15. Floating Point Arithmetic:  Issues and Limitations
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Floating-point numbers are represented in computer hardware as base 2
(binary) fractions.  For example, the **decimal** fraction "0.125" has
value 1/10 + 2/100 + 5/1000, and in the same way the **binary**
fraction "0.001" has value 0/2 + 0/4 + 1/8. These two fractions have
identical values, the only real difference being that the first is
written in base 10 fractional notation, and the second in base 2.

残念なことに、ほとんどの小数は 2 進法の分数として正確に表わすことがで
きません。その結果、一般に、入力した 10 進の浮動小数点数は、 2 進法の
浮動小数点数で近似された後、実際にマシンに記憶されます。

最初は基数 10 を使うと問題を簡単に理解できます。分数 1/3 を考えてみま
しょう。分数 1/3 は、基数 10 の分数として、以下のように近似することが
できます:

   0.3

さらに正確な近似は、

   0.33

さらに正確な近似は、

   0.333

となり、以後同様です。何個桁数を増やして書こうが、結果は決して厳密な
1/3 にはなりません。しかし、少しづつ正確な近似にはなっていくでしょう。

同様に、基数を 2 とした表現で何桁使おうとも、10 進数の 0.1 は基数を 2
とした小数で正確に表現することはできません。基数 2 では、1/10 は循環小
数 (repeating fraction) となります

   0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

どこか有限の桁で止めると、近似値を得ることになります。近年の殆どのコン
ピュータでは float 型は、最上位ビットから数えて最初の 53 ビットを分子
、2 の冪乗を分母とした、二進小数で近似されます。1/10 の場合は、二進小
数は "3602879701896397 / 2 ** 55" となります。これは、1/10 に近いです
が、厳密に同じ値ではありません。

Many users are not aware of the approximation because of the way
values are displayed.  Python only prints a decimal approximation to
the true decimal value of the binary approximation stored by the
machine.  On most machines, if Python were to print the true decimal
value of the binary approximation stored for 0.1, it would have to
display

   >>> 0.1
   0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

That is more digits than most people find useful, so Python keeps the
number of digits manageable by displaying a rounded value instead

   >>> 1 / 10
   0.1

表示された結果が正確に 1/10 であるように見えたとしても、実際に格納され
ている値は最も近く表現できる二進小数であるということだけは覚えておいて
ください。

幾つかの異なる10進数の値が、同じ2進有理数の近似値を共有しています。例
えば、"0.1" と "0.10000000000000001" と
"0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625" はどれも
"3602879701896397 / 2 ** 55" に近似されます。同じ近似値を共有している
ので、どの10進数の値も "eval(repr(x)) == x" という条件を満たしたまま同
じように表示されます。

昔の Python は、プロンプトと "repr()" ビルトイン関数は 17 桁の有効数字
を持つ "0.10000000000000001" のような10進数の値を選んで表示していまし
た。 Python 3.1 からは、ほとんどの場面で "0.1" のような最も短い桁数の
10進数の値を選ぶようになりました。

Note that this is in the very nature of binary floating-point: this is
not a bug in Python, and it is not a bug in your code either.  You'll
see the same kind of thing in all languages that support your
hardware's floating-point arithmetic (although some languages may not
*display* the difference by default, or in all output modes).

For more pleasant output, you may wish to use string formatting to
produce a limited number of significant digits:

   >>> format(math.pi, '.12g')  # give 12 significant digits
   '3.14159265359'

   >>> format(math.pi, '.2f')   # give 2 digits after the point
   '3.14'

   >>> repr(math.pi)
   '3.141592653589793'

これが、実際のコンピューター上の値の *表示* を丸めているだけの、いわば
錯覚だということを認識しておいてください。

One illusion may beget another.  For example, since 0.1 is not exactly
1/10, summing three values of 0.1 may not yield exactly 0.3, either:

   >>> .1 + .1 + .1 == .3
   False

Also, since the 0.1 cannot get any closer to the exact value of 1/10
and 0.3 cannot get any closer to the exact value of 3/10, then pre-
rounding with "round()" function cannot help:

   >>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
   False

Though the numbers cannot be made closer to their intended exact
values, the "round()" function can be useful for post-rounding so that
results with inexact values become comparable to one another:

   >>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
   True

Binary floating-point arithmetic holds many surprises like this.  The
problem with "0.1" is explained in precise detail below, in the
"Representation Error" section.  See Examples of Floating Point
Problems for a pleasant summary of how binary floating-point works and
the kinds of problems commonly encountered in practice.  Also see The
Perils of Floating Point for a more complete account of other common
surprises.

As that says near the end, "there are no easy answers."  Still, don't
be unduly wary of floating-point!  The errors in Python float
operations are inherited from the floating-point hardware, and on most
machines are on the order of no more than 1 part in 2**53 per
operation.  That's more than adequate for most tasks, but you do need
to keep in mind that it's not decimal arithmetic and that every float
operation can suffer a new rounding error.

異常なケースが存在する一方で、普段の浮動小数点演算の利用では、単に最終
的な結果の値を必要な 10 進の桁数に丸めて表示するのなら、最終的には期待
通りの結果を得ることになるでしょう。たいては "str()" で十分ですが、き
め細かな制御をしたければ、 書式指定文字列の文法 にある "str.format()"
メソッドのフォーマット仕様を参照してください。

正確な10進数表現が必要となるような場合には、 "decimal" モジュールを利
用してみてください。このモジュールは会計アプリケーションや高精度の計算
が求められるアプリケーションに適した、10進数の計算を実装しています。

別の正確な計算方法として、 "fractions" モジュールが有理数に基づく計算
を実装しています (1/3 のような数を正確に表すことができます)。

あなたが浮動小数点演算のヘビーユーザーなら、SciPy プロジェクトが提供し
ている NumPy パッケージやその他の数学用パッケージを調べてみるべきです
。 <https://scipy.org> を参照してください。

Python provides tools that may help on those rare occasions when you
really *do* want to know the exact value of a float.  The
"float.as_integer_ratio()" method expresses the value of a float as a
fraction:

   >>> x = 3.14159
   >>> x.as_integer_ratio()
   (3537115888337719, 1125899906842624)

Since the ratio is exact, it can be used to losslessly recreate the
original value:

   >>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
   True

The "float.hex()" method expresses a float in hexadecimal (base 16),
again giving the exact value stored by your computer:

   >>> x.hex()
   '0x1.921f9f01b866ep+1'

This precise hexadecimal representation can be used to reconstruct the
float value exactly:

   >>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
   True

この16進数表現は正確なので、値を (プラットフォームにも依存せず) バージ
ョンの異なるPython 間でやり取りしたり、他のこのフォーマットをサポート
した言語 (Java や C99 など) と正確にやり取りするのに利用することができ
ます。

Another helpful tool is the "math.fsum()" function which helps
mitigate loss-of-precision during summation.  It tracks "lost digits"
as values are added onto a running total.  That can make a difference
in overall accuracy so that the errors do not accumulate to the point
where they affect the final total:

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True


15.1. 表現エラー
================

この章では、"0.1" の例について詳細に説明し、このようなケースに対してど
のようにすれば正確な分析を自分で行えるかを示します。ここでは、 2 進法
表現の浮動小数点数についての基礎的な知識があるものとして話を進めます。

表現エラー(*Representation error*)は、いくつかの (実際にはほとんどの)
10 進の小数が 2 進法 (基数 2)の分数として表現できないという事実に関係
しています。これは Python (あるいは Perl, C, C++, Java, Fortran. およ
びその他多く) が期待通りの正確な 10 進数を表示できない主要な理由です。

なぜそうなるのでしょう？ 1/10 は２進法の小数で厳密に表現できません。少
なくとも2000年以降、ほぼすべてのマシンは IEEE 754 2進数の浮動小数点演
算を用いており、ほぼすべてのプラットフォームでは Python の浮動小数点を
IEEE 754 binary64 "倍精度 (double precision)" 値に対応付けます。 IEEE
754 binary64 値は 53 ビットの精度を持つため、計算機に入力を行おうとす
ると、可能な限り 0.1 を最も近い値の分数に変換し、*J*/2***N* の形式にし
ようと努力します。*J* はちょうど 53 ビットの精度の整数です。

   1 / 10 ~= J / (2**N)

を書き直すと

   J ~= 2**N / 10

and recalling that *J* has exactly 53 bits (is ">= 2**52" but "<
2**53"), the best value for *N* is 56:

   >>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
   True

That is, 56 is the only value for *N* that leaves *J* with exactly 53
bits.  The best possible value for *J* is then that quotient rounded:

   >>> q, r = divmod(2**56, 10)
   >>> r
   6

Since the remainder is more than half of 10, the best approximation is
obtained by rounding up:

   >>> q+1
   7205759403792794

従って、IEEE 754の倍精度における 1/10 の取りえる最良の近似は:

   7205759403792794 / 2 ** 56

分子と分母を2で割って分数を小さくします:

   3602879701896397 / 2 ** 55

丸めたときに切り上げたので、この値は実際には 1/10 より少し大きいことに
注目してください。 もし切り捨てをした場合は、商は 1/10 よりもわずかに
小さくなります。どちらにしろ *厳密な* 1/10 ではありません！

つまり、計算機は 1/10 を "理解する" ことは決してありません。計算機が理
解できるのは、上記のような厳密な分数であり、IEEE 754 の倍精度浮動小数
点数で得られるもっともよい近似は以下になります:

>>> 0.1 * 2 ** 55
3602879701896397.0

If we multiply that fraction by 10**55, we can see the value out to 55
decimal digits:

   >>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
   1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

meaning that the exact number stored in the computer is equal to the
decimal value
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625. Instead of
displaying the full decimal value, many languages (including older
versions of Python), round the result to 17 significant digits:

   >>> format(0.1, '.17f')
   '0.10000000000000001'

The "fractions" and "decimal" modules make these calculations easy:

   >>> from decimal import Decimal
   >>> from fractions import Fraction

   >>> Fraction.from_float(0.1)
   Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> (0.1).as_integer_ratio()
   (3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> Decimal.from_float(0.1)
   Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

   >>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
   '0.10000000000000001'
