"random" --- 疑似乱数を生成する
*******************************

**ソースコード:** Lib/random.py

======================================================================

このモジュールでは様々な分布をもつ擬似乱数生成器を実装しています。

整数用に、ある範囲からの一様な選択があります。シーケンス用には、シーケ
ンスからのランダムな要素の一様な選択、リストのランダムな置換をインプレ
ースに生成する関数、順列を置換せずにランダムサンプリングする関数があり
ます。

実数用としては、一様分布、正規分布 (ガウス分布)、対数正規分布、負の指
数分布、ガンマおよびベータ分布を計算する関数があります。角度の分布を生
成するにはフォン・ミーゼス分布が利用できます。

ほとんど全てのモジュール関数は、基礎となる関数 "random()" に依存します
。この関数はランダムな浮動小数点数を半開区間 "0.0 <= X < 1.0" 内に一様
に生成します。Python は中心となる乱数生成器としてメルセンヌツイスタを
使います。これは 53 ビット精度の浮動小数点を生成し、周期は 2**19937-1
です。本体は C で実装されていて、高速でスレッドセーフです。メルセンヌ
ツイスタは、現存する中で最も広範囲にテストされた乱数生成器のひとつです
。しかしながら、メルセンヌツイスタは完全に決定論的であるため、全ての目
的に合致しているわけではなく、暗号化の目的には全く向いていません。

このモジュールで提供されている関数は、実際には "random.Random" クラス
の隠蔽されたインスタンスのメソッドに束縛されています。内部状態を共有し
ない生成器を取得するため、自分で "Random" のインスタンスを生成すること
ができます。

Class "Random" can also be subclassed if you want to use a different
basic generator of your own devising: see the documentation on that
class for more details.

"random" モジュールは "SystemRandom" クラスも提供していて、このクラス
は OS が提供している乱数発生源を利用して乱数を生成するシステム関数
"os.urandom()" を使うものです。

警告:

  このモジュールの擬似乱数生成器をセキュリティ目的に使用してはいけませ
  ん。セキュリティや暗号学的な用途については "secrets" モジュールを参
  照してください。

参考:

  M. Matsumoto and T. Nishimura, "Mersenne Twister: A
  623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number
  generator", ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation
  Vol. 8, No. 1, January pp.3--30 1998.

  Complementary-Multiply-with-Carry recipe for a compatible
  alternative random number generator with a long period and
  comparatively simple update operations.


保守 (bookkeeping) 関数
=======================

random.seed(a=None, version=2)

   乱数生成器を初期化します。

   *a* が省略されるか "None" の場合、現在のシステム時刻が使用されます
   。乱数のソースがオペレーティングシステムによって提供される場合、シ
   ステム時刻の代わりにそれが使用されます (利用可能性についての詳細は
   "os.urandom()" 関数を参照)。

   *a* が int の場合、それが直接使われます。

   バージョン2 (デフォルト) では、 "str", "bytes", "bytearray" オブジ
   ェクトは "int" に変換され、そのビットがすべて使用されます。

   バージョン1 (Python の古いバージョンでの乱数列を再現するために提供
   される) では、 "str" と "bytes" に対して適用されるアルゴリズムは、
   より狭い範囲のシードを生成します。

   バージョン 3.2 で変更: 文字列シードのすべてのビットを使うバージョン
   2スキームに移行。

   バージョン 3.11 で変更: *seed* は次の型の内のいずれかでなければなり
   ません: "None"、"int"、"float"、"str"、"bytes"、"bytearray"。

random.getstate()

   乱数生成器の現在の内部状態を記憶したオブジェクトを返します。このオ
   ブジェクトを "setstate()" に渡して内部状態を復元することができます
   。

random.setstate(state)

   *state* は予め "getstate()" を呼び出して得ておかなくてはなりません
   。 "setstate()" は "getstate()" が呼び出された時の乱数生成器の内部
   状態を復元します。


バイト列用の関数
================

random.randbytes(n)

   *n* バイトのランダムなバイト列を生成します。

   セキュリティトークンを生成する目的で、このメソッドを使用しないでく
   ださい。代わりに "secrets.token_bytes()" を使用してください。

   Added in version 3.9.


整数用の関数
============

random.randrange(stop)
random.randrange(start, stop[, step])

   "range(start, stop, step)" の要素からランダムに選ばれた要素を返しま
   す。

   This is roughly equivalent to "choice(range(start, stop, step))"
   but supports arbitrarily large ranges and is optimized for common
   cases.

   位置引数のパターンは "range()" 関数の引数と一致します。

   Keyword arguments should not be used because they can be
   interpreted in unexpected ways. For example "randrange(start=100)"
   is interpreted as "randrange(0, 100, 1)".

   バージョン 3.2 で変更: 一様に分布した値の生成に関して "randrange()"
   がより洗練されました。以前は "int(random()*n)" のようなやや一様でな
   い分布を生成するスタイルを使用していました。

   バージョン 3.12 で変更: 整数以外の型の自動変換はサポートされなくな
   りました。"randrange(10.0)" や "randrange(Fraction(10, 1))" のよう
   な呼び出しは "TypeError" を送出します。

random.randint(a, b)

   "a <= N <= b" であるようなランダムな整数 *N* を返します。
   "randrange(a, b+1)" のエイリアスです。

random.getrandbits(k)

   *k* 桁の乱数ビットを持つ Python の整数を生成し、返します。このメソ
   ッドはメルセンヌツイスタ生成器で提供されており、その他の乱数生成器
   でもオプションの API として提供されている場合があります。
   "getrandbits()" が使用可能な場合、"randrange()" は任意の範囲の乱数
   を生成できるようになります。

   バージョン 3.9 で変更: *k* の値として 0 が許されるようになりました
   。


シーケンス用の関数
==================

random.choice(seq)

   空でないシーケンス *seq* からランダムに要素を返します。 *seq* が空
   のときは、 "IndexError" が送出されます。

random.choices(population, weights=None, *, cum_weights=None, k=1)

   *population* から重複ありで選んだ要素からなる大きさ *k* のリストを
   返します。*population* が空の場合 "IndexError" を送出します。

   *weights* シーケンスが与えられた場合、相対的な重みに基づいて要素が
   選ばれます。あるいは、*cum_weights* シーケンスが与えられた場合、累
   積的な重み ("itertools.accumulate()" を用いて計算されるかもしれませ
   ん) で要素が選ばれます。例えば、相対的な重み "[10, 5, 30, 5]" は累
   積的な重み "[10, 15, 45, 50]" と等価です。内部的には、相対的な重み
   は要素選択の前に累積的な重みに変換されるため、累積的な重みを渡すと
   手間を省けます。

   *weights* および *cum_weights* が与えられなかった場合、要素は同じ確
   率で選択されます。重みのシーケンスが与えられた場合、その長さは
   *population* シーケンスと同じでなければなりません。*weights* と
   *cum_weights* を同時に与えると "TypeError" が送出されます。

   *weights* や *cum_weights* には "random()" が返す "float" 値と相互
   に変換できるような、任意の数値型を使用できます (int、float、
   fraction を含みますが、decimal は除きます)。重みには非負で有限の値
   を指定することが規定されます。全ての重みが 0 の場合、例外
   "ValueError" が送出されます。

   For a given seed, the "choices()" function with equal weighting
   typically produces a different sequence than repeated calls to
   "choice()".  The algorithm used by "choices()" uses floating-point
   arithmetic for internal consistency and speed.  The algorithm used
   by "choice()" defaults to integer arithmetic with repeated
   selections to avoid small biases from round-off error.

   Added in version 3.6.

   バージョン 3.9 で変更: 全ての重みが 0 の場合、例外 "ValueError" を
   送出します。

random.shuffle(x)

   シーケンス *x* をインプレースにシャッフルします。

   イミュータブルなシーケンスをシャッフルしてシャッフルされたリストを
   新たに返すには、代わりに "sample(x, k=len(x))" を使用してください。

   たとえ "len(x)" が小さくても、*x* の並べ替えの総数 (訳注: 要素数の
   階乗) は大半の乱数生成器の周期よりもすぐに大きくなることに注意して
   ください。つまり、長いシーケンスの大半の並べ替えは決して生成されな
   いだろう、ということです。例えば、長さ 2080 のシーケンスがメルセン
   ヌツイスタ生成器の周期に収まる中で最大のものになります。

   バージョン 3.11 で変更: オプション引数 *random* が削除されました。

random.sample(population, k, *, counts=None)

   母集団のシーケンスから選ばれた長さ *k* の一意な要素からなるリストを
   返します。値の置換を行わないランダムサンプリングに用いられます。

   母集団自体を変更せずに、母集団内の要素を含む新たなリストを返します
   。返されたリストは選択された順に並んでいるので、このリストの部分ス
   ライスもランダムなサンプルになります。これにより、くじの当選者 (サ
   ンプル) を1等賞と2等賞（の部分スライス）に分けることも可能です。

   母集団の要素は *ハッシュ可能* でなくても、ユニークでなくてもかまい
   ません。母集団が繰り返しを含む場合、出現するそれぞれがサンプルに選
   択されえます。

   母集団に重複がある場合はその分だけ1つずつ指定するか、キーワード専用
   オプション引数 *counts* で指定することができます。例えば、
   "sample(['red', 'blue'], counts=[4, 2], k=5)" は "sample(['red',
   'red', 'red', 'red', 'blue', 'blue'], k=5)" と等価になります。

   ある範囲の整数からサンプルを取る場合、引数に "range()" オブジェクト
   を使用してください。大きな母集団の場合、これは特に速く、メモリ効率
   が良いです: "sample(range(10000000), k=60)"。

   サンプルの大きさが母集団の大きさより大きい場合 "ValueError" が送出
   されます。

   バージョン 3.9 で変更: *counts* 引数が追加されました。

   バージョン 3.11 で変更: The *population* must be a sequence.
   Automatic conversion of sets to lists is no longer supported.


Discrete distributions
======================

The following function generates a discrete distribution.

random.binomialvariate(n=1, p=0.5)

   Binomial distribution. Return the number of successes for *n*
   independent trials with the probability of success in each trial
   being *p*:

   Mathematically equivalent to:

      sum(random() < p for i in range(n))

   The number of trials *n* should be a non-negative integer. The
   probability of success *p* should be between "0.0 <= p <= 1.0". The
   result is an integer in the range "0 <= X <= n".

   Added in version 3.12.


実数分布
========

以下の関数は特定の実数値分布を生成します。関数の引数の名前は、一般的な
数学の慣例で使われている分布の公式の対応する変数から取られています; こ
れらの公式のほとんどはどんな統計学のテキストにも載っています。

random.random()

   Return the next random floating-point number in the range "0.0 <= X
   < 1.0"

random.uniform(a, b)

   Return a random floating-point number *N* such that "a <= N <= b"
   for "a <= b" and "b <= N <= a" for "b < a".

   The end-point value "b" may or may not be included in the range
   depending on floating-point rounding in the expression "a + (b-a) *
   random()".

random.triangular(low, high, mode)

   Return a random floating-point number *N* such that "low <= N <=
   high" and with the specified *mode* between those bounds.  The
   *low* and *high* bounds default to zero and one.  The *mode*
   argument defaults to the midpoint between the bounds, giving a
   symmetric distribution.

random.betavariate(alpha, beta)

   ベータ分布です。引数の満たすべき条件は "alpha > 0" および "beta >
   0" です。 0 から 1 の範囲の値を返します。

random.expovariate(lambd=1.0)

   指数分布です。*lambd* は平均にしたい値の逆数です。(この引数は
   "lambda" と呼ぶべきなのですが、Python の予約語なので使えません。)
   返す値の範囲は *lambd* が正なら 0 から正の無限大、*lambd* が負なら
   負の無限大から 0 です。

   バージョン 3.12 で変更: "lambd" にデフォルト値を追加しました。

random.gammavariate(alpha, beta)

   Gamma distribution.  (*Not* the gamma function!)  The shape and
   scale parameters, *alpha* and *beta*, must have positive values.
   (Calling conventions vary and some sources define 'beta' as the
   inverse of the scale).

   確率分布関数は:

                x ** (alpha - 1) * math.exp(-x / beta)
      pdf(x) =  --------------------------------------
                  math.gamma(alpha) * beta ** alpha

random.gauss(mu=0.0, sigma=1.0)

   正規分布、またはガウス分布と呼ばれます。 *mu* は平均であり、
   *sigma* は標準偏差です。この関数は後で定義する関数
   "normalvariate()" より少しだけ高速です。

   Multithreading note:  When two threads call this function
   simultaneously, it is possible that they will receive the same
   return value.  This can be avoided in three ways. 1) Have each
   thread use a different instance of the random number generator. 2)
   Put locks around all calls. 3) Use the slower, but thread-safe
   "normalvariate()" function instead.

   バージョン 3.11 で変更: *mu* と *sigma* にデフォルト値を追加しまし
   た。

random.lognormvariate(mu, sigma)

   対数正規分布です。この分布を自然対数を用いた分布にした場合、平均
   *mu* で標準偏差 *sigma* の正規分布になります。 *mu* は任意の値を取
   ることができ、*sigma* はゼロより大きくなければなりません。

random.normalvariate(mu=0.0, sigma=1.0)

   正規分布です。 *mu* は平均で、 *sigma* は標準偏差です。

   バージョン 3.11 で変更: *mu* と *sigma* にデフォルト値を追加しまし
   た。

random.vonmisesvariate(mu, kappa)

   *mu* は平均の角度で、0 から 2**pi* までのラジアンで表されます。
   *kappa* は濃度パラメータで、ゼロ以上でなければなりません。*kappa*
   がゼロに等しい場合、この分布は範囲 0 から 2**pi* の一様でランダムな
   角度の分布に退化します。

random.paretovariate(alpha)

   パレート分布です。 *alpha* は形状パラメータです。

random.weibullvariate(alpha, beta)

   ワイブル分布です。 *alpha* は尺度パラメタで、 *beta* は形状パラメー
   タです。


他の生成器
==========

class random.Random([seed])

   "random"  モジュールがデフォルトで使用する疑似乱数生成器を実装した
   クラスです。

   バージョン 3.11 で変更: Formerly the *seed* could be any hashable
   object.  Now it is limited to: "None", "int", "float", "str",
   "bytes", or "bytearray".

   Subclasses of "Random" should override the following methods if
   they wish to make use of a different basic generator:

   seed(a=None, version=2)

      Override this method in subclasses to customise the "seed()"
      behaviour of "Random" instances.

   getstate()

      Override this method in subclasses to customise the "getstate()"
      behaviour of "Random" instances.

   setstate(state)

      Override this method in subclasses to customise the "setstate()"
      behaviour of "Random" instances.

   random()

      Override this method in subclasses to customise the "random()"
      behaviour of "Random" instances.

   Optionally, a custom generator subclass can also supply the
   following method:

   getrandbits(k)

      Override this method in subclasses to customise the
      "getrandbits()" behaviour of "Random" instances.

class random.SystemRandom([seed])

   オペレーティングシステムの提供する発生源によって乱数を生成する
   "os.urandom()" 関数を使うクラスです。すべてのシステムで使えるメソッ
   ドではありません。ソフトウェアの状態に依存してはいけませんし、一連
   の操作は再現不能です。従って、 "seed()" メソッドは何の影響も及ぼさ
   ず、無視されます。 "getstate()" と "setstate()" メソッドが呼び出さ
   れると、例外 "NotImplementedError" が送出されます。


再現性について
==============

Sometimes it is useful to be able to reproduce the sequences given by
a pseudo-random number generator.  By reusing a seed value, the same
sequence should be reproducible from run to run as long as multiple
threads are not running.

random モジュールのアルゴリズムやシード処理関数のほとんどは、Python バ
ージョン間で変更される対象となりますが、次の二点は変更されないことが保
証されています:

* 新しいシード処理メソッドが追加されたら、後方互換なシード処理器が提供
  されます。

* 生成器の "random()" メソッドは、互換なシード処理器に同じシードが与え
  られた場合、引き続き同じシーケンスを生成します。


使用例
======

基礎的な例:

   >>> random()                          # Random float:  0.0 <= x < 1.0
   0.37444887175646646

   >>> uniform(2.5, 10.0)                # Random float:  2.5 <= x <= 10.0
   3.1800146073117523

   >>> expovariate(1 / 5)                # Interval between arrivals averaging 5 seconds
   5.148957571865031

   >>> randrange(10)                     # Integer from 0 to 9 inclusive
   7

   >>> randrange(0, 101, 2)              # Even integer from 0 to 100 inclusive
   26

   >>> choice(['win', 'lose', 'draw'])   # Single random element from a sequence
   'draw'

   >>> deck = 'ace two three four'.split()
   >>> shuffle(deck)                     # Shuffle a list
   >>> deck
   ['four', 'two', 'ace', 'three']

   >>> sample([10, 20, 30, 40, 50], k=4) # Four samples without replacement
   [40, 10, 50, 30]

シミュレーション:

   >>> # Six roulette wheel spins (weighted sampling with replacement)
   >>> choices(['red', 'black', 'green'], [18, 18, 2], k=6)
   ['red', 'green', 'black', 'black', 'red', 'black']

   >>> # Deal 20 cards without replacement from a deck
   >>> # of 52 playing cards, and determine the proportion of cards
   >>> # with a ten-value:  ten, jack, queen, or king.
   >>> deal = sample(['tens', 'low cards'], counts=[16, 36], k=20)
   >>> deal.count('tens') / 20
   0.15

   >>> # Estimate the probability of getting 5 or more heads from 7 spins
   >>> # of a biased coin that settles on heads 60% of the time.
   >>> sum(binomialvariate(n=7, p=0.6) >= 5 for i in range(10_000)) / 10_000
   0.4169

   >>> # Probability of the median of 5 samples being in middle two quartiles
   >>> def trial():
   ...     return 2_500 <= sorted(choices(range(10_000), k=5))[2] < 7_500
   ...
   >>> sum(trial() for i in range(10_000)) / 10_000
   0.7958

サンプルの平均の信頼区間を推定するのに、重複ありでリサンプリングして
>>`<<統計的ブートストラップ >>`<<_ を行う例:

   # https://www.thoughtco.com/example-of-bootstrapping-3126155
   from statistics import fmean as mean
   from random import choices

   data = [41, 50, 29, 37, 81, 30, 73, 63, 20, 35, 68, 22, 60, 31, 95]
   means = sorted(mean(choices(data, k=len(data))) for i in range(100))
   print(f'The sample mean of {mean(data):.1f} has a 90% confidence '
         f'interval from {means[5]:.1f} to {means[94]:.1f}')

薬と偽薬の間に観察された効果の違いについて、統計的有意性、すなわち p
値 を決定するために、リサンプリング順列試験 を行う例:

   # Example from "Statistics is Easy" by Dennis Shasha and Manda Wilson
   from statistics import fmean as mean
   from random import shuffle

   drug = [54, 73, 53, 70, 73, 68, 52, 65, 65]
   placebo = [54, 51, 58, 44, 55, 52, 42, 47, 58, 46]
   observed_diff = mean(drug) - mean(placebo)

   n = 10_000
   count = 0
   combined = drug + placebo
   for i in range(n):
       shuffle(combined)
       new_diff = mean(combined[:len(drug)]) - mean(combined[len(drug):])
       count += (new_diff >= observed_diff)

   print(f'{n} label reshufflings produced only {count} instances with a difference')
   print(f'at least as extreme as the observed difference of {observed_diff:.1f}.')
   print(f'The one-sided p-value of {count / n:.4f} leads us to reject the null')
   print(f'hypothesis that there is no difference between the drug and the placebo.')

マルチサーバーキューにおける到達時間とサービス提供のシミュレーション:

   from heapq import heapify, heapreplace
   from random import expovariate, gauss
   from statistics import mean, quantiles

   average_arrival_interval = 5.6
   average_service_time = 15.0
   stdev_service_time = 3.5
   num_servers = 3

   waits = []
   arrival_time = 0.0
   servers = [0.0] * num_servers  # time when each server becomes available
   heapify(servers)
   for i in range(1_000_000):
       arrival_time += expovariate(1.0 / average_arrival_interval)
       next_server_available = servers[0]
       wait = max(0.0, next_server_available - arrival_time)
       waits.append(wait)
       service_duration = max(0.0, gauss(average_service_time, stdev_service_time))
       service_completed = arrival_time + wait + service_duration
       heapreplace(servers, service_completed)

   print(f'Mean wait: {mean(waits):.1f}   Max wait: {max(waits):.1f}')
   print('Quartiles:', [round(q, 1) for q in quantiles(waits)])

参考:

  Statistics for Hackers Jake Vanderplas による統計解析のビデオ。シミ
  ュレーション、サンプリング、シャッフル、交差検定といった基本的な概念
  のみを用いています。

  Economics Simulation a simulation of a marketplace by Peter Norvig
  that shows effective use of many of the tools and distributions
  provided by this module (gauss, uniform, sample, betavariate,
  choice, triangular, and randrange).

  A Concrete Introduction to Probability (using Python) a tutorial by
  Peter Norvig covering the basics of probability theory, how to write
  simulations, and how to perform data analysis using Python.


レシピ
======

These recipes show how to efficiently make random selections from the
combinatoric iterators in the "itertools" module:

   def random_product(*args, repeat=1):
       "Random selection from itertools.product(*args, **kwds)"
       pools = [tuple(pool) for pool in args] * repeat
       return tuple(map(random.choice, pools))

   def random_permutation(iterable, r=None):
       "Random selection from itertools.permutations(iterable, r)"
       pool = tuple(iterable)
       r = len(pool) if r is None else r
       return tuple(random.sample(pool, r))

   def random_combination(iterable, r):
       "Random selection from itertools.combinations(iterable, r)"
       pool = tuple(iterable)
       n = len(pool)
       indices = sorted(random.sample(range(n), r))
       return tuple(pool[i] for i in indices)

   def random_combination_with_replacement(iterable, r):
       "Choose r elements with replacement.  Order the result to match the iterable."
       # Result will be in set(itertools.combinations_with_replacement(iterable, r)).
       pool = tuple(iterable)
       n = len(pool)
       indices = sorted(random.choices(range(n), k=r))
       return tuple(pool[i] for i in indices)

The default "random()" returns multiples of 2⁻⁵³ in the range *0.0 ≤ x
< 1.0*.  All such numbers are evenly spaced and are exactly
representable as Python floats.  However, many other representable
floats in that interval are not possible selections.  For example,
"0.05954861408025609" isn't an integer multiple of 2⁻⁵³.

The following recipe takes a different approach.  All floats in the
interval are possible selections.  The mantissa comes from a uniform
distribution of integers in the range *2⁵² ≤ mantissa < 2⁵³*.  The
exponent comes from a geometric distribution where exponents smaller
than *-53* occur half as often as the next larger exponent.

   from random import Random
   from math import ldexp

   class FullRandom(Random):

       def random(self):
           mantissa = 0x10_0000_0000_0000 | self.getrandbits(52)
           exponent = -53
           x = 0
           while not x:
               x = self.getrandbits(32)
               exponent += x.bit_length() - 32
           return ldexp(mantissa, exponent)

All real valued distributions in the class will use the new method:

   >>> fr = FullRandom()
   >>> fr.random()
   0.05954861408025609
   >>> fr.expovariate(0.25)
   8.87925541791544

The recipe is conceptually equivalent to an algorithm that chooses
from all the multiples of 2⁻¹⁰⁷⁴ in the range *0.0 ≤ x < 1.0*.  All
such numbers are evenly spaced, but most have to be rounded down to
the nearest representable Python float.  (The value 2⁻¹⁰⁷⁴ is the
smallest positive unnormalized float and is equal to "math.ulp(0.0)".)

参考:

  Generating Pseudo-random Floating-Point Values a paper by Allen B.
  Downey describing ways to generate more fine-grained floats than
  normally generated by "random()".
