"math" --- 数学関数
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このモジュールは、 C 標準で定義された数学関数へのアクセスを提供します
。

これらの関数で複素数を使うことはできません。複素数に対応する必要がある
ならば、 "cmath" モジュールにある同じ名前の関数を使ってください。ほと
んどのユーザーは複素数を理解するのに必要なだけの数学を勉強したくないの
で、複素数に対応した関数と対応していない関数の区別がされています。これ
らの関数では複素数が利用できないため、引数に複素数を渡されると、複素数
の結果が返るのではなく例外が発生します。その結果、どういった理由で例外
が送出されたかに早い段階で気づく事ができます。

このモジュールでは次の関数を提供しています。明示的な注記のない限り、戻
り値は全て浮動小数点数になります。


Number-theoretic and representation functions
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math.ceil(x)

   *x* の「天井」 (*x* 以上の最小の整数) を返します。 *x* が浮動小数点
   数でなければ、内部的に "x.__ceil__" が実行され、 "Integral" 値が返
   されます。

math.comb(n, k)

   *n* 個の中から *k* 個を重複無く順序をつけずに選ぶ方法の数を返します
   。

   "k <= n" のとき "n! / (k! * (n - k)!)" と評価し、"k > n" のとき 0
   と評価します。

   これは "(1 + x)ⁿ" の多項式展開における第 k 項の係数と等しいので、二
   項係数とも呼ばれます。

   いずれかの引数が整数でないなら "TypeError" を送出します。いずれかの
   引数が負であれば "ValueError" を送出します。

   Added in version 3.8.

math.copysign(x, y)

   *x* の大きさ (絶対値) で *y* と同じ符号の浮動小数点数を返します。符
   号付きのゼロをサポートしているプラットフォームでは、"copysign(1.0,
   -0.0)" は *-1.0* を返します。

math.fabs(x)

   *x* の絶対値を返します。

math.factorial(n)

   Return *n* factorial as an integer.  Raises "ValueError" if *n* is
   not integral or is negative.

   バージョン 3.9 で非推奨: Accepting floats with integral values
   (like "5.0") is deprecated.

math.floor(x)

   *x* の「床」 (*x* 以下の最大の整数) を返します。 *x* が浮動小数点数
   でなければ、内部的に "x.__floor__" が実行され、 "Integral" 値が返さ
   れます。

math.fmod(x, y)

   Return the floating-point remainder of "x / y", as defined by the
   platform C library function "fmod(x, y)". Note that the Python
   expression "x % y" may not return the same result.  The intent of
   the C standard is that "fmod(x, y)" be exactly (mathematically; to
   infinite precision) equal to "x - n*y" for some integer *n* such
   that the result has the same sign as *x* and magnitude less than
   "abs(y)".  Python's "x % y" returns a result with the sign of *y*
   instead, and may not be exactly computable for float arguments. For
   example, "fmod(-1e-100, 1e100)" is "-1e-100", but the result of
   Python's "-1e-100 % 1e100" is "1e100-1e-100", which cannot be
   represented exactly as a float, and rounds to the surprising
   "1e100".  For this reason, function "fmod()" is generally preferred
   when working with floats, while Python's "x % y" is preferred when
   working with integers.

math.frexp(x)

   *x* の仮数と指数を "(m, e)" のペアとして返します。*m* はfloat型で、
   *e* は厳密に "x == m * 2**e" であるような整数型です。*x* がゼロの場
   合は、"(0.0, 0)" を返し、それ以外の場合は、"0.5 <= abs(m) < 1" です
   。これは浮動小数点型の内部表現を可搬性を保ったまま "分解 (pick
   apart)" するために使われます。

math.fsum(iterable)

   Return an accurate floating-point sum of values in the iterable.
   Avoids loss of precision by tracking multiple intermediate partial
   sums.

   アルゴリズムの正確性は、 IEEE-754 演算の保証と、丸めモードが偶数丸
   め (half-even) である典型的な場合に依存します。Windows 以外のいくつ
   かのビルドでは、下層の C ライブラリが拡張精度の加算を行い、時々計算
   途中の和を double 型へ丸めてしまうため、最下位ビットが消失すること
   があります。

   For further discussion and two alternative approaches, see the ASPN
   cookbook recipes for accurate floating-point summation.

math.gcd(*integers)

   指定された整数引数の最大公約数を返します。0 でない引数があれば、返
   される値は全ての引数の約数である最大の正の整数です。全ての引数が 0
   なら、返される値は "0" です。引数の無い "gcd()" は "0" を返します。

   Added in version 3.5.

   バージョン 3.9 で変更: 任意の数の引数のサポートが追加されました。以
   前は、二つの引数のみがサポートされていました。

math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

   値 *a* と *b* が互いに近い場合 "True" を、そうでない場合は "False"
   を返します。

   Whether or not two values are considered close is determined
   according to given absolute and relative tolerances.  If no errors
   occur, the result will be: "abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a),
   abs(b)), abs_tol)".

   *rel_tol* is the relative tolerance -- it is the maximum allowed
   difference between *a* and *b*, relative to the larger absolute
   value of *a* or *b*. For example, to set a tolerance of 5%, pass
   "rel_tol=0.05".  The default tolerance is "1e-09", which assures
   that the two values are the same within about 9 decimal digits.
   *rel_tol* must be nonnegative and less than "1.0".

   *abs_tol* is the absolute tolerance; it defaults to "0.0" and it
   must be nonnegative.  When comparing "x" to "0.0", "isclose(x, 0)"
   is computed as "abs(x) <= rel_tol  * abs(x)", which is "False" for
   any nonzero "x" and *rel_tol* less than "1.0".  So add an
   appropriate positive *abs_tol* argument to the call.

   IEEE 754 特殊値 "NaN"、"inf"、"-inf" は IEEE の規則に従って処理され
   ます。 具体的には、"NaN" は自身を含めたあらゆる値に近いとは見なされ
   ません。 "inf" と "-inf" は自身とのみ近いと見なされます。

   Added in version 3.5.

   参考: **PEP 485** -- A function for testing approximate equality

math.isfinite(x)

   *x* が無限でも NaN でもない場合に "True" を返します。それ以外の時に
   は "False" を返します。 (注意: "0.0" は有限数と扱われます。)

   Added in version 3.2.

math.isinf(x)

   *x* が正ないし負の無限数ならば "True" を返します。それ以外の時には
   "False" を返します。

math.isnan(x)

   *x* がNaN (not a number、非数) の時に "True" を返します。それ以外の
   場合には "False" を返します。

math.isqrt(n)

   非負整数 *n* の整数平方根を返します。これは *n* の正確な平方根の床
   であり、 *a*² ≤ *n* を満たす最大の整数 *a* と等価です。

   少し応用すれば、*n* ≤ *a*² を満たす最小の整数 *a* 、言い換えれば
   *n* の正確な平方根の天井を効率的に得られます。正の *n* に対して、こ
   れは "a = 1 + isqrt(n - 1)" を使って計算できます。

   Added in version 3.8.

math.lcm(*integers)

   指定された整数引数の最小公倍数を返します。全ての引数が 0 でなければ
   、返される値は全ての引数の倍数である最小の正の整数です。引数に 0 が
   あれば、返される値は "0" です。引数の無い "lcm()" は "1" を返します
   。

   Added in version 3.9.

math.ldexp(x, i)

   "x * (2**i)" を返します。これは本質的に "frexp()" の逆関数です。

math.modf(x)

   *x* の小数部分と整数部分を返します。両方の結果は *x* の符号を受け継
   ぎます。整数部はfloat型で返されます。

math.nextafter(x, y, steps=1)

   Return the floating-point value *steps* steps after *x* towards
   *y*.

   If *x* is equal to *y*, return *y*, unless *steps* is zero.

   例:

   * "math.nextafter(x, math.inf)" goes up: towards positive infinity.

   * "math.nextafter(x, -math.inf)" goes down: towards minus infinity.

   * "math.nextafter(x, 0.0)" は 0 に近づきます。

   * "math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x))" は 0 から遠ざかり
     ます。

   "math.ulp()" を参照してください。

   Added in version 3.9.

   バージョン 3.12 で変更: Added the *steps* argument.

math.perm(n, k=None)

   *n* 個の中から *k* 個を重複無く順序をつけて選ぶ方法の数を返します。

   "k <= n" のとき "n! / (n - k)!" と評価し、"k > n" のとき 0 と評価し
   ます。

   If *k* is not specified or is "None", then *k* defaults to *n* and
   the function returns "n!".

   いずれかの引数が整数でないなら "TypeError" を送出します。いずれかの
   引数が負であれば "ValueError" を送出します。

   Added in version 3.8.

math.prod(iterable, *, start=1)

   入力 *iterable* の全ての要素の積を計算します。積のデフォルト
   *start* 値は "1" です。

   イテラブルが空のとき、初期値を返します。この関数は特に数値に使うこ
   とを意図されており、非数値を受け付けないことがあります。

   Added in version 3.8.

math.remainder(x, y)

   IEEE 754 標準方式の *x* を *y* で割った剰余を返します。 有限な *x*
   と有限な *y* では、分数 "x / y" の厳密な値に最も近い整数を "n" とし
   て、 "x - n*y" がこの返り値となります。 "x / y" が隣り合う 2 つの整
   数のちょうど真ん中だった場合は、最も近い *偶数* が "n" として使われ
   ます。 従って、剰余 "r = remainder(x, y)" は常に "abs(r) <= 0.5 *
   abs(y)" を満たします。

   特殊なケースについては IEEE 754 に従います: 任意の有限な *x* に対す
   る "remainder(x, math.inf)" 、および任意の非 NaN の *x* に対する
   "remainder(x, 0)" と "remainder(math.inf, x)" は "ValueError" を送
   出します。 剰余演算の結果がゼロの場合、そのゼロは *x* と同じ符号を
   持ちます。

   On platforms using IEEE 754 binary floating point, the result of
   this operation is always exactly representable: no rounding error
   is introduced.

   Added in version 3.7.

math.sumprod(p, q)

   Return the sum of products of values from two iterables *p* and
   *q*.

   Raises "ValueError" if the inputs do not have the same length.

   およそ次と等価です:

      sum(itertools.starmap(operator.mul, zip(p, q, strict=True)))

   For float and mixed int/float inputs, the intermediate products and
   sums are computed with extended precision.

   Added in version 3.12.

math.trunc(x)

   *x* の小数部を取り除き、残った整数部を返します。これは 0 に向かって
   丸められます: "trunc()" は正の *x* に対しては "floor()" に等しく、
   負の *x* に対しては "ceil()" に等しいです。*x* が浮動小数点数でなけ
   れば、内部的に "x.__trunc__" が実行され、 "Integral" 値が返されます
   。

math.ulp(x)

   浮動小数点数 *x* の最下位ビットの値を返します:

   * *x* が NaN (非数) なら、*x* を返します。

   * *x* が負なら、"ulp(-x)" を返します。

   * *x* が正の無限大なら、*x* を返します。

   * *x* が 0 に等しければ、(最小の正の *正規化* 浮動小数点数
     "sys.float_info.min" よりも小さい) 最小の正の表現可能な *非正規化
     * 浮動小数点数を返します。

   * *x* が表現可能な最大の正の浮動小数点数に等しいなら、*x* より小さ
     い最初の浮動小数点数が "x - ulp(x)" であるような、*x* の最下位ビ
     ットの値を返します。

   * それ以外 (*x* が正の有限な数) なら、*x* より大きい最初の浮動小数
     点数が "x + ulp(x)" であるような、*x* の最下位ビットの値を返しま
     す。

   ULP は "Unit in the Last Place" の略です。

   "math.nextafter()" および "sys.float_info.epsilon" も参照してくださ
   い。

   Added in version 3.9.

Note that "frexp()" and "modf()" have a different call/return pattern
than their C equivalents: they take a single argument and return a
pair of values, rather than returning their second return value
through an 'output parameter' (there is no such thing in Python).

"ceil()" 、 "floor()" 、および "modf()" 関数については、非常に大きな浮
動小数点数が *全て* 整数そのものになるということに注意してください。通
常、Python の浮動小数点型は 53 ビット以上の精度をもたない (プラットフ
ォームにおける C double 型と同じ) ので、結果的に "abs(x) >= 2**52" で
あるような浮動小数点型 *x* は小数部分を持たなくなるのです。


Power and logarithmic functions
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math.cbrt(x)

   *x* の立方根を返します。

   Added in version 3.11.

math.exp(x)

   *e* = 2.718281... を自然対数の底として、 *e* の *x* 乗を返します。
   この値は、通常は "math.e ** x" や "pow(math.e, x)" よりも精度が高い
   です。

math.exp2(x)

   *2* の *x* 乗を返します。

   Added in version 3.11.

math.expm1(x)

   Return *e* raised to the power *x*, minus 1.  Here *e* is the base
   of natural logarithms.  For small floats *x*, the subtraction in
   "exp(x) - 1" can result in a significant loss of precision; the
   "expm1()" function provides a way to compute this quantity to full
   precision:

   >>> from math import exp, expm1
   >>> exp(1e-5) - 1  # gives result accurate to 11 places
   1.0000050000069649e-05
   >>> expm1(1e-5)    # result accurate to full precision
   1.0000050000166668e-05

   Added in version 3.2.

math.log(x[, base])

   引数が1つの場合、*x* の (*e* を底とする)自然対数を返します。

   引数が2つの場合、"log(x)/log(base)" として求められる *base* を底と
   した *x* の対数を返します。

math.log1p(x)

   *1+x* の自然対数(つまり底 *e* の対数)を返します。結果はゼロに近い
   *x* に対して正確になるような方法で計算されます。

math.log2(x)

   2を底とする *x* の対数を返します。この関数は、一般に "log(x, 2)" よ
   りも正確な値を返します。

   Added in version 3.3.

   参考:

     "int.bit_length()" は、その整数を二進法で表すのに何ビット必要かを
     返す関数です。符号と先頭のゼロは無視されます。

math.log10(x)

   *x* の10を底とした対数(常用対数)を返します。この関数は通常、"log(x,
   10)" よりも高精度です。

math.pow(x, y)

   Return "x" raised to the power "y".  Exceptional cases follow the
   IEEE 754 standard as far as possible.  In particular, "pow(1.0, x)"
   and "pow(x, 0.0)" always return "1.0", even when "x" is a zero or a
   NaN.  If both "x" and "y" are finite, "x" is negative, and "y" is
   not an integer then "pow(x, y)" is undefined, and raises
   "ValueError".

   組み込みの "**" 演算子と違って、 "math.pow()" は両方の引数を
   "float" 型に変換します。正確な整数の冪乗を計算するには "**" もしく
   は組み込みの "pow()" 関数を使ってください。

   バージョン 3.11 で変更: IEEE 754 との一貫性のため、特殊な例である
   "pow(0.0, -inf)" および "pow(-0.0, -inf)" は "ValueError" を送出す
   る代わりに "inf" を返すように変更されました。

math.sqrt(x)

   *x* の平方根を返します。


三角関数
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math.acos(x)

   *x* の逆余弦を、ラジアンで返します。結果は "0" と "pi" の間です。

math.asin(x)

   *x* の逆正弦を、ラジアンで返します。結果は "-pi/2" と "pi/2" の間で
   す。

math.atan(x)

   *x* の逆正接を、ラジアンで返します。結果は "-pi/2" と "pi/2" の間で
   す。

math.atan2(y, x)

   "atan(y / x)" を、ラジアンで返します。戻り値は "-pi" から "pi" の間
   になります。この角度は、極座標平面において原点から "(x, y)" へのベ
   クトルが X 軸の正の方向となす角です。 "atan2()" のポイントは、両方
   の入力の符号が既知であるために、位相角の正しい象限を計算できること
   にあります。例えば、 "atan(1)" と "atan2(1, 1)" はいずれも "pi/4"
   ですが、 "atan2(-1, -1)" は "-3*pi/4" になります。

math.cos(x)

   *x* ラジアンの余弦を返します。

math.dist(p, q)

   それぞれ座標のシーケンス (またはイテラブル) として与えられる点 *p*
   と *q* の間のユークリッド距離を返します。二点の次元は同じでなければ
   なりません。

   およそ次と等価です:

      sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))

   Added in version 3.8.

math.hypot(*coordinates)

   ユークリッドノルム "sqrt(sum(x**2 for x in coordinates))" を返しま
   す。これは原点から座標で与えられる点までのベクトルの長さです。

   二次元の点 "(x, y)" では、これは直角三角形の斜辺をピタゴラスの定理
   "sqrt(x*x + y*y)" を用いて計算することと等価です。

   バージョン 3.8 で変更: n 次元の点のサポートが追加されました。以前は
   、二次元の場合しかサポートされていませんでした。

   バージョン 3.10 で変更: アルゴリズムの精度を改良し、最大の誤差が 1
   ulp (最終桁単位) 未満になりました。より一般的には、結果はほとんどの
   場合に 1/2 ulp 以内に正しく丸められます。

math.sin(x)

   *x* ラジアンの正弦を返します。

math.tan(x)

   *x* ラジアンの正接を返します。


角度変換
========

math.degrees(x)

   角 *x* をラジアンから度に変換します。

math.radians(x)

   角 *x* を度からラジアンに変換します。


双曲線関数
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Hyperbolic functions are analogs of trigonometric functions that are
based on hyperbolas instead of circles.

math.acosh(x)

   *x* の逆双曲線余弦を返します。

math.asinh(x)

   *x* の逆双曲線正弦を返します。

math.atanh(x)

   *x* の逆双曲線正接を返します。

math.cosh(x)

   *x* の双曲線余弦を返します。

math.sinh(x)

   *x* の双曲線正弦を返します。

math.tanh(x)

   *x* の双曲線正接を返します。


特殊関数
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math.erf(x)

   *x* の 誤差関数 を返します。

   The "erf()" function can be used to compute traditional statistical
   functions such as the cumulative standard normal distribution:

      def phi(x):
          'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
          return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

   Added in version 3.2.

math.erfc(x)

   *x* の相補誤差関数を返します。相補誤差関数 は "1.0 - erf(x)" と定義
   されます。この関数は、1からの引き算が 桁落ち をするような大きな *x*
   に対し使われます。

   Added in version 3.2.

math.gamma(x)

   *x* の ガンマ関数 を返します。

   Added in version 3.2.

math.lgamma(x)

   *x* のガンマ関数の絶対値の自然対数を返します。

   Added in version 3.2.


定数
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math.pi

   利用可能なだけの精度の数学定数 *π* = 3.141592... (円周率)。

math.e

   利用可能なだけの精度の数学定数 *e* = 2.718281... (自然対数の底)。

math.tau

   利用可能なだけの精度の数学定数 *τ* = 6.283185... です。 タウは 2*π*
   に等しい円定数で、円周と半径の比です。 タウについて学ぶには Vi Hart
   のビデオ Pi is (still) Wrong をチェックして、パイを二倍食べて Tau
   day を祝い始めましょう！

   Added in version 3.6.

math.inf

   浮動小数の正の無限大です。(負の無限大には "-math.inf" を使います。)
   "float('inf')" の出力と等価です。

   Added in version 3.5.

math.nan

   A floating-point "not a number" (NaN) value. Equivalent to the
   output of "float('nan')". Due to the requirements of the IEEE-754
   standard, "math.nan" and "float('nan')" are not considered to equal
   to any other numeric value, including themselves. To check whether
   a number is a NaN, use the "isnan()" function to test for NaNs
   instead of "is" or "==". Example:

   >>> import math
   >>> math.nan == math.nan
   False
   >>> float('nan') == float('nan')
   False
   >>> math.isnan(math.nan)
   True
   >>> math.isnan(float('nan'))
   True

   Added in version 3.5.

   バージョン 3.11 で変更: 常に利用出来るようになりました。

"math" モジュールは、ほとんどが実行プラットフォームにおける C 言語の数
学ライブラリ関数に対する薄いラッパでできています。 例外時の挙動は、適
切である限り C99 標準の Annex F に従います。 現在の実装では、
"sqrt(-1.0)" や "log(0.0)" といった (C99 Annex F で不正な演算やゼロ除
算を通知することが推奨されている) 不正な操作に対して "ValueError" を送
出し、(例えば "exp(1000.0)" のような) 演算結果がオーバーフローする場合
には "OverflowError" を送出します。 上記の関数群は、1つ以上の引数が
NaN であった場合を除いて NaN を返しません。 引数に NaN が与えられた場
合は、殆どの関数は NaN を返しますが、 (C99 Annex F に従って) 別の動作
をする場合があります。 例えば、 "pow(float('nan'), 0.0)" や
"hypot(float('nan'), float('inf'))" といった場合です。 訳注: 例外が発
生せずに結果が返ると、計算結果がおかしくなった原因が複素数を渡したため
だということに気づくのが遅れる可能性があります。

Python は signaling NaN と quiet NaN を区別せず、signaling NaN に対す
る挙動は未定義とされていることに注意してください。典型的な挙動は、全て
の NaN を quiet NaN として扱うことです。

参考:

  "cmath" モジュール
     これらの多くの関数の複素数版。
