"itertools" --- 効率的なループ実行のためのイテレータ生成関数
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このモジュールは *イテレータ* を構築する部品を実装しています。プログラ
ム言語 APL, Haskell, SML からアイデアを得ていますが、 Python に適した
形に修正されています。

このモジュールは、高速でメモリ効率に優れ、単独でも組合せても使用するこ
とのできるツールを標準化したものです。同時に、このツール群は "イテレー
タの代数" を構成していて、pure Python で簡潔かつ効率的なツールを作れる
ようにしています。

例えば、SML の作表ツール "tabulate(f)" は "f(0), f(1), ..." のシーケン
スを作成します。同じことを Python では "map()" と "count()" を組合せて
"map(f, count())" という形で実現できます。

これらのツールと組み込み関数は "operator" モジュール内の高速な関数とと
もに使うことで見事に動作します。例えば、乗算演算子を2つのベクトルにわ
たってマップすることで効率的な内積計算を実現できます:
"sum(starmap(operator.mul, zip(vec1, vec2, strict=True)))"。

**無限イテレータ:**

+--------------------+-------------------+---------------------------------------------------+-------------------------------------------+
| イテレータ         | 引数              | 結果                                              | 使用例                                    |
|====================|===================|===================================================|===========================================|
| "count()"          | [start[, step]]   | start, start+step, start+2*step, ...              | "count(10) → 10 11 12 13 14 ..."          |
+--------------------+-------------------+---------------------------------------------------+-------------------------------------------+
| "cycle()"          | p                 | p0, p1, ... plast, p0, p1, ...                    | "cycle('ABCD') → A B C D A B C D ..."     |
+--------------------+-------------------+---------------------------------------------------+-------------------------------------------+
| "repeat()"         | elem [,n]         | elem, elem, elem, ... 無限もしくは n 回           | "repeat(10, 3) → 10 10 10"                |
+--------------------+-------------------+---------------------------------------------------+-------------------------------------------+

**一番短い入力シーケンスで止まるイテレータ:**

+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| イテレータ                   | 引数                         | 結果                                              | 使用例                                                        |
|==============================|==============================|===================================================|===============================================================|
| "accumulate()"               | p [,func]                    | p0, p0+p1, p0+p1+p2, ...                          | "accumulate([1,2,3,4,5]) → 1 3 6 10 15"                       |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "batched()"                  | p, n                         | (p0, p1, ..., p_n-1), ...                         | "batched('ABCDEFG', n=3) → ABC DEF G"                         |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "chain()"                    | p, q, ...                    | p0, p1, ... plast, q0, q1, ...                    | "chain('ABC', 'DEF') → A B C D E F"                           |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "chain.from_iterable()"      | iterable                     | p0, p1, ... plast, q0, q1, ...                    | "chain.from_iterable(['ABC', 'DEF']) → A B C D E F"           |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "compress()"                 | data, selectors              | (d[0] if s[0]), (d[1] if s[1]), ...               | "compress('ABCDEF', [1,0,1,0,1,1]) → A C E F"                 |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "dropwhile()"                | predicate, seq               | seq[n], seq[n+1], starting when predicate fails   | "dropwhile(lambda x: x<5, [1,4,6,4,1]) → 6 4 1"               |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "filterfalse()"              | predicate, seq               | elements of seq where predicate(elem) fails       | "filterfalse(lambda x: x%2, range(10)) → 0 2 4 6 8"           |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "groupby()"                  | iterable[, key]              | key(v) の値でグループ化したサブイテレータ         |                                                               |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "islice()"                   | seq, [start,] stop [, step]  | seq[start:stop:step]                              | "islice('ABCDEFG', 2, None) → C D E F G"                      |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "pairwise()"                 | iterable                     | (p[0], p[1]), (p[1], p[2])                        | "pairwise('ABCDEFG') → AB BC CD DE EF FG"                     |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "starmap()"                  | func, seq                    | func(*seq[0]), func(*seq[1]), ...                 | "starmap(pow, [(2,5), (3,2), (10,3)]) → 32 9 1000"            |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "takewhile()"                | predicate, seq               | seq[0], seq[1], until predicate fails             | "takewhile(lambda x: x<5, [1,4,6,4,1]) → 1 4"                 |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "tee()"                      | it, n                        | it1, it2 , ... itn 一つのイテレータを n 個に分け  |                                                               |
|                              |                              | る                                                |                                                               |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "zip_longest()"              | p, q, ...                    | (p[0], q[0]), (p[1], q[1]), ...                   | "zip_longest('ABCD', 'xy', fillvalue='-') → Ax By C- D-"      |
+------------------------------+------------------------------+---------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+

**組合せイテレータ:**

+------------------------------------------------+----------------------+---------------------------------------------------------------+
| イテレータ                                     | 引数                 | 結果                                                          |
|================================================|======================|===============================================================|
| "product()"                                    | p, q, ... [repeat=1] | デカルト積、ネストしたforループと等価                         |
+------------------------------------------------+----------------------+---------------------------------------------------------------+
| "permutations()"                               | p[, r]               | 長さrのタプル列、重複なしのあらゆる並び                       |
+------------------------------------------------+----------------------+---------------------------------------------------------------+
| "combinations()"                               | p, r                 | 長さrのタプル列、ソートされた順で重複なし                     |
+------------------------------------------------+----------------------+---------------------------------------------------------------+
| "combinations_with_replacement()"              | p, r                 | 長さrのタプル列、ソートされた順で重複あり                     |
+------------------------------------------------+----------------------+---------------------------------------------------------------+

+------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| 使用例                                         | 結果                                                          |
|================================================|===============================================================|
| "product('ABCD', repeat=2)"                    | "AA AB AC AD BA BB BC BD CA CB CC CD DA DB DC DD"             |
+------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "permutations('ABCD', 2)"                      | "AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC"                         |
+------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "combinations('ABCD', 2)"                      | "AB AC AD BC BD CD"                                           |
+------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+
| "combinations_with_replacement('ABCD', 2)"     | "AA AB AC AD BB BC BD CC CD DD"                               |
+------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------+


Itertool Functions
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以下の関数は全て、イテレータを作成して返します。無限長のストリームのイ
テレータを返す関数もあり、この場合にはストリームを中断するような関数か
ループ処理から使用しなければなりません。

itertools.accumulate(iterable[, func, *, initial=None])

   累計や加算ではない (*func* オプション引数で指定される) 2変数関数に
   よる累積結果を返すイテレータを作成します。

   *func* が与えられた場合、2つの引数を取る関数でなければなりません。
   入力 *iterable* の要素は、 *func* が引数として取れる型を持ちます。
   (例えば、デフォルトの演算の加算では、要素は "Decimal" や "Fraction"
   を含む、加算ができる型を持ちます。)

   通常、出力される要素数は入力 *iterable* の要素数と一致します。 ただ
   し、キーワード引数 *initial* が指定されていれば、 iterable の要素は
   最初に *initial* 値を持つため、出力は入力されたイテラブルよりも要素
   を1つ多く持ちます。

   およそ次と等価です:

      def accumulate(iterable, func=operator.add, *, initial=None):
          'Return running totals'
          # accumulate([1,2,3,4,5]) → 1 3 6 10 15
          # accumulate([1,2,3,4,5], initial=100) → 100 101 103 106 110 115
          # accumulate([1,2,3,4,5], operator.mul) → 1 2 6 24 120
          it = iter(iterable)
          total = initial
          if initial is None:
              try:
                  total = next(it)
              except StopIteration:
                  return
          yield total
          for element in it:
              total = func(total, element)
              yield total

   There are a number of uses for the *func* argument.  It can be set
   to "min()" for a running minimum, "max()" for a running maximum, or
   "operator.mul()" for a running product.  Amortization tables can be
   built by accumulating interest and applying payments:

      >>> data = [3, 4, 6, 2, 1, 9, 0, 7, 5, 8]
      >>> list(accumulate(data, operator.mul))     # running product
      [3, 12, 72, 144, 144, 1296, 0, 0, 0, 0]
      >>> list(accumulate(data, max))              # running maximum
      [3, 4, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 9, 9]

      # Amortize a 5% loan of 1000 with 10 annual payments of 90
      >>> account_update = lambda bal, pmt: round(bal * 1.05) + pmt
      >>> list(accumulate(repeat(-90, 10), account_update, initial=1_000))
      [1000, 960, 918, 874, 828, 779, 728, 674, 618, 559, 497]

   最終的な累積値だけを返す類似の関数については "functools.reduce()"
   を見てください。

   バージョン 3.2 で追加.

   バージョン 3.3 で変更: オプションの *func* 引数が追加されました。

   バージョン 3.8 で変更: オプションの *initial* パラメータが追加され
   ました。

itertools.batched(iterable, n, *, strict=False)

   *iterable* から得られるデータを *n* 個ごとに一つのタプルにまとめま
   す。 一番最後のバッチは *n* 個より少なくなる可能性があります。

   If *strict* is true, will raise a "ValueError" if the final batch
   is shorter than *n*.

   入力の iterable から要素を一つづつ取り出し、サイズが *n* になるまで
   タプルに溜め込みます。 入力の iterable は遅延評価され、次のタプルを
   作るのに必要なだけ要素が取り出されます。 タプルは、個数が *n* に到
   達するか、入力の iterable が尽きるとすぐに出力されます:

      >>> flattened_data = ['roses', 'red', 'violets', 'blue', 'sugar', 'sweet']
      >>> unflattened = list(batched(flattened_data, 2))
      >>> unflattened
      [('roses', 'red'), ('violets', 'blue'), ('sugar', 'sweet')]

      >>> for batch in batched('ABCDEFG', 3):
      ...     print(batch)
      ...
      ('A', 'B', 'C')
      ('D', 'E', 'F')
      ('G',)

   およそ次と等価です:

      def batched(iterable, n, *, strict=False):
          # batched('ABCDEFG', 3) → ABC DEF G
          if n < 1:
              raise ValueError('n must be at least one')
          it = iter(iterable)
          while batch := tuple(islice(it, n)):
              if strict and len(batch) != n:
                  raise ValueError('batched(): incomplete batch')
              yield batch

   バージョン 3.12 で追加.

   バージョン 3.13 で変更: Added the *strict* option.

itertools.chain(*iterables)

   先頭の iterable の全要素を返し、次に2番目の iterable の全要素を返し
   、と全 iterable の要素を返すイテレータを作成します。連続したシーケ
   ンスを一つのシーケンスとして扱う場合に使用します。およそ次と等価で
   す:

      def chain(*iterables):
          # chain('ABC', 'DEF') → A B C D E F
          for it in iterables:
              for element in it:
                  yield element

classmethod chain.from_iterable(iterable)

   "chain()" のためのもう一つのコンストラクタです。遅延評価される
   iterable 引数一つから連鎖した入力を受け取ります。この関数は、以下の
   コードとほぼ等価です:

      def from_iterable(iterables):
          # chain.from_iterable(['ABC', 'DEF']) → A B C D E F
          for it in iterables:
              for element in it:
                  yield element

itertools.combinations(iterable, r)

   入力 *iterable* の要素からなる長さ *r* の部分列を返します。

   組合せ(combination)は入力 *iterable* に応じた辞書式順序で出力されま
   す。したがって、入力 *iterable* がソートされていれば、出力されるタ
   プルもソートされた順番で生成されます。

   各要素は場所に基づいて一意に取り扱われ、値にはよりません。入力され
   た要素がバラバラなら各組合せの中に重複した値は現れません。

   およそ次と等価です:

      def combinations(iterable, r):
          # combinations('ABCD', 2) → AB AC AD BC BD CD
          # combinations(range(4), 3) → 012 013 023 123
          pool = tuple(iterable)
          n = len(pool)
          if r > n:
              return
          indices = list(range(r))
          yield tuple(pool[i] for i in indices)
          while True:
              for i in reversed(range(r)):
                  if indices[i] != i + n - r:
                      break
              else:
                  return
              indices[i] += 1
              for j in range(i+1, r):
                  indices[j] = indices[j-1] + 1
              yield tuple(pool[i] for i in indices)

   "combinations()" のコードは "permutations()" のシーケンスから (入力
   プールでの位置に応じた順序で) 要素がソートされていないものをフィル
   ターしたようにも表現できます:

      def combinations(iterable, r):
          pool = tuple(iterable)
          n = len(pool)
          for indices in permutations(range(n), r):
              if sorted(indices) == list(indices):
                  yield tuple(pool[i] for i in indices)

   返される要素の数は、"0 <= r <= n" の場合は、"n! / r! / (n-r)!" で、
   "r > n" の場合は 0 です。

itertools.combinations_with_replacement(iterable, r)

   入力 *iterable* から、それぞれの要素が複数回現れることを許して、長
   さ *r* の要素の部分列を返します。

   組合せ(combination)は入力 *iterable* に応じた辞書式順序で出力されま
   す。したがって、入力 *iterable* がソートされていれば、出力されるタ
   プルもソートされた順番で生成されます。

   要素は、値ではなく位置に基づいて一意に扱われます。ですから、入力の
   要素が一意であれば、生成された組合せも一意になります。

   およそ次と等価です:

      def combinations_with_replacement(iterable, r):
          # combinations_with_replacement('ABC', 2) → AA AB AC BB BC CC
          pool = tuple(iterable)
          n = len(pool)
          if not n and r:
              return
          indices = [0] * r
          yield tuple(pool[i] for i in indices)
          while True:
              for i in reversed(range(r)):
                  if indices[i] != n - 1:
                      break
              else:
                  return
              indices[i:] = [indices[i] + 1] * (r - i)
              yield tuple(pool[i] for i in indices)

   "combinations_with_replacement()" のコードは、 "product()" の部分列
   から、要素が (入力プールの位置に従って) ソートされた順になっていな
   い項目をフィルタリングしたものとしても表せます:

      def combinations_with_replacement(iterable, r):
          pool = tuple(iterable)
          n = len(pool)
          for indices in product(range(n), repeat=r):
              if sorted(indices) == list(indices):
                  yield tuple(pool[i] for i in indices)

   返される要素の数は、"n > 0" のとき "(n+r-1)! / r! / (n-1)!" です。

   バージョン 3.1 で追加.

itertools.compress(data, selectors)

   *data* の要素から *selectors* の対応する要素が "True" と評価される
   ものだけをフィルタしたイテレータを作ります。*data* と *selectors*
   のいずれかが尽きたときに止まります。およそ次と等価です:

      def compress(data, selectors):
          # compress('ABCDEF', [1,0,1,0,1,1]) → A C E F
          return (d for d, s in zip(data, selectors) if s)

   バージョン 3.1 で追加.

itertools.count(start=0, step=1)

   数 *start* で始まる等間隔の値を返すイテレータを作成します。"map()"
   に渡して連続したデータを生成するのによく使われます。 また、 "zip()"
   に連続した番号を追加するのにも使われます。 およそ次と等価です:

      def count(start=0, step=1):
          # count(10) → 10 11 12 13 14 ...
          # count(2.5, 0.5) → 2.5 3.0 3.5 ...
          n = start
          while True:
              yield n
              n += step

   浮動小数点数でカウントするときは "(start + step * i for i in
   count())" のように掛け算を使ったコードに置き換えたほうが正確にでき
   ることがあります。

   バージョン 3.1 で変更: *step* 引数が追加され、非整数の引数が許され
   るようになりました。

itertools.cycle(iterable)

   iterable から要素を取得し、そのコピーを保存するイテレータを作成しま
   す。iterable の全要素を返すと、セーブされたコピーから要素を返します
   。これを無限に繰り返します。およそ次と等価です:

      def cycle(iterable):
          # cycle('ABCD') → A B C D A B C D A B C D ...
          saved = []
          for element in iterable:
              yield element
              saved.append(element)
          while saved:
              for element in saved:
                    yield element

   "cycle()" は大きなメモリ領域を使用します。使用するメモリ量は
   iterable の大きさに依存します。

itertools.dropwhile(predicate, iterable)

   predicate (述語) が真である間は要素を飛ばし、その後は全ての要素を返
   すイテレータを作成します。このイテレータは、predicate が最初に偽に
   なるまで *全く* 要素を返さないため、要素を返し始めるまでに長い時間
   がかかる場合があります。およそ次と等価です:

      def dropwhile(predicate, iterable):
          # dropwhile(lambda x: x<5, [1,4,6,4,1]) → 6 4 1
          iterable = iter(iterable)
          for x in iterable:
              if not predicate(x):
                  yield x
                  break
          for x in iterable:
              yield x

itertools.filterfalse(predicate, iterable)

   iterable から predicate が偽となる要素だけを返すイテレータを作成し
   ます。*predicate* が "None" の場合、偽の要素だけを返します。およそ
   次と等価です:

      def filterfalse(predicate, iterable):
          # filterfalse(lambda x: x%2, range(10)) → 0 2 4 6 8
          if predicate is None:
              predicate = bool
          for x in iterable:
              if not predicate(x):
                  yield x

itertools.groupby(iterable, key=None)

   同じキーをもつような要素からなる *iterable* 中のグループに対して、
   キーとグループを返すようなイテレータを作成します。*key* は各要素に
   対するキー値を計算する関数です。キーを指定しない場合や "None" にし
   た場合、*key* 関数のデフォルトは恒等関数になり要素をそのまま返しま
   す。通常、*iterable* は同じキー関数でソート済みである必要があります
   。

   "groupby()" の操作は Unix の "uniq" フィルターと似ています。 key 関
   数の値が変わるたびに休止または新しいグループを生成します (このため
   に通常同じ key 関数でソートしておく必要があるのです)。この動作は
   SQL の入力順に関係なく共通の要素を集約する GROUP BY とは違います。

   返されるグループはそれ自体がイテレータで、 "groupby()" と
   *iterable* を共有しています。もととなる *iterable* を共有しているた
   め、 "groupby()" オブジェクトの要素取り出しを先に進めると、それ以前
   の要素であるグループは見えなくなってしまいます。従って、データが後
   で必要な場合にはリストの形で保存しておく必要があります:

      groups = []
      uniquekeys = []
      data = sorted(data, key=keyfunc)
      for k, g in groupby(data, keyfunc):
          groups.append(list(g))      # Store group iterator as a list
          uniquekeys.append(k)

   "groupby()" はおよそ次と等価です:

      class groupby:
          # [k for k, g in groupby('AAAABBBCCDAABBB')] → A B C D A B
          # [list(g) for k, g in groupby('AAAABBBCCD')] → AAAA BBB CC D

          def __init__(self, iterable, key=None):
              if key is None:
                  key = lambda x: x
              self.keyfunc = key
              self.it = iter(iterable)
              self.tgtkey = self.currkey = self.currvalue = object()

          def __iter__(self):
              return self

          def __next__(self):
              self.id = object()
              while self.currkey == self.tgtkey:
                  self.currvalue = next(self.it)    # Exit on StopIteration
                  self.currkey = self.keyfunc(self.currvalue)
              self.tgtkey = self.currkey
              return (self.currkey, self._grouper(self.tgtkey, self.id))

          def _grouper(self, tgtkey, id):
              while self.id is id and self.currkey == tgtkey:
                  yield self.currvalue
                  try:
                      self.currvalue = next(self.it)
                  except StopIteration:
                      return
                  self.currkey = self.keyfunc(self.currvalue)

itertools.islice(iterable, stop)
itertools.islice(iterable, start, stop[, step])

   Make an iterator that returns selected elements from the iterable.
   If *start* is non-zero, then elements from the iterable are skipped
   until start is reached. Afterward, elements are returned
   consecutively unless *step* is set higher than one which results in
   items being skipped.  If *stop* is "None", then iteration continues
   until the iterator is exhausted, if at all; otherwise, it stops at
   the specified position.

   *start* が "None" の場合、イテレーションは0から始まります。*step*
   が "None" の場合、ステップはデフォルトの1になります。

   Unlike regular slicing, "islice()" does not support negative values
   for *start*, *stop*, or *step*.  Can be used to extract related
   fields from data where the internal structure has been flattened
   (for example, a multi-line report may list a name field on every
   third line).

   およそ次と等価です:

      def islice(iterable, *args):
          # islice('ABCDEFG', 2) → A B
          # islice('ABCDEFG', 2, 4) → C D
          # islice('ABCDEFG', 2, None) → C D E F G
          # islice('ABCDEFG', 0, None, 2) → A C E G
          s = slice(*args)
          start, stop, step = s.start or 0, s.stop or sys.maxsize, s.step or 1
          it = iter(range(start, stop, step))
          try:
              nexti = next(it)
          except StopIteration:
              # Consume *iterable* up to the *start* position.
              for i, element in zip(range(start), iterable):
                  pass
              return
          try:
              for i, element in enumerate(iterable):
                  if i == nexti:
                      yield element
                      nexti = next(it)
          except StopIteration:
              # Consume to *stop*.
              for i, element in zip(range(i + 1, stop), iterable):
                  pass

itertools.pairwise(iterable)

   Return successive overlapping pairs taken from the input
   *iterable*.

   The number of 2-tuples in the output iterator will be one fewer
   than the number of inputs.  It will be empty if the input iterable
   has fewer than two values.

   およそ次と等価です:

      def pairwise(iterable):
          # pairwise('ABCDEFG') → AB BC CD DE EF FG
          iterator = iter(iterable)
          a = next(iterator, None)
          for b in iterator:
              yield a, b
              a = b

   バージョン 3.10 で追加.

itertools.permutations(iterable, r=None)

   *iterable* の要素からなる長さ *r* の順列 (permutation) を連続的に返
   します。

   *r* が指定されない場合や "None" の場合、*r* はデフォルトで
   *iterable* の長さとなり、可能な最長の順列の全てが生成されます。

   順列(permutation)は入力 *iterable* に応じた辞書式順序で出力されます
   。したがって、入力 *iterable* がソートされていれば、出力されるタプ
   ルもソートされた順番で生成されます。

   Elements are treated as unique based on their position, not on
   their value.  So if the input elements are unique, there will be no
   repeated values within a permutation.

   およそ次と等価です:

      def permutations(iterable, r=None):
          # permutations('ABCD', 2) → AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
          # permutations(range(3)) → 012 021 102 120 201 210
          pool = tuple(iterable)
          n = len(pool)
          r = n if r is None else r
          if r > n:
              return
          indices = list(range(n))
          cycles = list(range(n, n-r, -1))
          yield tuple(pool[i] for i in indices[:r])
          while n:
              for i in reversed(range(r)):
                  cycles[i] -= 1
                  if cycles[i] == 0:
                      indices[i:] = indices[i+1:] + indices[i:i+1]
                      cycles[i] = n - i
                  else:
                      j = cycles[i]
                      indices[i], indices[-j] = indices[-j], indices[i]
                      yield tuple(pool[i] for i in indices[:r])
                      break
              else:
                  return

   "permutations()" のコードは "product()" の列から重複 (それらは入力
   プールの同じ位置から取られたものです) を除くようフィルタしたものと
   しても表現できます:

      def permutations(iterable, r=None):
          pool = tuple(iterable)
          n = len(pool)
          r = n if r is None else r
          for indices in product(range(n), repeat=r):
              if len(set(indices)) == r:
                  yield tuple(pool[i] for i in indices)

   返される要素の数は、"0 <= r <= n" の場合 "n! / (n-r)!" で、"r > n"
   の場合は 0 です。

itertools.product(*iterables, repeat=1)

   入力イテラブルのデカルト積です。

   ジェネレータ式の入れ子になった for ループとおよそ等価です。たとえば
   "product(A, B)" は "((x,y) for x in A for y in B)" と同じものを返し
   ます。

   入れ子ループは走行距離計と同じように右端の要素がイテレーションごと
   に更新されていきます。このパターンは辞書式順序を作り出し、入力のイ
   テレート可能オブジェクトたちがソートされていれば、直積タプルもソー
   トされた順に出てきます。

   イテラブル自身との直積を計算するためには、オプションの *repeat* キ
   ーワード引数に繰り返し回数を指定します。たとえば "product(A,
   repeat=4)" は  "product(A, A, A, A)" と同じ意味です。

   この関数は以下のコードとおよそ等価ですが、実際の実装ではメモリ中に
   中間結果を作りません:

      def product(*args, repeat=1):
          # product('ABCD', 'xy') → Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy
          # product(range(2), repeat=3) → 000 001 010 011 100 101 110 111
          pools = [tuple(pool) for pool in args] * repeat
          result = [[]]
          for pool in pools:
              result = [x+[y] for x in result for y in pool]
          for prod in result:
              yield tuple(prod)

   "product()" は動作する前に、入力のイテラブルを完全に読み取り、直積
   を生成するためにメモリ内に値を蓄えます。したがって、入力が有限の場
   合に限り有用です。

itertools.repeat(object[, times])

   Make an iterator that returns *object* over and over again. Runs
   indefinitely unless the *times* argument is specified.

   およそ次と等価です:

      def repeat(object, times=None):
          # repeat(10, 3) → 10 10 10
          if times is None:
              while True:
                  yield object
          else:
              for i in range(times):
                  yield object

   *repeat* は *map* や *zip* に定数のストリームを与えるためによく利用
   されます:

      >>> list(map(pow, range(10), repeat(2)))
      [0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81]

itertools.starmap(function, iterable)

   Make an iterator that computes the function using arguments
   obtained from the iterable.  Used instead of "map()" when argument
   parameters are already grouped in tuples from a single iterable
   (when the data has been "pre-zipped").

   The difference between "map()" and "starmap()" parallels the
   distinction between "function(a,b)" and "function(*c)". Roughly
   equivalent to:

      def starmap(function, iterable):
          # starmap(pow, [(2,5), (3,2), (10,3)]) → 32 9 1000
          for args in iterable:
              yield function(*args)

itertools.takewhile(predicate, iterable)

   predicate が真である限り iterable から要素を返すイテレータを作成し
   ます。およそ次と等価です:

      def takewhile(predicate, iterable):
          # takewhile(lambda x: x<5, [1,4,6,4,1]) → 1 4
          for x in iterable:
              if predicate(x):
                  yield x
              else:
                  break

   Note, the element that first fails the predicate condition is
   consumed from the input iterator and there is no way to access it.
   This could be an issue if an application wants to further consume
   the input iterator after takewhile has been run to exhaustion.  To
   work around this problem, consider using more-iterools
   before_and_after() instead.

itertools.tee(iterable, n=2)

   一つの iterable から *n* 個の独立したイテレータを返します。

   以下の Python コードは *tee* がすることについての理解を助けるでしょ
   う (ただし実際の実装はより複雑で、下層の FIFO (first-in, first-out)
   キューを一つしか使いませんが):

      def tee(iterable, n=2):
          it = iter(iterable)
          deques = [collections.deque() for i in range(n)]
          def gen(mydeque):
              while True:
                  if not mydeque:             # when the local deque is empty
                      try:
                          newval = next(it)   # fetch a new value and
                      except StopIteration:
                          return
                      for d in deques:        # load it to all the deques
                          d.append(newval)
                  yield mydeque.popleft()
          return tuple(gen(d) for d in deques)

   一度 "tee()" が生成されたら、もとの *iterable* を他で使ってはいけま
   せん。さもなければ、 "tee()" オブジェクトの知らない間に *iterable*
   が先の要素に進んでしまうことになります。

   "tee" iterators are not threadsafe. A "RuntimeError" may be raised
   when simultaneously using iterators returned by the same "tee()"
   call, even if the original *iterable* is threadsafe.

   "tee()" はかなり大きなメモリ領域を使用するかもしれません (使用する
   メモリ量はiterableの大きさに依存します)。一般には、一つのイテレータ
   が他のイテレータよりも先にほとんどまたは全ての要素を消費するような
   場合には、 "tee()" よりも "list()" を使った方が高速です。

itertools.zip_longest(*iterables, fillvalue=None)

   各 iterable の要素をまとめるイテレータを作成します。iterable の長さ
   が違う場合、足りない値は *fillvalue* で埋められます。最も長い
   itarable が尽きるまでイテレーションします。およそ次と等価です:

      def zip_longest(*args, fillvalue=None):
          # zip_longest('ABCD', 'xy', fillvalue='-') → Ax By C- D-
          iterators = [iter(it) for it in args]
          num_active = len(iterators)
          if not num_active:
              return
          while True:
              values = []
              for i, it in enumerate(iterators):
                  try:
                      value = next(it)
                  except StopIteration:
                      num_active -= 1
                      if not num_active:
                          return
                      iterators[i] = repeat(fillvalue)
                      value = fillvalue
                  values.append(value)
              yield tuple(values)

   iterables の1つが無限になりうる場合 "zip_longest()" は呼び出し回数
   を制限するような何かでラップしなければいけません(例えば "islice()"
   or "takewhile()")。 *fillvalue* は指定しない場合のデフォルトは
   "None" です。


Itertools レシピ
================

この節では、既存の itertools を素材としてツールセットを拡張するための
レシピを示します。

The primary purpose of the itertools recipes is educational.  The
recipes show various ways of thinking about individual tools — for
example, that "chain.from_iterable" is related to the concept of
flattening.  The recipes also give ideas about ways that the tools can
be combined — for example, how "starmap()" and "repeat()" can work
together.  The recipes also show patterns for using itertools with the
"operator" and "collections" modules as well as with the built-in
itertools such as "map()", "filter()", "reversed()", and
"enumerate()".

A secondary purpose of the recipes is to serve as an incubator.  The
"accumulate()", "compress()", and "pairwise()" itertools started out
as recipes.  Currently, the "sliding_window()", "iter_index()", and
"sieve()" recipes are being tested to see whether they prove their
worth.

下記のレシピを包含した広範なレシピ集は Python Package Index 上の more-
itertools project からインストールできます。

   python -m pip install more-itertools

Many of the recipes offer the same high performance as the underlying
toolset. Superior memory performance is kept by processing elements
one at a time rather than bringing the whole iterable into memory all
at once. Code volume is kept small by linking the tools together in a
functional style.  High speed is retained by preferring "vectorized"
building blocks over the use of for-loops and *generators* which incur
interpreter overhead.

   import collections
   import functools
   import math
   import operator
   import random

   def take(n, iterable):
       "Return first n items of the iterable as a list."
       return list(islice(iterable, n))

   def prepend(value, iterable):
       "Prepend a single value in front of an iterable."
       # prepend(1, [2, 3, 4]) → 1 2 3 4
       return chain([value], iterable)

   def tabulate(function, start=0):
       "Return function(0), function(1), ..."
       return map(function, count(start))

   def repeatfunc(func, times=None, *args):
       """Repeat calls to func with specified arguments.

       Example:  repeatfunc(random.random)
       """
       if times is None:
           return starmap(func, repeat(args))
       return starmap(func, repeat(args, times))

   def flatten(list_of_lists):
       "Flatten one level of nesting."
       return chain.from_iterable(list_of_lists)

   def ncycles(iterable, n):
       "Returns the sequence elements n times."
       return chain.from_iterable(repeat(tuple(iterable), n))

   def tail(n, iterable):
       "Return an iterator over the last n items."
       # tail(3, 'ABCDEFG') → E F G
       return iter(collections.deque(iterable, maxlen=n))

   def consume(iterator, n=None):
       "Advance the iterator n-steps ahead. If n is None, consume entirely."
       # Use functions that consume iterators at C speed.
       if n is None:
           # feed the entire iterator into a zero-length deque
           collections.deque(iterator, maxlen=0)
       else:
           # advance to the empty slice starting at position n
           next(islice(iterator, n, n), None)

   def nth(iterable, n, default=None):
       "Returns the nth item or a default value."
       return next(islice(iterable, n, None), default)

   def quantify(iterable, predicate=bool):
       "Given a predicate that returns True or False, count the True results."
       return sum(map(predicate, iterable))

   def first_true(iterable, default=False, predicate=None):
       "Returns the first true value or the *default* if there is no true value."
       # first_true([a,b,c], x) → a or b or c or x
       # first_true([a,b], x, f) → a if f(a) else b if f(b) else x
       return next(filter(predicate, iterable), default)

   def all_equal(iterable, key=None):
       "Returns True if all the elements are equal to each other."
       # all_equal('4٤໔４৪', key=int) → True
       return len(take(2, groupby(iterable, key))) <= 1

   def unique_justseen(iterable, key=None):
       "List unique elements, preserving order. Remember only the element just seen."
       # unique_justseen('AAAABBBCCDAABBB') → A B C D A B
       # unique_justseen('ABBcCAD', str.casefold) → A B c A D
       if key is None:
           return map(operator.itemgetter(0), groupby(iterable))
       return map(next, map(operator.itemgetter(1), groupby(iterable, key)))

   def unique_everseen(iterable, key=None):
       "List unique elements, preserving order. Remember all elements ever seen."
       # unique_everseen('AAAABBBCCDAABBB') → A B C D
       # unique_everseen('ABBcCAD', str.casefold) → A B c D
       seen = set()
       if key is None:
           for element in filterfalse(seen.__contains__, iterable):
               seen.add(element)
               yield element
       else:
           for element in iterable:
               k = key(element)
               if k not in seen:
                   seen.add(k)
                   yield element

   def sliding_window(iterable, n):
       "Collect data into overlapping fixed-length chunks or blocks."
       # sliding_window('ABCDEFG', 4) → ABCD BCDE CDEF DEFG
       it = iter(iterable)
       window = collections.deque(islice(it, n-1), maxlen=n)
       for x in it:
           window.append(x)
           yield tuple(window)

   def grouper(iterable, n, *, incomplete='fill', fillvalue=None):
       "Collect data into non-overlapping fixed-length chunks or blocks."
       # grouper('ABCDEFG', 3, fillvalue='x') → ABC DEF Gxx
       # grouper('ABCDEFG', 3, incomplete='strict') → ABC DEF ValueError
       # grouper('ABCDEFG', 3, incomplete='ignore') → ABC DEF
       iterators = [iter(iterable)] * n
       match incomplete:
           case 'fill':
               return zip_longest(*iterators, fillvalue=fillvalue)
           case 'strict':
               return zip(*iterators, strict=True)
           case 'ignore':
               return zip(*iterators)
           case _:
               raise ValueError('Expected fill, strict, or ignore')

   def roundrobin(*iterables):
       "Visit input iterables in a cycle until each is exhausted."
       # roundrobin('ABC', 'D', 'EF') → A D E B F C
       # Algorithm credited to George Sakkis
       iterators = map(iter, iterables)
       for num_active in range(len(iterables), 0, -1):
           iterators = cycle(islice(iterators, num_active))
           yield from map(next, iterators)

   def partition(predicate, iterable):
       """Partition entries into false entries and true entries.

       If *predicate* is slow, consider wrapping it with functools.lru_cache().
       """
       # partition(is_odd, range(10)) → 0 2 4 6 8   and  1 3 5 7 9
       t1, t2 = tee(iterable)
       return filterfalse(predicate, t1), filter(predicate, t2)

   def subslices(seq):
       "Return all contiguous non-empty subslices of a sequence."
       # subslices('ABCD') → A AB ABC ABCD B BC BCD C CD D
       slices = starmap(slice, combinations(range(len(seq) + 1), 2))
       return map(operator.getitem, repeat(seq), slices)

   def iter_index(iterable, value, start=0, stop=None):
       "Return indices where a value occurs in a sequence or iterable."
       # iter_index('AABCADEAF', 'A') → 0 1 4 7
       seq_index = getattr(iterable, 'index', None)
       if seq_index is None:
           # Path for general iterables
           it = islice(iterable, start, stop)
           for i, element in enumerate(it, start):
               if element is value or element == value:
                   yield i
       else:
           # Path for sequences with an index() method
           stop = len(iterable) if stop is None else stop
           i = start
           try:
               while True:
                   yield (i := seq_index(value, i, stop))
                   i += 1
           except ValueError:
               pass

   def iter_except(func, exception, first=None):
       """ Call a function repeatedly until an exception is raised.

       Converts a call-until-exception interface to an iterator interface.
       """
       # iter_except(d.popitem, KeyError) → non-blocking dictionary iterator
       try:
           if first is not None:
               yield first()
           while True:
               yield func()
       except exception:
           pass

The following recipes have a more mathematical flavor:

   def powerset(iterable):
       "powerset([1,2,3]) → () (1,) (2,) (3,) (1,2) (1,3) (2,3) (1,2,3)"
       s = list(iterable)
       return chain.from_iterable(combinations(s, r) for r in range(len(s)+1))

   def sum_of_squares(iterable):
       "Add up the squares of the input values."
       # sum_of_squares([10, 20, 30]) → 1400
       return math.sumprod(*tee(iterable))

   def reshape(matrix, cols):
       "Reshape a 2-D matrix to have a given number of columns."
       # reshape([(0, 1), (2, 3), (4, 5)], 3) →  (0, 1, 2), (3, 4, 5)
       return batched(chain.from_iterable(matrix), cols, strict=True)

   def transpose(matrix):
       "Swap the rows and columns of a 2-D matrix."
       # transpose([(1, 2, 3), (11, 22, 33)]) → (1, 11) (2, 22) (3, 33)
       return zip(*matrix, strict=True)

   def matmul(m1, m2):
       "Multiply two matrices."
       # matmul([(7, 5), (3, 5)], [(2, 5), (7, 9)]) → (49, 80), (41, 60)
       n = len(m2[0])
       return batched(starmap(math.sumprod, product(m1, transpose(m2))), n)

   def convolve(signal, kernel):
       """Discrete linear convolution of two iterables.
       Equivalent to polynomial multiplication.

       Convolutions are mathematically commutative; however, the inputs are
       evaluated differently.  The signal is consumed lazily and can be
       infinite. The kernel is fully consumed before the calculations begin.

       Article:  https://betterexplained.com/articles/intuitive-convolution/
       Video:    https://www.youtube.com/watch?v=KuXjwB4LzSA
       """
       # convolve([1, -1, -20], [1, -3]) → 1 -4 -17 60
       # convolve(data, [0.25, 0.25, 0.25, 0.25]) → Moving average (blur)
       # convolve(data, [1/2, 0, -1/2]) → 1st derivative estimate
       # convolve(data, [1, -2, 1]) → 2nd derivative estimate
       kernel = tuple(kernel)[::-1]
       n = len(kernel)
       padded_signal = chain(repeat(0, n-1), signal, repeat(0, n-1))
       windowed_signal = sliding_window(padded_signal, n)
       return map(math.sumprod, repeat(kernel), windowed_signal)

   def polynomial_from_roots(roots):
       """Compute a polynomial's coefficients from its roots.

          (x - 5) (x + 4) (x - 3)  expands to:   x³ -4x² -17x + 60
       """
       # polynomial_from_roots([5, -4, 3]) → [1, -4, -17, 60]
       factors = zip(repeat(1), map(operator.neg, roots))
       return list(functools.reduce(convolve, factors, [1]))

   def polynomial_eval(coefficients, x):
       """Evaluate a polynomial at a specific value.

       Computes with better numeric stability than Horner's method.
       """
       # Evaluate x³ -4x² -17x + 60 at x = 5
       # polynomial_eval([1, -4, -17, 60], x=5) → 0
       n = len(coefficients)
       if not n:
           return type(x)(0)
       powers = map(pow, repeat(x), reversed(range(n)))
       return math.sumprod(coefficients, powers)

   def polynomial_derivative(coefficients):
       """Compute the first derivative of a polynomial.

          f(x)  =  x³ -4x² -17x + 60
          f'(x) = 3x² -8x  -17
       """
       # polynomial_derivative([1, -4, -17, 60]) → [3, -8, -17]
       n = len(coefficients)
       powers = reversed(range(1, n))
       return list(map(operator.mul, coefficients, powers))

   def sieve(n):
       "Primes less than n."
       # sieve(30) → 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
       if n > 2:
           yield 2
       start = 3
       data = bytearray((0, 1)) * (n // 2)
       limit = math.isqrt(n) + 1
       for p in iter_index(data, 1, start, limit):
           yield from iter_index(data, 1, start, p*p)
           data[p*p : n : p+p] = bytes(len(range(p*p, n, p+p)))
           start = p*p
       yield from iter_index(data, 1, start)

   def factor(n):
       "Prime factors of n."
       # factor(99) → 3 3 11
       # factor(1_000_000_000_000_007) → 47 59 360620266859
       # factor(1_000_000_000_000_403) → 1000000000000403
       for prime in sieve(math.isqrt(n) + 1):
           while not n % prime:
               yield prime
               n //= prime
               if n == 1:
                   return
       if n > 1:
           yield n

   def totient(n):
       "Count of natural numbers up to n that are coprime to n."
       # https://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html
       # totient(12) → 4 because len([1, 5, 7, 11]) == 4
       for p in unique_justseen(factor(n)):
           n -= n // p
       return n
