# `cmath` --- Mathematical functions for complex numbers

This module provides access to mathematical functions for complex numbers. The functions in this module accept integers, floating-point numbers or complex numbers as arguments. They will also accept any Python object that has either a `__complex__()` or a `__float__()` method: these methods are used to convert the object to a complex or floating-point number, respectively, and the function is then applied to the result of the conversion.

Note

For functions involving branch cuts, we have the problem of deciding how to define those functions on the cut itself. Following Kahan's "Branch cuts for complex elementary functions" paper, as well as Annex G of C99 and later C standards, we use the sign of zero to distinguish one side of the branch cut from the other: for a branch cut along (a portion of) the real axis we look at the sign of the imaginary part, while for a branch cut along the imaginary axis we look at the sign of the real part.

For example, the `cmath.sqrt()` function has a branch cut along the negative real axis. An argument of `-2-0j` is treated as though it lies below the branch cut, and so gives a result on the negative imaginary axis:

    >>> cmath.sqrt(-2-0j)
    -1.4142135623730951j

But an argument of `-2+0j` is treated as though it lies above the branch cut:

    >>> cmath.sqrt(-2+0j)
    1.4142135623730951j

Conversions to and from polar coordinates
`phase(z)` | Return the phase of z
`polar(z)` | Return the representation of z in polar coordinates
`rect(r, phi)` | Return the complex number z with polar coordinates r and phi
Power and logarithmic functions
`exp(z)` | Return e raised to the power z
`log(z[, base])` | Return the logarithm of z to the given base (e by default)
`log10(z)` | Return the base-10 logarithm of z
`sqrt(z)` | Return the square root of z
Trigonometric functions
`acos(z)` | Return the arc cosine of z
`asin(z)` | Return the arc sine of z
`atan(z)` | Return the arc tangent of z
`cos(z)` | Return the cosine of z
`sin(z)` | Return the sine of z
`tan(z)` | Return the tangent of z
Hyperbolic functions
`acosh(z)` | Return the inverse hyperbolic cosine of z
`asinh(z)` | Return the inverse hyperbolic sine of z
`atanh(z)` | Return the inverse hyperbolic tangent of z
`cosh(z)` | Return the hyperbolic cosine of z
`sinh(z)` | Return the hyperbolic sine of z
`tanh(z)` | Return the hyperbolic tangent of z
Classification functions
`isfinite(z)` | Check if all components of z are finite
`isinf(z)` | Check if any component of z is infinite
`isnan(z)` | Check if any component of z is a NaN
`isclose(a, b, *, rel_tol, abs_tol)` | Check if the values a and b are close to each other
Constants
`pi` | π = 3.141592...
`e` | e = 2.718281...
`tau` | τ = 2π = 6.283185...
`inf` | Positive infinity
`infj` | Pure imaginary infinity
`nan` | "Not a number" (NaN)
`nanj` | Pure imaginary NaN

## Conversion vers et à partir de coordonnées polaires

A Python complex number `z` is stored internally using rectangular or Cartesian coordinates. It is completely determined by its real part `z.real` and its imaginary part `z.imag`.

Les coordonnées polaires donnent une manière alternative de représenter un nombre complexe. En coordonnées polaires, un nombre complexe z est défini par son module r et par son argument (angle de phase) phi. Le module r est la distance entre z et l'origine, alors que l'argument phi est l'angle (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, ou sens trigonométrique), mesuré en radians, à partir de l'axe X positif, et vers le segment de droite joignant z à l'origine.

Les fonctions suivantes peuvent être utilisées pour convertir à partir des coordonnées rectangulaires natives vers les coordonnées polaires, et vice-versa.

cmath.phase(z)

  Return the phase of z (also known as the argument of z), as a float. `phase(z)` is equivalent to `math.atan2(z.imag, z.real)`. The result lies in the range [-π, π], and the branch cut for this operation lies along the negative real axis. The sign of the result is the same as the sign of `z.imag`, even when `z.imag` is zero:

      >>> phase(-1+0j)
      3.141592653589793
      >>> phase(-1-0j)
      -3.141592653589793

Note

The modulus (absolute value) of a complex number z can be computed using the built-in `abs()` function. There is no separate `cmath` module function for this operation.

cmath.polar(z)

  Return the representation of z in polar coordinates. Returns a pair `(r, phi)` where r is the modulus of z and phi is the phase of z. `polar(z)` is equivalent to `(abs(z), phase(z))`.

cmath.rect(r, phi)

  Return the complex number z with polar coordinates r and phi. Equivalent to `complex(r * math.cos(phi), r * math.sin(phi))`.

## Fonctions logarithme et exponentielle

cmath.exp(z)

  Return e raised to the power z, where e is the base of natural logarithms.

cmath.log(z[, base])

  Return the logarithm of z to the given base. If the base is not specified, returns the natural logarithm of z. There is one branch cut, from 0 along the negative real axis to -∞.

cmath.log10(z)

  Return the base-10 logarithm of z. This has the same branch cut as `log()`.

cmath.sqrt(z)

  Return the square root of z. This has the same branch cut as `log()`.

## Fonctions trigonométriques

cmath.acos(z)

  Return the arc cosine of z. There are two branch cuts: One extends right from 1 along the real axis to ∞. The other extends left from -1 along the real axis to -∞.

cmath.asin(z)

  Return the arc sine of z. This has the same branch cuts as `acos()`.

cmath.atan(z)

  Return the arc tangent of z. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`.

cmath.cos(z)

  Return the cosine of z.

cmath.sin(z)

  Return the sine of z.

cmath.tan(z)

  Return the tangent of z.

## Fonctions hyperboliques

cmath.acosh(z)

  Return the inverse hyperbolic cosine of z. There is one branch cut, extending left from 1 along the real axis to -∞.

cmath.asinh(z)

  Return the inverse hyperbolic sine of z. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`.

cmath.atanh(z)

  Return the inverse hyperbolic tangent of z. There are two branch cuts: One extends from `1` along the real axis to `∞`. The other extends from `-1` along the real axis to `-∞`.

cmath.cosh(z)

  Return the hyperbolic cosine of z.

cmath.sinh(z)

  Return the hyperbolic sine of z.

cmath.tanh(z)

  Return the hyperbolic tangent of z.

## Fonctions de classifications

cmath.isfinite(z)

  Return `True` if both the real and imaginary parts of z are finite, and `False` otherwise.

  Ajouté dans la version 3.2.

cmath.isinf(z)

  Return `True` if either the real or the imaginary part of z is an infinity, and `False` otherwise.

cmath.isnan(z)

  Return `True` if either the real or the imaginary part of z is a NaN, and `False` otherwise.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

  Renvoie `True` si les valeurs a et b sont proches l'une de l'autre, et `False` sinon.

  Whether or not two values are considered close is determined according to given absolute and relative tolerances. If no errors occur, the result will be: `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`.

  rel_tol is the relative tolerance -- it is the maximum allowed difference between a and b, relative to the larger absolute value of a or b. For example, to set a tolerance of 5%, pass `rel_tol=0.05`. The default tolerance is `1e-09`, which assures that the two values are the same within about 9 decimal digits. rel_tol must be nonnegative and less than `1.0`.

  abs_tol is the absolute tolerance; it defaults to `0.0` and it must be nonnegative. When comparing `x` to `0.0`, `isclose(x, 0)` is computed as `abs(x) <= rel_tol * abs(x)`, which is `False` for any `x` and rel_tol less than `1.0`. So add an appropriate positive abs_tol argument to the call.

  Les valeurs spécifiques suivantes : `NaN`, `inf`, et `-inf` définies dans la norme IEEE 754 seront manipulées selon les règles du standard IEEE. En particulier, `NaN` n'est considéré proche d'aucune autre valeur, `NaN` inclus. `inf` et `-inf` ne sont considérés proches que d'eux-mêmes.

  Ajouté dans la version 3.5.

  Voir aussi

  PEP 485 -- Une fonction pour tester des égalités approximées

## Constantes

cmath.pi

  La constante mathématique π, en tant que flottant.

cmath.e

  La constante mathématique e, en tant que flottant.

cmath.tau

  La constante mathématique τ, sous forme de flottant.

  Ajouté dans la version 3.6.

cmath.inf

  Nombre à virgule flottante positif infini. Équivaut à `float('inf')`.

  Ajouté dans la version 3.6.

cmath.infj

  Nombre complexe dont la partie réelle vaut zéro et la partie imaginaire un infini positif. Équivalent à `complex(0.0, float('inf'))`.

  Ajouté dans la version 3.6.

cmath.nan

  A floating-point "not a number" (NaN) value. Equivalent to `float('nan')`. See also `math.nan`.

  Ajouté dans la version 3.6.

cmath.nanj

  Nombre complexe dont la partie réelle vaut zéro et la partie imaginaire vaut un NaN. Équivalent à `complex(0.0, float('nan'))`.

  Ajouté dans la version 3.6.

Notez que la sélection de fonctions est similaire, mais pas identique, à celles du module `math`. La raison d'avoir deux modules est que certains utilisateurs ne sont pas intéressés par les nombres complexes, et peut-être ne savent même pas ce qu'ils sont. Ils préféreraient alors que `math.sqrt(-1)` lève une exception au lieu de renvoyer un nombre complexe. Également, notez que les fonctions définies dans `cmath` renvoient toujours un nombre complexe, même si le résultat peut être exprimé à l'aide d'un nombre réel (en quel cas la partie imaginaire du complexe vaut zéro).

Une note sur les coupures : ce sont des courbes sur lesquelles la fonction n'est pas continue. Ce sont des caractéristiques nécessaires de beaucoup de fonctions complexes. Il est supposé que si vous avez besoin d'utiliser des fonctions complexes, vous comprendrez ce que sont les coupures. Consultez n'importe quel livre (pas trop élémentaire) sur les variables complexes pour plus d'informations. Pour des informations sur les choix des coupures à des fins numériques, voici une bonne référence :

Voir aussi

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165--211.