"cmath" --- Mathematical functions for complex numbers
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このモジュールは、複素数を扱う数学関数へのアクセスを提供しています。
このモジュール中の関数は整数、浮動小数点数または複素数を引数にとります
。 また、 "__complex__()" または "__float__()" どちらかのメソッドを提
供している Python オブジェクトも受け付けます。 これらのメソッドはその
オブジェクトを複素数または浮動小数点数に変換するのにそれぞれ使われ、呼
び出された関数はそうして変換された結果を利用します。

注釈:

  For functions involving branch cuts, we have the problem of deciding
  how to define those functions on the cut itself. Following Kahan's
  "Branch cuts for complex elementary functions" paper, as well as
  Annex G of C99 and later C standards, we use the sign of zero to
  distinguish one side of the branch cut from the other: for a branch
  cut along (a portion of) the real axis we look at the sign of the
  imaginary part, while for a branch cut along the imaginary axis we
  look at the sign of the real part.For example, the "cmath.sqrt()"
  function has a branch cut along the negative real axis. An argument
  of "complex(-2.0, -0.0)" is treated as though it lies *below* the
  branch cut, and so gives a result on the negative imaginary axis:

     >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
     -1.4142135623730951j

  But an argument of "complex(-2.0, 0.0)" is treated as though it lies
  above the branch cut:

     >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
     1.4142135623730951j


極座標変換
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A Python complex number "z" is stored internally using *rectangular*
or *Cartesian* coordinates.  It is completely determined by its *real
part* "z.real" and its *imaginary part* "z.imag".  In other words:

   z == z.real + z.imag*1j

*極座標* は複素数を表現する別の方法です。極座標では、複素数 *z* は半径
*r* と位相角 *phi* で定義されます。半径 *r* は *z* から原点までの距離
です。位相 *phi* は x 軸の正の部分から原点と *z* を結んだ線分までの角
度を反時計回りにラジアンで測った値です。

次の関数はネイティブの直交座標を極座標に変換したりその逆を行うのに使え
ます。

cmath.phase(x)

   Return the phase of *x* (also known as the *argument* of *x*), as a
   float. "phase(x)" is equivalent to "math.atan2(x.imag, x.real)".
   The result lies in the range [-*π*, *π*], and the branch cut for
   this operation lies along the negative real axis.  The sign of the
   result is the same as the sign of "x.imag", even when "x.imag" is
   zero:

      >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
      3.141592653589793
      >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
      -3.141592653589793

注釈:

  The modulus (absolute value) of a complex number *x* can be computed
  using the built-in "abs()" function.  There is no separate "cmath"
  module function for this operation.

cmath.polar(x)

   Return the representation of *x* in polar coordinates.  Returns a
   pair "(r, phi)" where *r* is the modulus of *x* and phi is the
   phase of *x*.  "polar(x)" is equivalent to "(abs(x), phase(x))".

cmath.rect(r, phi)

   Return the complex number *x* with polar coordinates *r* and *phi*.
   Equivalent to "r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)".


指数関数と対数関数
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cmath.exp(x)

   Return *e* raised to the power *x*, where *e* is the base of
   natural logarithms.

cmath.log(x[, base])

   Returns the logarithm of *x* to the given *base*. If the *base* is
   not specified, returns the natural logarithm of *x*. There is one
   branch cut, from 0 along the negative real axis to -∞.

cmath.log10(x)

   Return the base-10 logarithm of *x*. This has the same branch cut
   as "log()".

cmath.sqrt(x)

   Return the square root of *x*. This has the same branch cut as
   "log()".


三角関数
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cmath.acos(x)

   Return the arc cosine of *x*. There are two branch cuts: One
   extends right from 1 along the real axis to ∞. The other extends
   left from -1 along the real axis to -∞.

cmath.asin(x)

   Return the arc sine of *x*. This has the same branch cuts as
   "acos()".

cmath.atan(x)

   Return the arc tangent of *x*. There are two branch cuts: One
   extends from "1j" along the imaginary axis to "∞j". The other
   extends from "-1j" along the imaginary axis to "-∞j".

cmath.cos(x)

   Return the cosine of *x*.

cmath.sin(x)

   Return the sine of *x*.

cmath.tan(x)

   Return the tangent of *x*.


双曲線関数
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cmath.acosh(x)

   Return the inverse hyperbolic cosine of *x*. There is one branch
   cut, extending left from 1 along the real axis to -∞.

cmath.asinh(x)

   Return the inverse hyperbolic sine of *x*. There are two branch
   cuts: One extends from "1j" along the imaginary axis to "∞j".  The
   other extends from "-1j" along the imaginary axis to "-∞j".

cmath.atanh(x)

   Return the inverse hyperbolic tangent of *x*. There are two branch
   cuts: One extends from "1" along the real axis to "∞". The other
   extends from "-1" along the real axis to "-∞".

cmath.cosh(x)

   Return the hyperbolic cosine of *x*.

cmath.sinh(x)

   Return the hyperbolic sine of *x*.

cmath.tanh(x)

   Return the hyperbolic tangent of *x*.


類別関数
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cmath.isfinite(x)

   Return "True" if both the real and imaginary parts of *x* are
   finite, and "False" otherwise.

   バージョン 3.2 で追加.

cmath.isinf(x)

   Return "True" if either the real or the imaginary part of *x* is an
   infinity, and "False" otherwise.

cmath.isnan(x)

   Return "True" if either the real or the imaginary part of *x* is a
   NaN, and "False" otherwise.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

   値 *a* と *b* が互いに近い場合 "True" を、そうでない場合は "False"
   を返します。

   Whether or not two values are considered close is determined
   according to given absolute and relative tolerances.

   *rel_tol* is the relative tolerance -- it is the maximum allowed
   difference between *a* and *b*, relative to the larger absolute
   value of *a* or *b*. For example, to set a tolerance of 5%, pass
   "rel_tol=0.05".  The default tolerance is "1e-09", which assures
   that the two values are the same within about 9 decimal digits.
   *rel_tol* must be greater than zero.

   *abs_tol* is the minimum absolute tolerance -- useful for
   comparisons near zero. *abs_tol* must be at least zero.

   If no errors occur, the result will be: "abs(a-b) <= max(rel_tol *
   max(abs(a), abs(b)), abs_tol)".

   IEEE 754 特殊値 "NaN"、"inf"、"-inf" は IEEE の規則に従って処理され
   ます。 具体的には、"NaN" は自身を含めたあらゆる値に近いとは見なされ
   ません。 "inf" と "-inf" は自身とのみ近いと見なされます。

   バージョン 3.5 で追加.

   参考: **PEP 485** -- A function for testing approximate equality


定数
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cmath.pi

   定数 *π* (円周率)で、浮動小数点数です。

cmath.e

   定数 *e* (自然対数の底)で、浮動小数点数です。

cmath.tau

   数学定数 *τ* で、浮動小数点数です。

   バージョン 3.6 で追加.

cmath.inf

   浮動小数点数の正の無限大です。"float('inf')" と等価です。

   バージョン 3.6 で追加.

cmath.infj

   実部がゼロ、虚部が正の無限大の複素数です。"complex(0.0,
   float('inf'))" と等価です。

   バージョン 3.6 で追加.

cmath.nan

   浮動小数点数の非数 "not a number" (NaN) です。"float('nan')" と等価
   です。

   バージョン 3.6 で追加.

cmath.nanj

   実部がゼロ、虚部が NaN の複素数です。"complex(0.0, float('nan'))"
   と等価です。

   バージョン 3.6 で追加.

"math" と同じような関数が選ばれていますが、全く同じではないので注意し
てください。機能を二つのモジュールに分けているのは、複素数に興味がなか
ったり、もしかすると複素数とは何かすら知らないようなユーザがいるからで
す。そういった人たちはむしろ、 "math.sqrt(-1)" が複素数を返すよりも例
外を送出してほしいと考えます。また、 "cmath" で定義されている関数は、
たとえ結果が実数で表現可能な場合 (虚数部がゼロの複素数) でも、常に複素
数を返すので注意してください。

分枝切断 (branch cut) に関する注釈: 分枝切断を持つ曲線上では、与えられ
た関数は連続ではなくなります。これらは多くの複素関数における必然的な特
性です。複素関数を計算する必要がある場合、これらの分枝に関して理解して
いるものと仮定しています。悟りに至るために何らかの (到底基礎的とはいえ
ない) 複素数に関する書をひもといてください。数値計算を目的とした分枝切
断の正しい選択方法についての情報としては、以下がよい参考文献となります
:

参考:

  Kahan, W:  Branch cuts for complex elementary functions; or, Much
  ado about nothings's sign bit.  In Iserles, A., and Powell, M.
  (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press
  (1987) pp165--211.
