15. Arithmétique en nombres à virgule flottante : problèmes et limites¶
Les nombres à virgule flottante sont représentés, au niveau matériel, en fractions de nombres binaires (base 2). Par exemple, la fraction décimale :
0.125
a la valeur 1/10 + 2/100 + 5/1000 et, de la même manière, la fraction binaire :
0.001
a la valeur 0/2 + 0/4 + 1/8. Ces deux fractions ont une valeur identique, la seule différence est que la première est une fraction décimale, la seconde est une fraction binaire.
Malheureusement, la plupart des fractions décimales ne peuvent pas avoir de représentation exacte en fractions binaires. Par conséquent, en général, les nombres à virgule flottante que vous donnez sont seulement approximés en fractions binaires pour être stockés dans la machine.
Le problème est plus simple à aborder en base 10. Prenons par exemple, la fraction 1/3. Vous pouvez l’approximer en une fraction décimale :
0.3
ou, mieux,
0.33
ou, mieux,
0.333
etc. Peu importe le nombre de décimales que vous écrivez, le résultat ne vaut jamais exactement 1/3, mais c’est une estimation s’en approchant toujours mieux.
De la même manière, peu importe combien de décimales en base 2 vous utilisez, la valeur décimale 0.1 ne peut pas être représentée exactement en fraction binaire. En base 2, 1/10 est le nombre périodique suivant :
0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...
En se limitant à une quantité finie de bits, on ne peut obtenir qu’une approximation. Sur la majorité des machines aujourd’hui, les nombres à virgule flottante sont approximés par une fraction binaire avec les 53 premiers bits comme numérateur et une puissance de deux au dénominateur. Dans le cas de 1/10, la fraction binaire est 3602879701896397 / 2 ** 55 qui est proche mais ne vaut pas exactement 1/10.
Du fait de la manière dont les flottants sont affichés par l’interpréteur, il est facile d’oublier que la valeur stockée est une approximation de la fraction décimale d’origine. Python n’affiche qu’une approximation décimale de la valeur stockée en binaire. Si Python devait afficher la vraie valeur décimale de l’approximation binaire stockée pour 0,1, il afficherait :
>>> 0.1
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
C’est bien plus de décimales que ce qu’attendent la plupart des utilisateurs, donc Python affiche une valeur arrondie afin d’améliorer la lisibilité :
>>> 1 / 10
0.1
Rappelez-vous simplement que, bien que la valeur affichée ressemble à la valeur exacte de 1/10, la valeur stockée est la représentation la plus proche en fraction binaire.
Il existe beaucoup de nombres décimaux qui partagent une même approximation en fraction binaire. Par exemple, 0.1, 0.10000000000000001 et 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 ont tous pour approximation 3602879701896397 / 2 ** 55. Puisque toutes ces valeurs décimales partagent la même approximation, chacune peut être affichée tout en respectant eval(repr(x)) == x.
Historiquement, le mode interactif de Python et la primitive repr() choisissaient la version avec 17 décimales significatives, 0.10000000000000001. Python, depuis la version 3.1 (sur la majorité des systèmes) est maintenant capable de choisir la plus courte représentation et n’affiche que 0.1.
Ce comportement est inhérent à la nature même de la représentation des nombres à virgule flottante dans la machine : ce n’est pas un bogue dans Python et ce n’est pas non plus un bogue dans votre code. Vous pouvez observer le même type de comportement dans tous les autres langages utilisant le support matériel pour le calcul des nombres à virgule flottante (bien que certains langages ne rendent pas visible la différence par défaut, ou pas dans tous les modes d’affichage).
Pour obtenir un affichage plus plaisant, les fonctions de formatage de chaînes de caractères peuvent limiter le nombre de décimales significatives affichées :
>>> format(math.pi, '.12g') # give 12 significant digits
'3.14159265359'
>>> format(math.pi, '.2f') # give 2 digits after the point
'3.14'
>>> repr(math.pi)
'3.141592653589793'
Il est important de comprendre que tout cela n’est, au sens propre, qu’une illusion : vous demandez simplement à Python d’arrondir la valeur stockée réellement dans la machine à l’affichage.
Une autre conséquence du fait que 0,1 n’est pas exactement stocké 1/10 est que la somme de trois valeurs de 0,1 ne donne pas 0,3 non plus :
>>> .1 + .1 + .1 == .3
False
Aussi, puisque 0,1 ne peut pas être stocké avec une représentation plus proche de sa valeur exacte 1/10, comme 0,3 qui ne peut pas être plus proche de sa valeur exacte 3/10, arrondir au préalable avec la fonction round() n’aide en rien :
>>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
False
Bien que les nombres ne peuvent se rapprocher plus de la valeur qu’on attend qu’ils aient, la fonction round() peut être utile à postériori pour arrondir deux valeurs inexactes et pouvoir les comparer :
>>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
True
L’arithmétique des nombres binaires à virgule flottante réserve beaucoup de surprises de ce genre. Le problème avec « 0.1 » est expliqué en détails ci-dessous, dans la section « Erreurs de représentation ». Voir The Perils of Floating Point pour une liste plus complète de ce genre de surprises.
Même s’il est vrai qu’il n’existe pas de réponse simple, ce n’est pas la peine de vous méfier outre mesure des nombres à virgule flottante ! Les erreurs, en Python, dans les opérations de nombres à virgule flottante sont dues au matériel sous-jacent et, sur la plupart des machines, sont de l’ordre de 1 sur 2**53 par opération. C’est plus que suffisant pour la plupart des tâches, mais vous devez garder à l’esprit que ce ne sont pas des opérations décimales et que chaque opération sur des nombres à virgule flottante peut souffrir d’une nouvelle erreur.
Bien que des cas pathologiques existent, pour la plupart des cas d’utilisations courants vous obtiendrez le résultat attendu à la fin en arrondissant simplement au nombre de décimales désirées à l’affichage avec str(). Pour un contrôle fin sur la manière dont les décimales sont affichées, consultez dans Syntaxe de formatage de chaîne les spécifications de formatage de la méthode str.format().
Pour les cas requérant une représentation décimale exacte, le module decimal peut être utile : il implémente l’arithmétique décimale et peut donc être un choix adapté pour des applications nécessitant une grande précision.
Une autre forme d’arithmétique exacte est implémentée dans le module fractions qui se base sur les nombres rationnels (donc 1/3 peut y être représenté exactement).
Si vous êtes un utilisateur intensif des opérations sur les nombres à virgule flottante, nous vous conseillons de considérer le paquet Numerical Python ainsi que les paquets pour les opérations statistiques et mathématiques fournis par le projet SciPy. Consultez <https://scipy.org>.
Python fournit des outils qui peuvent être utiles dans les rares occasions où vous voulez réellement connaître la valeur exacte d’un nombre à virgule flottante. La méthode float.as_integer_ratio() donne la valeur du nombre sous forme de fraction :
>>> x = 3.14159
>>> x.as_integer_ratio()
(3537115888337719, 1125899906842624)
Puisque le ratio est exact, il peut être utilisé pour recréer la valeur originale sans perte :
>>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
True
La méthode float.hex() donne le nombre en hexadécimal (base 16), donnant ici aussi la valeur exacte stockée par la machine :
>>> x.hex()
'0x1.921f9f01b866ep+1'
Cette représentation hexadécimale petit être utilisée pour reconstruire, sans approximation, le float :
>>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
True
Puisque cette représentation est exacte, elle est pratique pour échanger des valeurs entre différentes versions de Python (indépendamment de la machine) ou d’autres langages qui comprennent ce format (tels que Java et C99).
Une autre fonction utile est math.fsum(), elle aide à diminuer les pertes de précision lors des additions. Elle surveille les décimales perdues au fur et à mesure que les valeurs sont ajoutées au total. Cela peut faire une différence au niveau de la précision globale en empêchant les erreurs de s’accumuler jusqu’à affecter le résultat final :
>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True
15.1. Erreurs de représentation¶
Cette section explique en détail l’exemple du « 0.1 » et montre comment vous pouvez effectuer une analyse exacte de ce type de cas par vous-même. Nous supposons que la représentation binaire des nombres flottants vous est familière.
Le terme Erreur de représentation (representation error en anglais) signifie que la plupart des fractions décimales ne peuvent être représentées exactement en binaire. C’est la principale raison pour laquelle Python (ou Perl, C, C++, Java, Fortran et beaucoup d’autres) n’affiche habituellement pas le résultat exact en décimal.
Pourquoi ? 1/10 n’est pas représentable de manière exacte en fraction binaire. Cependant, toutes les machines d’aujourd’hui (novembre 2000) suivent la norme IEEE-754 en ce qui concerne l’arithmétique des nombres à virgule flottante et la plupart des plateformes utilisent un « IEEE-754 double précision » pour représenter les floats de Python. Les « IEEE-754 double précision » utilisent 53 bits de précision donc, à la lecture, l’ordinateur essaie de convertir 0,1 dans la fraction la plus proche possible de la forme J/2**N avec J un nombre entier d’exactement 53 bits. Pour réécrire :
1 / 10 ~= J / (2**N)
en :
J ~= 2**N / 10
en se rappelant que J fait exactement 53 bits (donc >= 2**52 mais < 2**53), la meilleure valeur possible pour N est 56 :
>>> 2**52 <= 2**56 // 10 < 2**53
True
Donc 56 est la seule valeur possible pour N qui laisse exactement 53 bits pour J. La meilleure valeur possible pour J est donc ce quotient, arrondi :
>>> q, r = divmod(2**56, 10)
>>> r
6
Puisque la retenue est plus grande que la moitié de 10, la meilleure approximation est obtenue en arrondissant par le haut :
>>> q+1
7205759403792794
Par conséquent la meilleure approximation possible pour 1/10 en « IEEE-754 double précision » est celle au-dessus de 2**56, soit :
7205759403792794 / 2 ** 56
Diviser le numérateur et le dénominateur par deux réduit la fraction à :
3602879701896397 / 2 ** 55
Notez que puisque l’arrondi a été fait vers le haut, le résultat est en réalité légèrement plus grand que 1/10 ; si nous n’avions pas arrondi par le haut, le quotient aurait été légèrement plus petit que 1/10. Mais dans aucun cas il ne vaut exactement 1/10 !
Donc l’ordinateur ne « voit » jamais 1/10 : ce qu’il voit est la fraction exacte donnée ci-dessus, la meilleure approximation utilisant les nombres à virgule flottante double précision de l“« IEEE-754 » :
>>> 0.1 * 2 ** 55
3602879701896397.0
Si nous multiplions cette fraction par 10**30, nous pouvons observer les valeurs de ses 55 décimales de poids fort :
>>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
La valeur stockée dans l’ordinateur est donc égale à 0,1000000000000000055511151231257827021181583404541015625. Au lieu d’afficher toutes les décimales, beaucoup de langages (dont les vieilles versions de Python) arrondissent le résultat à la 17e décimale significative :
>>> format(0.1, '.17f')
'0.10000000000000001'
Les modules fractions et decimal rendent simples ces calculs :
>>> from decimal import Decimal
>>> from fractions import Fraction
>>> Fraction.from_float(0.1)
Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)
>>> (0.1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)
>>> Decimal.from_float(0.1)
Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')
>>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
'0.10000000000000001'