# Fonctions mathématiques — `math`

Ce module fournit l'accès aux fonctions mathématiques définies par la norme C.

Ces fonctions ne peuvent pas être utilisées avec les nombres complexes ; si vous avez besoin de la prise en charge des nombres complexes, utilisez les fonctions du même nom du module `cmath`. La séparation entre les fonctions qui gèrent les nombres complexes et les autres vient du constat que tous les utilisateurs ne souhaitent pas acquérir le niveau mathématique nécessaire à la compréhension des nombres complexes. Recevoir une exception plutôt qu'un nombre complexe en retour d'une fonction permet au programmeur de déterminer immédiatement comment et pourquoi ce nombre a été généré, avant que celui-ci ne soit passé involontairement en paramètre d'une autre fonction.

Les fonctions suivantes sont fournies dans ce module. Sauf mention contraire explicite, toutes les valeurs de retour sont des flottants.

## Fonctions arithmétiques et de représentation

math.ceil(x)

  Return the ceiling of x, the smallest integer greater than or equal to x. If x is not a float, delegates to `x.__ceil__`, which should return an `Integral` value.

math.comb(n, k)

  Renvoie le nombre de façons de choisir k éléments parmi n de manière non-ordonnée et sans répétition.

  Vaut `n! / (k! * (n - k)!)` quand `k <= n` et zéro quand `k > n`.

  Also called the binomial coefficient because it is equivalent to the coefficient of k-th term in polynomial expansion of `(1 + x)ⁿ`.

  Lève une `TypeError` si un des paramètres n'est pas un entier. Lève une `ValueError` si un des paramètres est négatif.

  Nouveau dans la version 3.8.

math.copysign(x, y)

  Renvoie un flottant contenant la magnitude (valeur absolue) de x mais avec le signe de y. Sur les plates-formes prenant en charge les zéros signés, `copysign(1.0, -0.0)` renvoie `-1.0`.

math.fabs(x)

  Renvoie la valeur absolue de x.

math.factorial(n)

  Return n factorial as an integer. Raises `ValueError` if n is not integral or is negative.

  Obsolète depuis la version 3.9: Accepting floats with integral values (like `5.0`) is deprecated.

math.floor(x)

  Return the floor of x, the largest integer less than or equal to x. If x is not a float, delegates to `x.__floor__`, which should return an `Integral` value.

math.fmod(x, y)

  Renvoie `fmod(x, y)`, tel que défini par la bibliothèque C de la plate-forme. Notez que l'expression Python `x % y` peut ne pas renvoyer le même résultat. Le sens du standard C pour `fmod(x, y)` est d'être exactement (mathématiquement, à une précision infinie) égal à `x - n*y` pour un entier n tel que le résultat a le signe de x et une magnitude inférieure à `abs(y)`. L'expression Python `x % y` renvoie un résultat avec le signe de y, et peut ne pas être calculable exactement pour des arguments flottants. Par exemple : `fmod(-1e-100, 1e100)` est `-1e-100`, mais le résultat de l'expression Python `-1e-100 % 1e100` est `1e100-1e-100`, qui ne peut pas être représenté exactement par un flottant et donc qui est arrondi à `1e100`. Pour cette raison, la fonction `fmod()` est généralement privilégiée quand des flottants sont manipulés, alors que l'expression Python `x % y` est privilégiée quand des entiers sont manipulés.

math.frexp(x)

  Renvoie la mantisse et l'exposant de x dans un couple `(m, e)`. m est un flottant et e est un entier tels que `x == m * 2**e` exactement. Si x vaut zéro, renvoie `(0, 0)`, sinon `0.5 <= abs(m) < 1`. Ceci est utilisé pour « extraire » la représentation interne d'un flottant de manière portable.

math.fsum(iterable)

  Return an accurate floating point sum of values in the iterable. Avoids loss of precision by tracking multiple intermediate partial sums:

      >>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
      0.9999999999999999
      >>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
      1.0

  La précision de cet algorithme dépend des garanties arithmétiques de IEEE-754 et des cas standards où le mode d'arrondi est half-even. Sur certaines versions non Windows, la bibliothèque C sous-jacente utilise une addition par précision étendue et peut occasionnellement effectuer un double-arrondi sur une somme intermédiaire causant la prise d'une mauvaise valeur du bit de poids faible.

  Pour de plus amples discussions et deux approches alternatives, voir ASPN cookbook recipes for accurate floating point summation.

math.gcd(*integers)

  Return the greatest common divisor of the specified integer arguments. If any of the arguments is nonzero, then the returned value is the largest positive integer that is a divisor of all arguments. If all arguments are zero, then the returned value is `0`. `gcd()` without arguments returns `0`.

  Nouveau dans la version 3.5.

  Modifié dans la version 3.9: Added support for an arbitrary number of arguments. Formerly, only two arguments were supported.

math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

  Renvoie `True` si les valeurs a et b sont proches l'une de l'autre, et `False` sinon.

  Déterminer si deux valeurs sont considérées comme « proches » se fait à l'aide des tolérances absolues et relatives passées en paramètres.

  rel_tol est la tolérance relative — c'est la différence maximale permise entre a et b, relativement à la plus grande valeur de a ou de b. Par exemple, pour définir une tolérance de 5%,, précisez `rel_tol=0.05`. La tolérance par défaut est `1e-09`, ce qui assure que deux valeurs sont les mêmes à partir de la 9e décimale. rel_tol doit être supérieur à zéro.

  abs_tol est la tolérance absolue minimale — utile pour les comparaisons proches de zéro. abs_tol doit valoir au moins zéro.

  Si aucune erreur n'est rencontrée, le résultat sera : `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`.

  Les valeurs spécifiques suivantes : `NaN`, `inf`, et `-inf` définies dans la norme IEEE 754 seront manipulées selon les règles du standard IEEE. En particulier, `NaN` n'est considéré proche d'aucune autre valeur, `NaN` inclus. `inf` et `-inf` ne sont considérées proches que d'elles-mêmes.

  Nouveau dans la version 3.5.

  Voir aussi

  PEP 485 — Une fonction pour tester des quasi-égalités

math.isfinite(x)

  Renvoie `True` si n n'est ni infini, ni NaN, et `False` sinon. (Notez que `0.0` est considéré comme fini.)

  Nouveau dans la version 3.2.

math.isinf(x)

  Renvoie `True` si x vaut l'infini positif ou négatif, et `False` sinon.

math.isnan(x)

  Renvoie `True` si x est NaN (Not a Number, ou Pas un Nombre en français), et `False` sinon.

math.isqrt(n)

  Renvoie la racine carrée entière du nombre positif n. C'est la partie entière de la valeur exacte de la racine carrée de n ou, de manière équivalente, le plus grand entier a tel que a*² ≤ n.

  Pour certaines applications, il est plus pratique d'avoir le plus petit entier a tel que n ≤ a² ou, en d'autres termes, la partie entière de la valeur exacte de la racine carrée de n. Pour n positif, on peut le calculer avec `a = 1 + isqrt(n - 1)`.

  Nouveau dans la version 3.8.

math.lcm(*integers)

  Return the least common multiple of the specified integer arguments. If all arguments are nonzero, then the returned value is the smallest positive integer that is a multiple of all arguments. If any of the arguments is zero, then the returned value is `0`. `lcm()` without arguments returns `1`.

  Nouveau dans la version 3.9.

math.ldexp(x, i)

  Renvoie `x * (2**i)`. C'est essentiellement l'inverse de la fonction `frexp()`.

math.modf(x)

  Renvoie les parties entière et fractionnelle de x. Les deux résultats ont le signe de x et sont flottants.

math.nextafter(x, y)

  Renvoie la valeur flottante consécutive à x, dans la direction de y.

  Si x est égal à y, renvoie y.

  Exemples :

  - `math.nextafter(x, math.inf)` augmente de valeur : vers l'infini positif.

  - `math.nextafter(x, -math.inf)` baisse de valeur : vers l'infini négatif.

  - `math.nextafter(x, 0.0)` augmente ou baisse de valeur, vers zéro.

  - `math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x))` augmente ou baisse de valeur, en s'éloignant de zéro.

  Voir aussi : `math.ulp()`.

  Nouveau dans la version 3.9.

math.perm(n, k=None)

  Renvoie le nombre de façons de choisir k éléments parmi n de manière ordonnée sans répétition.

  Vaut `n! / (n - k)!` quand `k <= n` et vaut zéro quand `k > n`.

  Si k n'est pas défini ou vaut None, k prend par défaut la valeur n et la fonction renvoie alors `n!`.

  Lève une `TypeError` si un des paramètres n'est pas un entier. Lève une `ValueError` si un des paramètres est négatif.

  Nouveau dans la version 3.8.

math.prod(iterable, *, start=1)

  Calcule le produit de tous les éléments passés dans l'entrée iterable. La valeur de départ par défaut du produit vaut `1`.

  Quand l'itérable est vide, renvoie la valeur de départ. Cette fonction ne doit être utilisée qu'avec des valeurs numériques et peut rejeter les types non-numériques.

  Nouveau dans la version 3.8.

math.remainder(x, y)

  Renvoie le reste selon la norme IEEE 754 de x par rapport à y. Pour x fini et y fini non nul, il s'agit de la différence `x - n*y`, où `n` est l'entier le plus proche de la valeur exacte du quotient `x / y`. Si `x / y` est exactement à mi-chemin de deux entiers consécutifs, le plus proche entier pair est utilisé pour `n`. Ainsi, le reste `r = remainder(x, y)` vérifie toujours `abs(r) <= 0.5 * abs(y)`.

  Les cas spéciaux suivent la norme IEEE 754 : en particulier, `remainder(x, math.inf)` vaut x pour tout x fini, et `remainder(x, 0)` et `remainder(math.inf, x)` lèvent `ValueError` pour tout x non-NaN. Si le résultat de l'opération remainder est zéro, alors ce zéro aura le même signe que x.

  Sur les plates-formes utilisant la norme IEEE 754 pour les nombres à virgule flottante en binaire, le résultat de cette opération est toujours exactement représentable : aucune erreur d'arrondi n'est introduite.

  Nouveau dans la version 3.7.

math.trunc(x)

  Return x with the fractional part removed, leaving the integer part. This rounds toward 0: `trunc()` is equivalent to `floor()` for positive x, and equivalent to `ceil()` for negative x. If x is not a float, delegates to `x.__trunc__`, which should return an `Integral` value.

math.ulp(x)

  Return the value of the least significant bit of the float x:

  - If x is a NaN (not a number), return x.

  - If x is negative, return `ulp(-x)`.

  - If x is a positive infinity, return x.

  - If x is equal to zero, return the smallest positive denormalized representable float (smaller than the minimum positive normalized float, `sys.float_info.min`).

  - If x is equal to the largest positive representable float, return the value of the least significant bit of x, such that the first float smaller than x is `x - ulp(x)`.

  - Otherwise (x is a positive finite number), return the value of the least significant bit of x, such that the first float bigger than x is `x + ulp(x)`.

  ULP stands for "Unit in the Last Place".

  See also `math.nextafter()` and `sys.float_info.epsilon`.

  Nouveau dans la version 3.9.

Notez que les fonctions `frexp()` et `modf()` ont un système d'appel différent de leur homologue C : elles prennent un seul argument et renvoient une paire de valeurs au lieu de placer la seconde valeur de retour dans un paramètre de sortie (cela n'existe pas en Python).

Pour les fonctions `ceil()`, `floor()`, et `modf()`, notez que tous les nombres flottants de magnitude suffisamment grande sont des entiers exacts. Les flottants de Python n'ont généralement pas plus de 53 bits de précision (tels que le type C `double` de la plate-forme), en quel cas tout flottant x tel que `abs(x) >= 2**52` n'a aucun bit fractionnel.

## Fonctions logarithme et exponentielle

math.cbrt(x)

  Return the cube root of x.

  Nouveau dans la version 3.11.

math.exp(x)

  Renvoie e à la puissance x, où e = 2.718281… est la base des logarithmes naturels. Cela est en général plus précis que `math.e ** x` ou `pow(math.e, x)`.

math.exp2(x)

  Return 2 raised to the power x.

  Nouveau dans la version 3.11.

math.expm1(x)

  Return e raised to the power x, minus 1. Here e is the base of natural logarithms. For small floats x, the subtraction in `exp(x) - 1` can result in a significant loss of precision; the `expm1()` function provides a way to compute this quantity to full precision:

      >>> from math import exp, expm1
      >>> exp(1e-5) - 1  # gives result accurate to 11 places
      1.0000050000069649e-05
      >>> expm1(1e-5)    # result accurate to full precision
      1.0000050000166668e-05

  Nouveau dans la version 3.2.

math.log(x[, base])

  Avec un argument, renvoie le logarithme naturel de x (en base e).

  Avec deux arguments, renvoie le logarithme de x en la base donnée, calculé par `log(x)/log(base)`.

math.log1p(x)

  Renvoie le logarithme naturel de 1+x (en base e). Le résultat est calculé par un moyen qui reste exact pour x proche de zéro.

math.log2(x)

  Renvoie le logarithme en base 2 de x. C'est en général plus précis que `log(x, 2)`.

  Nouveau dans la version 3.3.

  Voir aussi

  `int.bit_length()` renvoie le nombre de bits nécessaires pour représenter un entier en binaire, en excluant le signe et les zéros de début.

math.log10(x)

  Renvoie le logarithme de x en base 10. C'est habituellement plus exact que `log(x, 10)`.

math.pow(x, y)

  Return `x` raised to the power `y`. Exceptional cases follow the IEEE 754 standard as far as possible. In particular, `pow(1.0, x)` and `pow(x, 0.0)` always return `1.0`, even when `x` is a zero or a NaN. If both `x` and `y` are finite, `x` is negative, and `y` is not an integer then `pow(x, y)` is undefined, and raises `ValueError`.

  À l'inverse de l'opérateur interne `**`, la fonction `math.pow()` convertit ses deux arguments en `float`. Utilisez `**` ou la primitive `pow()` pour calculer des puissances exactes d'entiers.

  Modifié dans la version 3.11: The special cases `pow(0.0, -inf)` and `pow(-0.0, -inf)` were changed to return `inf` instead of raising `ValueError`, for consistency with IEEE 754.

math.sqrt(x)

  Renvoie la racine carrée de x.

## Fonctions trigonométriques

math.acos(x)

  Return the arc cosine of x, in radians. The result is between `0` and `pi`.

math.asin(x)

  Return the arc sine of x, in radians. The result is between `-pi/2` and `pi/2`.

math.atan(x)

  Return the arc tangent of x, in radians. The result is between `-pi/2` and `pi/2`.

math.atan2(y, x)

  Renvoie `atan(y / x)`, en radians. Le résultat est entre `-pi` et `pi`. Le vecteur du plan allant de l'origine vers le point `(x, y)` forme cet angle avec l'axe X positif. L'intérêt de `atan2()` est que le signe des deux entrées est connu. Donc elle peut calculer le bon quadrant pour l'angle. par exemple `atan(1)` et `atan2(1, 1)` donnent tous deux `pi/4`, mais `atan2(-1, -1)` donne `-3*pi/4`.

math.cos(x)

  Renvoie le cosinus de x radians.

math.dist(p, q)

  Renvoie la distance Euclienne entre deux points p et q, passés comme des séquences (ou des itérables) de coordonnées. Les deux points doivent avoir la même dimension.

  À peu près équivalent à :

      sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))

  Nouveau dans la version 3.8.

math.hypot(*coordinates)

  Renvoie la norme Euclidienne, `sqrt(sum(x**2 for x in coordinates))`. C'est la norme du vecteur entre l'origine et le point donné par les coordonnées.

  Pour un point bi-dimensionnel `(x, y)`, c'est équivalent à calculer la valeur de l’hypoténuse d'un triangle rectangle en utilisant le théorème de Pythagore, `sqrt(x*x + y*y)`.

  Modifié dans la version 3.8: Ajout de la gestion des points à n-dimensions. Auparavant seuls les points bi-dimensionnels étaient gérés.

  Modifié dans la version 3.10: Improved the algorithm's accuracy so that the maximum error is under 1 ulp (unit in the last place). More typically, the result is almost always correctly rounded to within 1/2 ulp.

math.sin(x)

  Renvoie le sinus de x radians.

math.tan(x)

  Renvoie la tangente de x radians.

## Conversion angulaire

math.degrees(x)

  Convertit l'angle x de radians en degrés.

math.radians(x)

  Convertit l'ange x de degrés en radians.

## Fonctions hyperboliques

Hyperbolic functions are analogs of trigonometric functions that are based on hyperbolas instead of circles.

math.acosh(x)

  Renvoie l'arc cosinus hyperbolique de x.

math.asinh(x)

  Renvoie l'arc sinus hyperbolique de x.

math.atanh(x)

  Renvoie l'arc tangente hyperbolique de x.

math.cosh(x)

  Renvoie le cosinus hyperbolique de x.

math.sinh(x)

  Renvoie le sinus hyperbolique de x.

math.tanh(x)

  Renvoie la tangente hyperbolique de x.

## Fonctions spéciales

math.erf(x)

  Renvoie la fonction d'erreur en x.

  The `erf()` function can be used to compute traditional statistical functions such as the cumulative standard normal distribution:

      def phi(x):
          'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
          return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

  Nouveau dans la version 3.2.

math.erfc(x)

  Renvoie la fonction d'erreur complémentaire en x. La fonction d'erreur complémentaire est définie par `1.0 - erf(x)`. Elle est utilisée pour les grandes valeurs de x, où la soustraction en partant de 1,0 entraînerait une perte de précision.

  Nouveau dans la version 3.2.

math.gamma(x)

  Renvoie la fonction Gamma en x.

  Nouveau dans la version 3.2.

math.lgamma(x)

  Renvoie le logarithme naturel de la valeur absolue de la fonction gamma en x.

  Nouveau dans la version 3.2.

## Constantes

math.pi

  La constante mathématique π = 3.141592…, à la précision disponible.

math.e

  La constante mathématique e = 2.718281…, à la précision disponible.

math.tau

  La constante mathématique τ = 6.283185…, à la précision disponible. Tau est une constante du cercle égale à 2 *π*, le rapport de la circonférence d'un cercle à son rayon. Pour en apprendre plus sur Tau, regardez la vidéo de Vi Hart, Pi is (still) Wrong, et profitez-en pour célébrer le Jour de Tau en bavardant comme deux pies !

  Nouveau dans la version 3.6.

math.inf

  Un flottant positif infini. (Pour un infini négatif, utilisez `-math.inf`.) Équivalent au résultat de `float('inf')`.

  Nouveau dans la version 3.5.

math.nan

  A floating-point "not a number" (NaN) value. Equivalent to the output of `float('nan')`. Due to the requirements of the IEEE-754 standard, `math.nan` and `float('nan')` are not considered to equal to any other numeric value, including themselves. To check whether a number is a NaN, use the `isnan()` function to test for NaNs instead of `is` or `==`. Example:

      >>> import math
      >>> math.nan == math.nan
      False
      >>> float('nan') == float('nan')
      False
      >>> math.isnan(math.nan)
      True
      >>> math.isnan(float('nan'))
      True

  Nouveau dans la version 3.5.

  Modifié dans la version 3.11: It is now always available.

Particularité de l'implémentation CPython : Le module `math` consiste majoritairement en un conteneur pour les fonctions mathématiques de la bibliothèque C de la plate-forme. Le comportement dans les cas spéciaux suit l'annexe 'F' du standard C99 quand c'est approprié. L'implémentation actuelle lève une `ValueError` pour les opérations invalides telles que `sqrt(-1.0)` ou `log(0.0)` (où le standard C99 recommande de signaler que l'opération est invalide ou qu'il y a division par zéro), et une `OverflowError` pour les résultats qui débordent (par exemple `exp(1000.0)`). NaN ne sera renvoyé pour aucune des fonctions ci-dessus, sauf si au moins un des arguments de la fonction vaut NaN. Dans ce cas, la plupart des fonctions renvoient NaN, mais (à nouveau, selon l'annexe 'F' du standard C99) il y a quelques exceptions à cette règle, par exemple `pow(float('nan'), 0.0)` ou `hypot(float('nan'), float('inf'))`.

Notez que Python ne fait aucun effort pour distinguer les NaNs signalétiques des NaNs silencieux, et le comportement de signalement des NaNs reste non-spécifié. Le comportement standard est de traiter tous les NaNs comme s'ils étaient silencieux.

Voir aussi

Module `cmath`

  Version complexe de beaucoup de ces fonctions.