Fonctions mathématiques — "math"
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Ce module fournit l'accès aux fonctions mathématiques définies par la
norme C.

Ces fonctions ne peuvent pas être utilisées avec les nombres complexes
; si vous avez besoin de la prise en charge des nombres complexes,
utilisez les fonctions du même nom du module "cmath". La séparation
entre les fonctions qui gèrent les nombres complexes et les autres
vient du constat que tous les utilisateurs ne souhaitent pas acquérir
le niveau mathématique nécessaire à la compréhension des nombres
complexes. Recevoir une exception plutôt qu'un nombre complexe en
retour d'une fonction permet au programmeur de déterminer
immédiatement comment et pourquoi ce nombre a été généré, avant que
celui-ci ne soit passé involontairement en paramètre d'une autre
fonction.

Les fonctions suivantes sont fournies dans ce module. Sauf mention
contraire explicite, toutes les valeurs de retour sont des flottants.


Fonctions arithmétiques et de représentation
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math.ceil(x)

   Renvoie la partie entière par excès de *x*, le plus petit entier
   supérieur ou égal à *x*. Si *x* est un flottant, délègue à
   "x.__ceil()__", qui doit renvoyer une valeur "Integral".

math.comb(n, k)

   Renvoie le nombre de façons de choisir *k* éléments parmi *n* de
   manière non-ordonnée et sans répétition.

   Vaut "n! / (k! * (n - k)!)" quand "k <= n" et zéro quand "k > n".

   Aussi connue sous le nom de « coefficient binomial » car c'est la
   valeur du coefficient du *k*^e terme dans le développement
   polynomial de l'expression "(1+x) ** n".

   Lève une "TypeError" si un des paramètres n'est pas un entier. Lève
   une "ValueError" si un des paramètres est négatif.

   Nouveau dans la version 3.8.

math.copysign(x, y)

   Renvoie un flottant contenant la magnitude (valeur absolue) de *x*
   mais avec le signe de *y*. Sur les plates-formes prenant en charge
   les zéros signés, "copysign(1.0, -0.0)" renvoie "-1.0".

math.fabs(x)

   Renvoie la valeur absolue de *x*.

math.factorial(x)

   Renvoie la factorielle de *x* sous forme d'entier. Lève une
   "ValueError" si *x* n'est pas entier ou s'il est négatif.

   Obsolète depuis la version 3.9: Accepting floats with integral
   values (like "5.0") is deprecated.

math.floor(x)

   Renvoie la partie entière (par défaut) de *x*, le plus grand entier
   inférieur ou égal à *x*. Si *x* n'est pas un flottant, délègue à
   "x.__floor()__", qui doit renvoyer une valeur "Integral".

math.fmod(x, y)

   Renvoie "fmod(x, y)", tel que défini par la bibliothèque C de la
   plate-forme. Notez que l'expression Python "x % y" peut ne pas
   renvoyer le même résultat. Le sens du standard C pour "fmod(x, y)"
   est d'être exactement (mathématiquement, à une précision infinie)
   égal à "x - n*y" pour un entier *n* tel que le résultat a le signe
   de *x* et une magnitude inférieure à "abs(y)". L'expression Python
   "x % y" renvoie un résultat avec le signe de *y*, et peut ne pas
   être calculable exactement pour des arguments flottants. Par
   exemple : "fmod(-1e-100, 1e100)" est "-1e-100", mais le résultat de
   l'expression Python "-1e-100 % 1e100" est "1e100-1e-100", qui ne
   peut pas être représenté exactement par un flottant et donc qui est
   arrondi à "1e100". Pour cette raison, la fonction "fmod()" est
   généralement privilégiée quand des flottants sont manipulés, alors
   que l'expression Python "x % y" est privilégiée quand des entiers
   sont manipulés.

math.frexp(x)

   Renvoie la mantisse et l'exposant de *x* dans un couple "(m, e)".
   *m* est un flottant et *e* est un entier tels que "x == m * 2**e"
   exactement. Si *x* vaut zéro, renvoie "(0, 0)", sinon "0.5 <=
   abs(m) < 1". Ceci est utilisé pour « extraire » la représentation
   interne d'un flottant de manière portable.

math.fsum(iterable)

   Renvoie une somme flottante exacte des valeurs dans l'itérable.
   Évite la perte de précision en gardant plusieurs sommes partielles
   intermédiaires :

      >>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
      0.9999999999999999
      >>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
      1.0

   La précision de cet algorithme dépend des garanties arithmétiques
   de IEEE-754 et des cas standards où le mode d'arrondi est *half-
   even*. Sur certaines versions non Windows, la bibliothèque C sous-
   jacente utilise une addition par précision étendue et peut
   occasionnellement effectuer un double-arrondi sur une somme
   intermédiaire causant la prise d'une mauvaise valeur du bit de
   poids faible.

   Pour de plus amples discussions et deux approches alternatives,
   voir ASPN cookbook recipes for accurate floating point summation.

math.gcd(*integers)

   Return the greatest common divisor of the specified integer
   arguments. If any of the arguments is nonzero, then the returned
   value is the largest positive integer that is a divisor of all
   arguments.  If all arguments are zero, then the returned value is
   "0".  "gcd()" without arguments returns "0".

   Nouveau dans la version 3.5.

   Modifié dans la version 3.9: Added support for an arbitrary number
   of arguments. Formerly, only two arguments were supported.

math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

   Renvoie "True" si les valeurs *a* et *b* sont proches l'une de
   l'autre, et "False" sinon.

   Déterminer si deux valeurs sont considérées comme « proches » se
   fait à l'aide des tolérances absolues et relatives passées en
   paramètres.

   *rel_tol* est la tolérance relative — c'est la différence maximale
   permise entre *a* et *b*, relativement à la plus grande valeur de
   *a* ou de *b*. Par exemple, pour définir une tolérance de 5%,,
   précisez "rel_tol=0.05". La tolérance par défaut est "1e-09", ce
   qui assure que deux valeurs sont les mêmes à partir de la 9^e
   décimale. *rel_tol* doit être supérieur à zéro.

   *abs_tol* est la tolérance absolue minimale — utile pour les
   comparaisons proches de zéro. *abs_tol* doit valoir au moins zéro.

   Si aucune erreur n'est rencontrée, le résultat sera : "abs(a-b) <=
   max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)".

   Les valeurs spécifiques suivantes : "NaN", "inf", et "-inf"
   définies dans la norme IEEE 754  seront manipulées selon les règles
   du standard IEEE. En particulier, "NaN" n'est considéré proche
   d'aucune autre valeur, "NaN" inclus. "inf" et "-inf" ne sont
   considérées proches que d'elles-mêmes.

   Nouveau dans la version 3.5.

   Voir aussi:

     **PEP 485** — Une fonction pour tester des quasi-égalités

math.isfinite(x)

   Renvoie "True" si *n* n'est ni infini, ni NaN, et "False" sinon.
   (Notez que "0.0" *est* considéré comme fini.)

   Nouveau dans la version 3.2.

math.isinf(x)

   Renvoie "True" si *x* vaut l'infini positif ou négatif, et "False"
   sinon.

math.isnan(x)

   Renvoie "True" si *x* est NaN (*Not a Number*, ou *Pas un Nombre*
   en français), et "False" sinon.

math.isqrt(n)

   Renvoie la racine carrée entière du nombre positif *n*. C'est la
   partie entière de la valeur exacte de la racine carrée de *n* ou,
   de manière équivalente, le plus grand entier *a* tel que a*² ≤ *n*.

   Pour certaines applications, il est plus pratique d'avoir le plus
   petit entier *a* tel que *n* ≤ *a*² ou, en d'autres termes, la
   partie entière de la valeur exacte de la racine carrée de *n*. Pour
   *n* positif, on peut le calculer avec "a = 1 + isqrt(n - 1)".

   Nouveau dans la version 3.8.

math.lcm(*integers)

   Return the least common multiple of the specified integer
   arguments. If all arguments are nonzero, then the returned value is
   the smallest positive integer that is a multiple of all arguments.
   If any of the arguments is zero, then the returned value is "0".
   "lcm()" without arguments returns "1".

   Nouveau dans la version 3.9.

math.ldexp(x, i)

   Renvoie "x * (2**i)". C'est essentiellement l'inverse de la
   fonction "frexp()".

math.modf(x)

   Renvoie les parties entière et fractionnelle de *x*. Les deux
   résultats ont le signe de *x* et sont flottants.

math.nextafter(x, y)

   Renvoie la valeur flottante consécutive à *x*, dans la direction de
   *y*.

   Si *x* est égal à *y*, renvoie *y*.

   Exemples :

   * "math.nextafter(x, math.inf)" augmente de valeur : vers l'infini
     positif.

   * "math.nextafter(x, -math.inf)" baisse de valeur : vers l'infini
     négatif.

   * "math.nextafter(x, 0.0)" augmente ou baisse de valeur, vers zéro.

   * "math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x))" augmente ou
     baisse de valeur, en s'éloignant de zéro.

   Voir aussi : "math.ulp()".

   Nouveau dans la version 3.9.

math.perm(n, k=None)

   Renvoie le nombre de façons de choisir *k* éléments parmi *n* de
   manière ordonnée sans répétition.

   Vaut "n! / (n - k)!" quand "k <= n" et vaut zéro quand "k > n".

   Si *k* n'est pas défini ou vaut *None*, *k* prend par défaut la
   valeur *n* et la fonction renvoie alors "n!".

   Lève une "TypeError" si un des paramètres n'est pas un entier. Lève
   une "ValueError" si un des paramètres est négatif.

   Nouveau dans la version 3.8.

math.prod(iterable, *, start=1)

   Calcule le produit de tous les éléments passés dans l'entrée
   *iterable*. La valeur de *départ* par défaut du produit vaut "1".

   Quand l'itérable est vide, renvoie la valeur de départ. Cette
   fonction ne doit être utilisée qu'avec des valeurs numériques et
   peut rejeter les types non-numériques.

   Nouveau dans la version 3.8.

math.remainder(x, y)

   Renvoie le reste selon la norme IEEE 754 de *x* par rapport à *y*.
   Pour *x* fini et *y* fini non nul, il s'agit de la différence "x -
   n*y", où "n" est l'entier le plus proche de la valeur exacte du
   quotient "x / y". Si "x / y" est exactement à mi-chemin de deux
   entiers consécutifs, le plus proche entier *pair* est utilisé pour
   "n". Ainsi, le reste "r = remainder(x, y)" vérifie toujours "abs(r)
   <= 0.5 * abs(y)".

   Les cas spéciaux suivent la norme IEEE 754 : en particulier,
   "remainder(x, math.inf)" vaut *x* pour tout *x* fini,  et
   "remainder(x, 0)" et "remainder(math.inf, x)" lèvent "ValueError"
   pour tout *x* *non-NaN*. Si le résultat de l'opération *remainder*
   est zéro, alors  ce zéro aura le même signe que *x*.

   Sur les plates-formes utilisant la norme IEEE 754 pour les nombres
   à virgule flottante en binaire, le résultat de cette opération est
   toujours exactement représentable : aucune erreur d'arrondi n'est
   introduite.

   Nouveau dans la version 3.7.

math.trunc(x)

   Renvoie la valeur "Real" *x* tronquée en un "Integral"
   (habituellement un entier). Délègue à "x.__trunc__()".

math.ulp(x)

   Return the value of the least significant bit of the float *x*:

   * If *x* is a NaN (not a number), return *x*.

   * If *x* is negative, return "ulp(-x)".

   * If *x* is a positive infinity, return *x*.

   * If *x* is equal to zero, return the smallest positive
     *denormalized* representable float (smaller than the minimum
     positive *normalized* float, "sys.float_info.min").

   * If *x* is equal to the largest positive representable float,
     return the value of the least significant bit of *x*, such that
     the first float smaller than *x* is "x - ulp(x)".

   * Otherwise (*x* is a positive finite number), return the value of
     the least significant bit of *x*, such that the first float
     bigger than *x* is "x + ulp(x)".

   ULP stands for "Unit in the Last Place".

   See also "math.nextafter()" and "sys.float_info.epsilon".

   Nouveau dans la version 3.9.

Notez que les fonctions "frexp()" et "modf()" ont un système d'appel
différent de leur homologue C : elles prennent un seul argument et
renvoient une paire de valeurs au lieu de placer la seconde valeur de
retour dans un *paramètre de sortie* (cela n'existe pas en Python).

Pour les fonctions "ceil()", "floor()", et "modf()", notez que *tous*
les nombres flottants de magnitude suffisamment grande sont des
entiers exacts. Les flottants de Python n'ont généralement pas plus de
53 *bits* de précision (tels que le type C "double" de la plate-
forme), en quel cas tout flottant *x* tel que "abs(x) >= 2**52" n'a
aucun *bit* fractionnel.


Fonctions logarithme et exponentielle
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math.exp(x)

   Renvoie *e* à la puissance *x*, où *e* = 2.718281… est la base des
   logarithmes naturels. Cela est en général plus précis que "math.e
   ** x" ou "pow(math.e, x)".

math.expm1(x)

   Renvoie *e* à la puissance *x*, moins 1. Ici, *e* est la base des
   logarithmes naturels. Pour de petits flottants *x*, la soustraction
   "exp(x) - 1" peut résulter en une perte significative de précision;
   la fonction "expm1()" fournit un moyen de calculer cette quantité
   en précision complète :

      >>> from math import exp, expm1
      >>> exp(1e-5) - 1  # gives result accurate to 11 places
      1.0000050000069649e-05
      >>> expm1(1e-5)    # result accurate to full precision
      1.0000050000166668e-05

   Nouveau dans la version 3.2.

math.log(x[, base])

   Avec un argument, renvoie le logarithme naturel de *x* (en base
   *e*).

   Avec deux arguments, renvoie le logarithme de *x* en la *base*
   donnée, calculé par "log(x)/log(base)".

math.log1p(x)

   Renvoie le logarithme naturel de *1+x* (en base *e*). Le résultat
   est calculé par un moyen qui reste exact pour *x* proche de zéro.

math.log2(x)

   Renvoie le logarithme en base 2 de *x*. C'est en général plus
   précis que "log(x, 2)".

   Nouveau dans la version 3.3.

   Voir aussi:

     "int.bit_length()" renvoie le nombre de bits nécessaires pour
     représenter un entier en binaire, en excluant le signe et les
     zéros de début.

math.log10(x)

   Renvoie le logarithme de *x* en base 10. C'est habituellement plus
   exact que "log(x, 10)".

math.pow(x, y)

   Renvoie "x" élevé à la puissance "y". Les cas exceptionnels suivent
   l'annexe 'F' du standard C99 autant que possible. En particulier,
   "pow(1.0, x)" et "pow(x, 0.0)" renvoient toujours "1.0", même si
   "x" est zéro ou NaN. Si à la fois "x" *et* "y" sont finis, "x" est
   négatif et "y" n'est pas entier, alors "pow(x, y)" est non défini
   et lève une "ValueError".

   À l'inverse de l'opérateur interne "**", la fonction "math.pow()"
   convertit ses deux arguments en "float". Utilisez "**" ou la
   primitive "pow()" pour calculer des puissances exactes d'entiers.

math.sqrt(x)

   Renvoie la racine carrée de *x*.


Fonctions trigonométriques
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math.acos(x)

   Return the arc cosine of *x*, in radians. The result is between "0"
   and "pi".

math.asin(x)

   Return the arc sine of *x*, in radians. The result is between
   "-pi/2" and "pi/2".

math.atan(x)

   Return the arc tangent of *x*, in radians. The result is between
   "-pi/2" and "pi/2".

math.atan2(y, x)

   Renvoie "atan(y / x)", en radians. Le résultat est entre "-pi" et
   "pi". Le vecteur du plan allant de l'origine vers le point "(x, y)"
   forme cet angle avec l'axe X positif. L'intérêt de "atan2()" est
   que le signe des deux entrées est connu. Donc elle peut calculer le
   bon quadrant pour l'angle. par exemple "atan(1)" et "atan2(1, 1)"
   donnent tous deux "pi/4", mais "atan2(-1, -1)" donne "-3*pi/4".

math.cos(x)

   Renvoie le cosinus de *x* radians.

math.dist(p, q)

   Renvoie la distance Euclienne entre deux points *p* et *q*, passés
   comme des séquences (ou des itérables) de coordonnées. Les deux
   points doivent avoir la même dimension.

   À peu près équivalent à :

      sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))

   Nouveau dans la version 3.8.

math.hypot(*coordinates)

   Renvoie la norme Euclidienne, "sqrt(sum(x**2 for x in
   coordinates))". C'est la norme du vecteur entre l'origine et le
   point donné par les coordonnées.

   Pour un point bi-dimensionnel "(x, y)", c'est équivalent à calculer
   la valeur de l’hypoténuse d'un triangle rectangle en utilisant le
   théorème de Pythagore, "sqrt(x*x + y*y)".

   Modifié dans la version 3.8: Ajout de la gestion des points à
   n-dimensions. Auparavant seuls les points bi-dimensionnels étaient
   gérés.

math.sin(x)

   Renvoie le sinus de *x* radians.

math.tan(x)

   Renvoie la tangente de *x* radians.


Conversion angulaire
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math.degrees(x)

   Convertit l'angle *x* de radians en degrés.

math.radians(x)

   Convertit l'ange *x* de degrés en radians.


Fonctions hyperboliques
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Les fonctions hyperboliques sont analogues à des fonctions
trigonométriques qui sont basées sur des hyperboles au lieu de
cercles.

math.acosh(x)

   Renvoie l'arc cosinus hyperbolique de *x*.

math.asinh(x)

   Renvoie l'arc sinus hyperbolique de *x*.

math.atanh(x)

   Renvoie l'arc tangente hyperbolique de *x*.

math.cosh(x)

   Renvoie le cosinus hyperbolique de *x*.

math.sinh(x)

   Renvoie le sinus hyperbolique de *x*.

math.tanh(x)

   Renvoie la tangente hyperbolique de *x*.


Fonctions spéciales
===================

math.erf(x)

   Renvoie la fonction d'erreur en *x*.

   La fonction "erf()" peut être utilisée pour calculer des fonctions
   statistiques usuelles telles que la répartition de la loi normale :

      def phi(x):
          'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
          return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

   Nouveau dans la version 3.2.

math.erfc(x)

   Renvoie la fonction d'erreur complémentaire en *x*. La fonction
   d'erreur complémentaire est définie par "1.0 - erf(x)". Elle est
   utilisée pour les grandes valeurs de *x*, où la soustraction en
   partant de 1,0 entraînerait une perte de précision.

   Nouveau dans la version 3.2.

math.gamma(x)

   Renvoie la fonction Gamma en *x*.

   Nouveau dans la version 3.2.

math.lgamma(x)

   Renvoie le logarithme naturel de la valeur absolue de la fonction
   gamma en *x*.

   Nouveau dans la version 3.2.


Constantes
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math.pi

   La constante mathématique *π* = 3.141592…, à la précision
   disponible.

math.e

   La constante mathématique *e* = 2.718281…, à la précision
   disponible.

math.tau

   La constante mathématique *τ* = 6.283185…, à la précision
   disponible. Tau est une constante du cercle égale à 2 *π*, le
   rapport de la circonférence d'un cercle à son rayon. Pour en
   apprendre plus sur Tau, regardez la vidéo de Vi Hart, Pi is (still)
   Wrong, et profitez-en pour célébrer le Jour de Tau en bavardant
   comme deux pies !

   Nouveau dans la version 3.6.

math.inf

   Un flottant positif infini. (Pour un infini négatif, utilisez
   "-math.inf".) Équivalent au résultat de "float('inf')".

   Nouveau dans la version 3.5.

math.nan

   Un flottant valant NaN. Équivalent au résultat de "float('nan')".

   Nouveau dans la version 3.5.

**CPython implementation detail:** Le module "math" consiste
majoritairement en un conteneur pour les fonctions mathématiques de la
bibliothèque C de la plate-forme. Le comportement dans les cas
spéciaux suit l'annexe 'F' du standard C99 quand c'est approprié.
L'implémentation actuelle lève une "ValueError" pour les opérations
invalides telles que "sqrt(-1.0)" ou "log(0.0)" (où le standard C99
recommande de signaler que l'opération est invalide ou qu'il y a
division par zéro), et une "OverflowError" pour les résultats qui
débordent (par exemple "exp(1000.0)"). *NaN* ne sera renvoyé pour
aucune des fonctions ci-dessus, sauf si au moins un des arguments de
la fonction vaut *NaN*. Dans ce cas, la plupart des fonctions
renvoient *NaN*, mais (à nouveau, selon l'annexe 'F' du standard C99)
il y a quelques exceptions à cette règle, par exemple
"pow(float('nan'), 0.0)" ou "hypot(float('nan'), float('inf'))".

Notez que Python ne fait aucun effort pour distinguer les NaNs
signalétiques des NaNs silencieux, et le comportement de signalement
des NaNs reste non-spécifié. Le comportement standard est de traiter
tous les NaNs comme s'ils étaient silencieux.

Voir aussi:

  Module "cmath"
     Version complexe de beaucoup de ces fonctions.
