cmath --- 複素数用の数学関数

このモジュールは、複素数を扱う数学関数へのアクセスを提供しています。 このモジュール中の関数は整数、浮動小数点数または複素数を引数にとります。 また、 __complex__() または __float__() どちらかのメソッドを提供している Python オブジェクトも受け付けます。 これらのメソッドはそのオブジェクトを複素数または浮動小数点数に変換するのにそれぞれ使われ、呼び出された関数はそうして変換された結果を利用します。

注釈

For functions involving branch cuts, we have the problem of deciding how to define those functions on the cut itself. Following Kahan's "Branch cuts for complex elementary functions" paper, as well as Annex G of C99 and later C standards, we use the sign of zero to distinguish one side of the branch cut from the other: for a branch cut along (a portion of) the real axis we look at the sign of the imaginary part, while for a branch cut along the imaginary axis we look at the sign of the real part.

For example, the cmath.sqrt() function has a branch cut along the negative real axis. An argument of complex(-2.0, -0.0) is treated as though it lies below the branch cut, and so gives a result on the negative imaginary axis:

>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
-1.4142135623730951j

But an argument of complex(-2.0, 0.0) is treated as though it lies above the branch cut:

>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
1.4142135623730951j

極座標変換

A Python complex number z is stored internally using rectangular or Cartesian coordinates. It is completely determined by its real part z.real and its imaginary part z.imag.

極座標 は複素数を表現する別の方法です。極座標では、複素数 z は半径 r と位相角 phi で定義されます。半径 r は z から原点までの距離です。位相 phi は x 軸の正の部分から原点と z を結んだ線分までの角度を反時計回りにラジアンで測った値です。

次の関数はネイティブの直交座標を極座標に変換したりその逆を行うのに使えます。

cmath.phase(x)

x の位相 (x の 偏角 とも呼びます) を浮動小数点数で返します。phase(x) は math.atan2(x.imag, x.real) と同等です。返り値は [-π, π] の範囲にあり、この演算の分枝切断は負の実軸に沿って延びています。結果の符号は x.imag がゼロであってさえ x.imag の符号と等しくなります:

>>> phase(complex(-1.0, 0.0))
3.141592653589793
>>> phase(complex(-1.0, -0.0))
-3.141592653589793

注釈

複素数 x のモジュラス (絶対値) は組み込みの abs() 関数で計算できます。この演算を行う cmath モジュールの関数はありません。

cmath.polar(x)

x の極座標表現を返します。x の半径 r と x の位相 phi の組 (r, phi) を返します。polar(x) は (abs(x), phase(x)) に等しいです。

cmath.rect(r, phi)

Return the complex number x with polar coordinates r and phi. Equivalent to complex(r * math.cos(phi), r * math.sin(phi)).

指数関数と対数関数

cmath.exp(x)

e を自然対数の底として、 e の x 乗を返します。

cmath.log(x[, base])

base を底とする x の対数を返します。もし base が指定されていない場合には、x の自然対数を返します。分枝切断を一つもち、0 から負の実数軸に沿って -∞ へと延びています。

cmath.log10(x)

x の底を 10 とする対数を返します。 log() と同じ分枝切断を持ちます。

cmath.sqrt(x)

x の平方根を返します。 log() と同じ分枝切断を持ちます。

三角関数

cmath.acos(x)

x の逆余弦を返します。この関数には二つの分枝切断 (branch cut) があります: 一つは 1 から右側に実数軸に沿って∞へと延びています。もう一つは -1 から左側に実数軸に沿って -∞へと延びています。

cmath.asin(x)

x の逆正弦を返します。 acos() と同じ分枝切断を持ちます。

cmath.atan(x)

x の逆正接を返します。二つの分枝切断があります: 一つは 1j から虚数軸に沿って ∞j へと延びています。もう一つは -1j から虚数軸に沿って -∞j へと延びています。

cmath.cos(x)

x の余弦を返します。

cmath.sin(x)

x の正弦を返します。

cmath.tan(x)

x の正接を返します。

双曲線関数

cmath.acosh(x)

x の逆双曲線余弦を返します。分枝切断が一つあり、1 の左側に実数軸に沿って -∞へと延びています。

cmath.asinh(x)

x の逆双曲線正弦を返します。二つの分枝切断があります: 一つは 1j から虚数軸に沿って ∞j へと延びています。もう一つは -1j から虚数軸に沿って -∞j へと延びています。

cmath.atanh(x)

x の逆双曲線正接を返します。二つの分枝切断があります: 一つは 1 から実数軸に沿って ∞ へと延びています。もう一つは -1 から実数軸に沿って -∞ へと延びています。

cmath.cosh(x)

x の双曲線余弦を返します。

cmath.sinh(x)

x の双曲線正弦を返します。

cmath.tanh(x)

x の双曲線正接を返します。

類別関数

cmath.isfinite(x)

x の実部、虚部ともに有限であれば True を返し、それ以外の場合 False を返します。

Added in version 3.2.

cmath.isinf(x)

x の実数部または虚数部が正または負の無限大であれば True を、そうでなければ False を返します。

cmath.isnan(x)

x の実部と虚部のどちらかが NaN のとき True を返し、それ以外の場合 False を返します。

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

値 a と b が互いに近い場合 True を、そうでない場合は False を返します。

Whether or not two values are considered close is determined according to given absolute and relative tolerances. If no errors occur, the result will be: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).

rel_tol is the relative tolerance -- it is the maximum allowed difference between a and b, relative to the larger absolute value of a or b. For example, to set a tolerance of 5%, pass rel_tol=0.05. The default tolerance is 1e-09, which assures that the two values are the same within about 9 decimal digits. rel_tol must be nonnegative and less than 1.0.

abs_tol is the absolute tolerance; it defaults to 0.0 and it must be nonnegative. When comparing x to 0.0, isclose(x, 0) is computed as abs(x) <= rel_tol  * abs(x), which is False for any x and rel_tol less than 1.0. So add an appropriate positive abs_tol argument to the call.

IEEE 754 特殊値 NaN、inf、-inf は IEEE の規則に従って処理されます。 具体的には、NaN は自身を含めたあらゆる値に近いとは見なされません。 inf と -inf は自身とのみ近いと見なされます。

Added in version 3.5.

参考

PEP 485 -- 近似的に等しいことを調べる関数

定数

cmath.pi

定数 π (円周率)で、浮動小数点数です。

cmath.e

定数 e (自然対数の底)で、浮動小数点数です。

cmath.tau

数学定数 τ で、浮動小数点数です。

Added in version 3.6.

cmath.inf

浮動小数点数の正の無限大です。float('inf') と等価です。

Added in version 3.6.

cmath.infj

実部がゼロ、虚部が正の無限大の複素数です。complex(0.0, float('inf')) と等価です。

Added in version 3.6.

cmath.nan

浮動小数点数の非数 "not a number" (NaN) です。float('nan') と等価です。

Added in version 3.6.

cmath.nanj

実部がゼロ、虚部が NaN の複素数です。complex(0.0, float('nan')) と等価です。

Added in version 3.6.

math と同じような関数が選ばれていますが、全く同じではないので注意してください。機能を二つのモジュールに分けているのは、複素数に興味がなかったり、もしかすると複素数とは何かすら知らないようなユーザがいるからです。そういった人たちはむしろ、 math.sqrt(-1) が複素数を返すよりも例外を送出してほしいと考えます。また、 cmath で定義されている関数は、たとえ結果が実数で表現可能な場合 (虚数部がゼロの複素数) でも、常に複素数を返すので注意してください。

分枝切断 (branch cut) に関する注釈: 分枝切断を持つ曲線上では、与えられた関数は連続ではなくなります。これらは多くの複素関数における必然的な特性です。複素関数を計算する必要がある場合、これらの分枝に関して理解しているものと仮定しています。悟りに至るために何らかの (到底基礎的とはいえない) 複素数に関する書をひもといてください。数値計算を目的とした分枝切断の正しい選択方法についての情報としては、以下がよい参考文献となります:

参考

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothings's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165--211.