"random" --- 擬似乱数を生成する
*******************************

**ソースコード:** Lib/random.py

======================================================================

このモジュールでは様々な分布をもつ擬似乱数生成器を実装しています。

整数用に、ある範囲からの一様な選択があります。シーケンス用には、シーケ
ンスからのランダムな要素の一様な選択、リストのランダムな置換をインプレ
ースに生成する関数、順列を置換せずにランダムサンプリングする関数があり
ます。

実数用としては、一様分布、正規分布 (ガウス分布)、対数正規分布、負の指
数分布、ガンマおよびベータ分布を計算する関数があります。角度の分布を生
成するにはフォン・ミーゼス分布が利用できます。

ほとんど全てのモジュール関数は、基礎となる関数 "random()" に依存します
。この関数はランダムな浮動小数点数を半開区間 [0.0, 1.0) 内に一様に生成
します。Python は中心となる乱数生成器としてメルセンヌツイスタを使いま
す。これは 53 ビット精度の浮動小数点を生成し、周期は 2**19937-1 です。
本体は C で実装されていて、高速でスレッドセーフです。メルセンヌツイス
タは、現存する中で最も広範囲にテストされた乱数生成器のひとつです。しか
しながら、メルセンヌツイスタは完全に決定論的であるため、全ての目的に合
致しているわけではなく、暗号化の目的には全く向いていません。

このモジュールで提供されている関数は、実際には "random.Random" クラス
の隠蔽されたインスタンスのメソッドに束縛されています。内部状態を共有し
ない生成器を取得するため、自分で "Random" のインスタンスを生成すること
ができます。

自分で考案した基本乱数生成器を使いたい場合、クラス "Random" をサブクラ
ス化することもできます。この場合、メソッド "random()"、"seed()"、
"getstate()"、"setstate()" をオーバライドしてください。オプションとし
て、新しいジェネレータは "getrandbits()" メソッドを提供することができ
ます。これにより "randrange()" メソッドが任意に大きな範囲から選択を行
えるようになります。

"random" モジュールは "SystemRandom" クラスも提供していて、このクラス
は OS が提供している乱数発生源を利用して乱数を生成するシステム関数
"os.urandom()" を使うものです。

警告:

  このモジュールの擬似乱数生成器をセキュリティ目的に使用してはいけませ
  ん。セキュリティや暗号学的な用途については "secrets" モジュールを参
  照してください。

参考:

  M. Matsumoto and T. Nishimura, "Mersenne Twister: A
  623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number
  generator", ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation
  Vol. 8, No. 1, January pp.3--30 1998.

  Complementary-Multiply-with-Carry recipe  長い周期と比較的シンプルな
  更新操作を備えた互換性のある別の乱数生成器。


保守 (bookkeeping) 関数
=======================

random.seed(a=None, version=2)

   乱数生成器を初期化します。

   *a* が省略されるか "None" の場合、現在のシステム時刻が使用されます
   。乱数のソースがオペレーティングシステムによって提供される場合、シ
   ステム時刻の代わりにそれが使用されます (利用可能性についての詳細は
   "os.urandom()" 関数を参照)。

   *a* が int の場合、それが直接使われます。

   バージョン2 (デフォルト) では、 "str", "bytes", "bytearray" オブジ
   ェクトは "int" に変換され、そのビットがすべて使用されます。

   バージョン1 (Python の古いバージョンでの乱数列を再現するために提供
   される) では、 "str" と "bytes" に対して適用されるアルゴリズムは、
   より狭い範囲のシードを生成します。

   バージョン 3.2 で変更: 文字列シードのすべてのビットを使うバージョン
   2スキームに移行。

   バージョン 3.9 で非推奨: 将来、*seed* に与えられる値の型は以下のも
   のに限られます: *NoneType*, "int", "float", "str", "bytes", または
   "bytearray"。

random.getstate()

   乱数生成器の現在の内部状態を記憶したオブジェクトを返します。このオ
   ブジェクトを "setstate()" に渡して内部状態を復元することができます
   。

random.setstate(state)

   *state* は予め "getstate()" を呼び出して得ておかなくてはなりません
   。 "setstate()" は "getstate()" が呼び出された時の乱数生成器の内部
   状態を復元します。


バイト列用の関数
================

random.randbytes(n)

   *n* バイトのランダムなバイト列を生成します。

   セキュリティトークンを生成する目的で、このメソッドを使用しないでく
   ださい。代わりに "secrets.token_bytes()" を使用してください。

   バージョン 3.9 で追加.


整数用の関数
============

random.randrange(stop)
random.randrange(start, stop[, step])

   "range(start, stop, step)" の要素からランダムに選ばれた要素を返しま
   す。この関数は "choice(range(start, stop, step))" と等価ですが、実
   際には range オブジェクトを生成しません。

   位置引数のパターンは "range()" のそれと一致します。キーワード引数は
   、この関数に望まれない方法で使われるかもしれないので、使うべきでは
   ありません。

   バージョン 3.2 で変更: 一様に分布した値の生成に関して "randrange()"
   がより洗練されました。以前は "int(random()*n)" のようなやや一様でな
   い分布を生成するスタイルを使用していました。

   バージョン 3.10 で非推奨: 非整数型を同じ値の整数型に自動で変換する
   ことは非推奨です。現在 "randrange(10.0)" は値を変えずに
   "randrange(10)" に変換されますが、将来的には "TypeError" を送出する
   よう変更されます。

   バージョン 3.10 で非推奨: 値が整数でない場合 ( "randrange(10.5)" や
   "randrange('10')" などの場合 ) に送出される例外は "ValueError" から
   "TypeError" に変更されます。

random.randint(a, b)

   "a <= N <= b" であるようなランダムな整数 *N* を返します。
   "randrange(a, b+1)" のエイリアスです。

random.getrandbits(k)

   *k* 桁の乱数ビットを持つ Python の整数を生成し、返します。このメソ
   ッドはメルセンヌツイスタ生成器で提供されており、その他の乱数生成器
   でもオプションの API として提供されている場合があります。
   "getrandbits()" が使用可能な場合、"randrange()" は任意の範囲の乱数
   を生成できるようになります。

   バージョン 3.9 で変更: *k* の値として 0 が許されるようになりました
   。


シーケンス用の関数
==================

random.choice(seq)

   空でないシーケンス *seq* からランダムに要素を返します。 *seq* が空
   のときは、 "IndexError" が送出されます。

random.choices(population, weights=None, *, cum_weights=None, k=1)

   *population* から重複ありで選んだ要素からなる大きさ *k* のリストを
   返します。*population* が空の場合 "IndexError" を送出します。

   *weights* シーケンスが与えられた場合、相対的な重みに基づいて要素が
   選ばれます。あるいは、*cum_weights* シーケンスが与えられた場合、累
   積的な重み ("itertools.accumulate()" を用いて計算されるかもしれませ
   ん) で要素が選ばれます。例えば、相対的な重み "[10, 5, 30, 5]" は累
   積的な重み "[10, 15, 45, 50]" と等価です。内部的には、相対的な重み
   は要素選択の前に累積的な重みに変換されるため、累積的な重みを渡すと
   手間を省けます。

   *weights* および *cum_weights* が与えられなかった場合、要素は同じ確
   率で選択されます。重みのシーケンスが与えられた場合、その長さは
   *population* シーケンスと同じでなければなりません。*weights* と
   *cum_weights* を同時に与えると "TypeError" が送出されます。

   *weights* や *cum_weights* には "random()" が返す "float" 値と相互
   に変換できるような、任意の数値型を使用できます (int、float、
   fraction を含みますが、decimal は除きます)。重みには非負で有限の値
   を指定することが規定されます。全ての重みが 0 の場合、例外
   "ValueError" が送出されます。

   与えられた種に対して、同じ重みを持つ "choices()" 関数は、一般に
   "choice()" を繰り返し呼び出す場合とは異なるシーケンスを生成します。
   "choices()" で使用されるアルゴリズムは、内部の一貫性とスピードのた
   めに浮動小数点演算を使用します。 "choice()" で使われるアルゴリズム
   は、丸め誤差による小さな偏りを避けるために、デフォルトでは選択を繰
   り返す整数演算になっています。

   バージョン 3.6 で追加.

   バージョン 3.9 で変更: 全ての重みが 0 の場合、例外 "ValueError" を
   送出します。

random.shuffle(x[, random])

   シーケンス *x* をインプレースにシャッフルします。

   オプション引数 *random* は [0.0, 1.0) の範囲のランダムな浮動小数を
   返す引数なしの関数です。デフォルトでは "random()" 関数です。

   イミュータブルなシーケンスをシャッフルしてシャッフルされたリストを
   新たに返すには、代わりに "sample(x, k=len(x))" を使用してください。

   たとえ "len(x)" が小さくても、*x* の並べ替えの総数 (訳注: 要素数の
   階乗) は大半の乱数生成器の周期よりもすぐに大きくなることに注意して
   ください。つまり、長いシーケンスの大半の並べ替えは決して生成されな
   いだろう、ということです。例えば、長さ 2080 のシーケンスがメルセン
   ヌツイスタ生成器の周期に収まる中で最大のものになります。

   Deprecated since version 3.9, will be removed in version 3.11: オプ
   ション引数 *random*。

random.sample(population, k, *, counts=None)

   母集団のシーケンスまたは集合から選ばれた長さ *k* の一意な要素からな
   るリストを返します。重複無しのランダムサンプリングに用いられます。

   母集団自体を変更せずに、母集団内の要素を含む新たなリストを返します
   。返されたリストは選択された順に並んでいるので、このリストの部分ス
   ライスもランダムなサンプルになります。これにより、くじの当選者 (サ
   ンプル) を1等賞と2等賞（の部分スライス）に分けることも可能です。

   母集団の要素は *ハッシュ可能* でなくても、ユニークでなくてもかまい
   ません。母集団が繰り返しを含む場合、出現するそれぞれがサンプルに選
   択されえます。

   母集団に重複がある場合はその分だけ1つずつ指定するか、キーワード専用
   オプション引数 *counts* で指定することができます。例えば、
   "sample(['red', 'blue'], counts=[4, 2], k=5)" は "sample(['red',
   'red', 'red', 'red', 'blue', 'blue'], k=5)" と等価になります。

   ある範囲の整数からサンプルを取る場合、引数に "range()" オブジェクト
   を使用してください。大きな母集団の場合、これは特に速く、メモリ効率
   が良いです: "sample(range(10000000), k=60)"。

   サンプルの大きさが母集団の大きさより大きい場合 "ValueError" が送出
   されます。

   バージョン 3.9 で変更: *counts* 引数が追加されました。

   バージョン 3.9 で非推奨: In the future, the *population* must be a
   sequence.  Instances of "set" are no longer supported.  The set
   must first be converted to a "list" or "tuple", preferably in a
   deterministic order so that the sample is reproducible.


実数分布
========

以下の関数は特定の実数値分布を生成します。関数の引数の名前は、一般的な
数学の慣例で使われている分布の公式の対応する変数から取られています; こ
れらの公式のほとんどはどんな統計学のテキストにも載っています。

random.random()

   ランダムな浮動小数点数（範囲は [0.0, 1.0) ）を返します。

random.uniform(a, b)

   "a <= b" であれば "a <= N <= b" 、"b < a" であれば "b <= N <= a" で
   あるようなランダムな浮動小数点数 *N* を返します。

   端点の値 "b" が範囲に含まれるかどうかは、等式 "a + (b-a) *
   random()" における浮動小数点の丸めに依存します。

random.triangular(low, high, mode)

   "low <= N <= high" でありこれら境界値の間に指定された最頻値 *mode*
   を持つようなランダムな浮動小数点数 *N* を返します。境界 *low* と
   *high* のデフォルトは 0 と 1 です。最頻値 *mode* 引数のデフォルトは
   両境界値の中点になり、対称な分布を与えます。

random.betavariate(alpha, beta)

   ベータ分布です。引数の満たすべき条件は "alpha > 0" および "beta >
   0" です。 0 から 1 の範囲の値を返します。

random.expovariate(lambd)

   指数分布です。*lambd* は平均にしたい値の逆数です。(この引数は
   "lambda" と呼ぶべきなのですが、Python の予約語なので使えません。)
   返す値の範囲は *lambd* が正なら 0 から正の無限大、*lambd* が負なら
   負の無限大から 0 です。

random.gammavariate(alpha, beta)

   ガンマ分布です (ガンマ関数 *ではありません* ！)。引数の満たすべき条
   件は "alpha > 0" および "beta > 0" です。

   確率分布関数は:

                x ** (alpha - 1) * math.exp(-x / beta)
      pdf(x) =  --------------------------------------
                  math.gamma(alpha) * beta ** alpha

random.gauss(mu, sigma)

   正規分布、またはガウス分布と呼ばれます。 *mu* は平均であり、
   *sigma* は標準偏差です。この関数は後で定義する関数
   "normalvariate()" より少しだけ高速です。

   Multithreading note:  When two threads call this function
   simultaneously, it is possible that they will receive the same
   return value.  This can be avoided in three ways. 1) Have each
   thread use a different instance of the random number generator. 2)
   Put locks around all calls. 3) Use the slower, but thread-safe
   "normalvariate()" function instead.

random.lognormvariate(mu, sigma)

   対数正規分布です。この分布を自然対数を用いた分布にした場合、平均
   *mu* で標準偏差 *sigma* の正規分布になります。 *mu* は任意の値を取
   ることができ、*sigma* はゼロより大きくなければなりません。

random.normalvariate(mu, sigma)

   正規分布です。 *mu* は平均で、 *sigma* は標準偏差です。

random.vonmisesvariate(mu, kappa)

   *mu* は平均の角度で、0 から 2**pi* までのラジアンで表されます。
   *kappa* は濃度パラメータで、ゼロ以上でなければなりません。*kappa*
   がゼロに等しい場合、この分布は範囲 0 から 2**pi* の一様でランダムな
   角度の分布に退化します。

random.paretovariate(alpha)

   パレート分布です。 *alpha* は形状パラメータです。

random.weibullvariate(alpha, beta)

   ワイブル分布です。 *alpha* は尺度パラメタで、 *beta* は形状パラメー
   タです。


他の生成器
==========

class random.Random([seed])

   "random"  モジュールがデフォルトで使用する疑似乱数生成器を実装した
   クラスです。

   バージョン 3.9 で非推奨: 将来、*seed* に与えられる値の型は以下のも
   のに限られます: *NoneType*, "int", "float", "str", "bytes", または
   "bytearray"。

class random.SystemRandom([seed])

   オペレーティングシステムの提供する発生源によって乱数を生成する
   "os.urandom()" 関数を使うクラスです。すべてのシステムで使えるメソッ
   ドではありません。ソフトウェアの状態に依存してはいけませんし、一連
   の操作は再現不能です。従って、 "seed()" メソッドは何の影響も及ぼさ
   ず、無視されます。 "getstate()" と "setstate()" メソッドが呼び出さ
   れると、例外 "NotImplementedError" が送出されます。


再現性について
==============

疑似乱数生成器から与えられたシーケンスを再現できると便利なことがありま
す。シード値を再利用することで、複数のスレッドが実行されていない限り、
実行ごとに同じシーケンスが再現できます。

random モジュールのアルゴリズムやシード処理関数のほとんどは、Python バ
ージョン間で変更される対象となりますが、次の二点は変更されないことが保
証されています:

* 新しいシード処理メソッドが追加されたら、後方互換なシード処理器が提供
  されます。

* 生成器の "random()" メソッドは、互換なシード処理器に同じシードが与え
  られた場合、引き続き同じシーケンスを生成します。


使用例
======

基礎的な例:

   >>> random()                             # Random float:  0.0 <= x < 1.0
   0.37444887175646646

   >>> uniform(2.5, 10.0)                   # Random float:  2.5 <= x <= 10.0
   3.1800146073117523

   >>> expovariate(1 / 5)                   # Interval between arrivals averaging 5 seconds
   5.148957571865031

   >>> randrange(10)                        # Integer from 0 to 9 inclusive
   7

   >>> randrange(0, 101, 2)                 # Even integer from 0 to 100 inclusive
   26

   >>> choice(['win', 'lose', 'draw'])      # Single random element from a sequence
   'draw'

   >>> deck = 'ace two three four'.split()
   >>> shuffle(deck)                        # Shuffle a list
   >>> deck
   ['four', 'two', 'ace', 'three']

   >>> sample([10, 20, 30, 40, 50], k=4)    # Four samples without replacement
   [40, 10, 50, 30]

シミュレーション:

   >>> # Six roulette wheel spins (weighted sampling with replacement)
   >>> choices(['red', 'black', 'green'], [18, 18, 2], k=6)
   ['red', 'green', 'black', 'black', 'red', 'black']

   >>> # Deal 20 cards without replacement from a deck
   >>> # of 52 playing cards, and determine the proportion of cards
   >>> # with a ten-value:  ten, jack, queen, or king.
   >>> dealt = sample(['tens', 'low cards'], counts=[16, 36], k=20)
   >>> dealt.count('tens') / 20
   0.15

   >>> # Estimate the probability of getting 5 or more heads from 7 spins
   >>> # of a biased coin that settles on heads 60% of the time.
   >>> def trial():
   ...     return choices('HT', cum_weights=(0.60, 1.00), k=7).count('H') >= 5
   ...
   >>> sum(trial() for i in range(10_000)) / 10_000
   0.4169

   >>> # Probability of the median of 5 samples being in middle two quartiles
   >>> def trial():
   ...     return 2_500 <= sorted(choices(range(10_000), k=5))[2] < 7_500
   ...
   >>> sum(trial() for i in range(10_000)) / 10_000
   0.7958

サンプルの平均の信頼区間を推定するのに、重複ありでリサンプリングして
統計的ブートストラップ を行う例:

   # https://www.thoughtco.com/example-of-bootstrapping-3126155
   from statistics import fmean as mean
   from random import choices

   data = [41, 50, 29, 37, 81, 30, 73, 63, 20, 35, 68, 22, 60, 31, 95]
   means = sorted(mean(choices(data, k=len(data))) for i in range(100))
   print(f'The sample mean of {mean(data):.1f} has a 90% confidence '
         f'interval from {means[5]:.1f} to {means[94]:.1f}')

薬と偽薬の間に観察された効果の違いについて、統計的有意性、すなわち p
値 を決定するために、リサンプリング順列試験 を行う例:

   # Example from "Statistics is Easy" by Dennis Shasha and Manda Wilson
   from statistics import fmean as mean
   from random import shuffle

   drug = [54, 73, 53, 70, 73, 68, 52, 65, 65]
   placebo = [54, 51, 58, 44, 55, 52, 42, 47, 58, 46]
   observed_diff = mean(drug) - mean(placebo)

   n = 10_000
   count = 0
   combined = drug + placebo
   for i in range(n):
       shuffle(combined)
       new_diff = mean(combined[:len(drug)]) - mean(combined[len(drug):])
       count += (new_diff >= observed_diff)

   print(f'{n} label reshufflings produced only {count} instances with a difference')
   print(f'at least as extreme as the observed difference of {observed_diff:.1f}.')
   print(f'The one-sided p-value of {count / n:.4f} leads us to reject the null')
   print(f'hypothesis that there is no difference between the drug and the placebo.')

マルチサーバーキューにおける到達時間とサービス提供のシミュレーション:

   from heapq import heapify, heapreplace
   from random import expovariate, gauss
   from statistics import mean, quantiles

   average_arrival_interval = 5.6
   average_service_time = 15.0
   stdev_service_time = 3.5
   num_servers = 3

   waits = []
   arrival_time = 0.0
   servers = [0.0] * num_servers  # time when each server becomes available
   heapify(servers)
   for i in range(1_000_000):
       arrival_time += expovariate(1.0 / average_arrival_interval)
       next_server_available = servers[0]
       wait = max(0.0, next_server_available - arrival_time)
       waits.append(wait)
       service_duration = max(0.0, gauss(average_service_time, stdev_service_time))
       service_completed = arrival_time + wait + service_duration
       heapreplace(servers, service_completed)

   print(f'Mean wait: {mean(waits):.1f}   Max wait: {max(waits):.1f}')
   print('Quartiles:', [round(q, 1) for q in quantiles(waits)])

参考:

  Statistics for Hackers Jake Vanderplas による統計解析のビデオ。シミ
  ュレーション、サンプリング、シャッフル、交差検定といった基本的な概念
  のみを用いています。

  Economics Simulation Peter Norvig による市場価格のシミュレーション。
  このモジュールが提供する多くのツールや分布 (gauss, uniform, sample,
  betavariate, choice, triangular, randrange) の活用法を示しています。

  A Concrete Introduction to Probability (using Python) Peter Norvig
  によるチュートリアル。確率論の基礎、シミュレーションの書き方、Python
  を使用したデータ解析法をカバーしています。


レシピ
======

The default "random()" returns multiples of 2⁻⁵³ in the range *0.0 ≤ x
< 1.0*.  All such numbers are evenly spaced and are exactly
representable as Python floats.  However, many other representable
floats in that interval are not possible selections.  For example,
"0.05954861408025609" isn't an integer multiple of 2⁻⁵³.

The following recipe takes a different approach.  All floats in the
interval are possible selections.  The mantissa comes from a uniform
distribution of integers in the range *2⁵² ≤ mantissa < 2⁵³*.  The
exponent comes from a geometric distribution where exponents smaller
than *-53* occur half as often as the next larger exponent.

   from random import Random
   from math import ldexp

   class FullRandom(Random):

       def random(self):
           mantissa = 0x10_0000_0000_0000 | self.getrandbits(52)
           exponent = -53
           x = 0
           while not x:
               x = self.getrandbits(32)
               exponent += x.bit_length() - 32
           return ldexp(mantissa, exponent)

All real valued distributions in the class will use the new method:

   >>> fr = FullRandom()
   >>> fr.random()
   0.05954861408025609
   >>> fr.expovariate(0.25)
   8.87925541791544

The recipe is conceptually equivalent to an algorithm that chooses
from all the multiples of 2⁻¹⁰⁷⁴ in the range *0.0 ≤ x < 1.0*.  All
such numbers are evenly spaced, but most have to be rounded down to
the nearest representable Python float.  (The value 2⁻¹⁰⁷⁴ is the
smallest positive unnormalized float and is equal to "math.ulp(0.0)".)

参考:

  Generating Pseudo-random Floating-Point Values a paper by Allen B.
  Downey describing ways to generate more fine-grained floats than
  normally generated by "random()".
