a와 b 값이 서로 가까우면 `True`를 반환하고, 그렇지 않으면 `False`를 반환합니다.

  두 값을 가까운 것으로 간주하는지는 주어진 절대와 상대 허용 오차에 따라 결정됩니다.

  rel_tol은 상대 허용 오차입니다 – a와 b 사이의 최대 허용 차이이고, a나 b의 절댓값 중 더 큰 값에 상대적입니다. 예를 들어, 5%의 허용 오차를 설정하려면, `rel_tol=0.05`를 전달하십시오. 기본 허용 오차는 `1e-09`이며, 이는 두 값이 약 9자리 십진 숫자 내에서 같음을 보장합니다. rel_tol은 0보다 커야 합니다.

  abs_tol은 최소 절대 허용 오차입니다 – 0에 가까운 비교에 유용합니다. abs_tol은 최소한 0이어야 합니다.

  에러가 발생하지 않으면, 결과는 다음과 같습니다: `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`.

  IEEE 754 특수 값 `NaN`, `inf` 및 `-inf`는 IEEE 규칙에 따라 처리됩니다. 특히, `NaN`은 `NaN`을 포함한 다른 모는 값과 가깝다고 간주하지 않습니다. `inf`와 `-inf`는 그들 자신하고만 가깝다고 간주합니다.

  버전 3.5에 추가.

  더 보기

  PEP 485 – 근사 동등을 검사하는 함수.

## 상수

`cmath.``pi`

  수학 상수 π의 float 값.

`cmath.``e`

  수학 상수 e의 float 값.

`cmath.``tau`

  수학 상수 τ의 float 값.

  버전 3.6에 추가.

`cmath.``inf`

  부동 소수점 양의 무한대. `float('inf')`와 동등합니다.

  버전 3.6에 추가.

`cmath.``infj`

  0 실수부와 양의 무한대 허수부를 갖는 복소수. `complex(0.0, float('inf'))`와 동등합니다.

  버전 3.6에 추가.

`cmath.``nan`

  부동 소수점 “not a number” (NaN) 값. `float('nan')`과 동등합니다.

  버전 3.6에 추가.

`cmath.``nanj`

  0 실수부와 NaN 허수부를 갖는 복소수. `complex(0.0, float('nan'))`과 동등합니다.

  버전 3.6에 추가.

함수 선택은 모듈 `math`에서와 유사하지만 동일하지는 않습니다. 두 개의 모듈이 있는 이유는 일부 사용자가 복소수에 관심이 없고, 어쩌면 복소수가 무엇인지 모를 수도 있기 때문입니다. 그들에게는 `math.sqrt(-1)`이 복소수를 반환하기보다 예외를 발생시키는 것이 좋습니다. 또한, `cmath`에 정의된 함수는, 결과를 실수로 표현할 수 있을 때도 항상 복소수를 반환합니다 (이때 복소수의 허수부는 0입니다).

분지 절단에 대한 참고 사항: 주어진 함수가 연속적이지 않은 점을 지나는 곡선입니다. 이것들은 많은 복소수 기능에서 필요한 기능입니다. 복소수 함수로 계산해야 할 때, 분지 절단에 대해 이해가 필요하다고 가정합니다. 이해를 위해서는 복소 변수에 관한 (너무 기초적이지 않은) 아무 책이나 참고하면 됩니다. 수치 계산의 목적으로 분지 절단을 적절히 선택하는 방법에 대한 정보에 대해서는, 다음과 같은 좋은 참고 문헌이 있습니다:

더 보기

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing’s sign bit. Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165–211.