# Fonctions mathématiques pour nombres complexes — `cmath`

This module provides access to mathematical functions for complex numbers. The functions in this module accept integers, floating-point numbers or complex numbers as arguments. They will also accept any Python object that has either a `__complex__()` or a `__float__()` method: these methods are used to convert the object to a complex or floating-point number, respectively, and the function is then applied to the result of the conversion.

Note

For functions involving branch cuts, we have the problem of deciding how to define those functions on the cut itself. Following Kahan's "Branch cuts for complex elementary functions" paper, as well as Annex G of C99 and later C standards, we use the sign of zero to distinguish one side of the branch cut from the other: for a branch cut along (a portion of) the real axis we look at the sign of the imaginary part, while for a branch cut along the imaginary axis we look at the sign of the real part.

For example, the `cmath.sqrt()` function has a branch cut along the negative real axis. An argument of `complex(-2.0, -0.0)` is treated as though it lies below the branch cut, and so gives a result on the negative imaginary axis:

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
    -1.4142135623730951j

But an argument of `complex(-2.0, 0.0)` is treated as though it lies above the branch cut:

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
    1.4142135623730951j

## Conversion vers et à partir de coordonnées polaires

Un nombre complexe Python `z` est stocké de manière interne en coordonnées cartésiennes. Il est entièrement défini par sa partie réelle `z.real` et sa partie complexe `z.imag`. En d'autres termes :

    z == z.real + z.imag*1j

Les coordonnées polaires donnent une manière alternative de représenter un nombre complexe. En coordonnées polaires, un nombre complexe z est défini par son module r et par son argument (angle de phase) phi. Le module r est la distance entre z et l'origine, alors que l'argument phi est l'angle (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, ou sens trigonométrique), mesuré en radians, à partir de l'axe X positif, et vers le segment de droite joignant z à l'origine.

Les fonctions suivantes peuvent être utilisées pour convertir à partir des coordonnées rectangulaires natives vers les coordonnées polaires, et vice-versa.

cmath.phase(x)

  Return the phase of x (also known as the argument of x), as a float. `phase(x)` is equivalent to `math.atan2(x.imag, x.real)`. The result lies in the range [-π, π], and the branch cut for this operation lies along the negative real axis. The sign of the result is the same as the sign of `x.imag`, even when `x.imag` is zero:

      >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
      3.141592653589793
      >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
      -3.141592653589793

Note

Le module (valeur absolue) d'un nombre complexe x peut être calculé en utilisant la primitive `abs()`. Il n'y a pas de fonction spéciale du module `cmath` pour cette opération.

cmath.polar(x)

  Renvoie la représentation de x en coordonnées polaires. Renvoie une paire `(r, phi)` où r est le module de x et phi est l'argument de x. `polar(x)` est équivalent à `(abs(x), phase(x))`.

cmath.rect(r, phi)

  Renvoie le nombre complexe x dont les coordonnées polaires sont r et phi. Équivalent à `r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)`.

## Fonctions logarithme et exponentielle

cmath.exp(x)

  Renvoie e élevé à la puissance x, où e est la base des logarithmes naturels.

cmath.log(x[, base])

  Returns the logarithm of x to the given base. If the base is not specified, returns the natural logarithm of x. There is one branch cut, from 0 along the negative real axis to -∞.

cmath.log10(x)

  Renvoie le logarithme en base 10 de x. Elle a la même coupure que `log()`.

cmath.sqrt(x)

  Renvoie la racine carrée de x. Elle a la même coupure que `log()`.

## Fonctions trigonométriques

cmath.acos(x)

  Return the arc cosine of x. There are two branch cuts: One extends right from 1 along the real axis to ∞. The other extends left from -1 along the real axis to -∞.

cmath.asin(x)

  Renvoie l'arc sinus de x. Elle a les mêmes coupures que `acos()`.

cmath.atan(x)

  Return the arc tangent of x. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`.

cmath.cos(x)

  Renvoie le cosinus de x.

cmath.sin(x)

  Renvoie le sinus de x.

cmath.tan(x)

  Renvoie la tangente de x.

## Fonctions hyperboliques

cmath.acosh(x)

  Return the inverse hyperbolic cosine of x. There is one branch cut, extending left from 1 along the real axis to -∞.

cmath.asinh(x)

  Return the inverse hyperbolic sine of x. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`.

cmath.atanh(x)

  Return the inverse hyperbolic tangent of x. There are two branch cuts: One extends from `1` along the real axis to `∞`. The other extends from `-1` along the real axis to `-∞`.

cmath.cosh(x)

  Renvoie le cosinus hyperbolique de x.

cmath.sinh(x)

  Renvoie le sinus hyperbolique de x.

cmath.tanh(x)

  Renvoie la tangente hyperbolique de x.

## Fonctions de classifications

cmath.isfinite(x)

  Renvoie `True` si la partie réelle et la partie imaginaire de x sont finies, et `False` sinon.

  Nouveau dans la version 3.2.

cmath.isinf(x)

  Renvoie `True` si soit la partie réelle ou la partie imaginaire de x est infinie, et `False` sinon.

cmath.isnan(x)

  Renvoie `True` si soit la partie réelle ou la partie imaginaire de x est NaN, et `False` sinon.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

  Renvoie `True` si les valeurs a et b sont proches l'une de l'autre, et `False` sinon.

  Déterminer si deux valeurs sont proches se fait à l'aide des tolérances absolues et relatives données en paramètres.

  rel_tol est la tolérance relative -- c'est la différence maximale permise entre a et b, relativement à la plus grande valeur de a ou de b. Par exemple, pour définir une tolérance de 5%,, précisez `rel_tol=0.05`. La tolérance par défaut est `1e-09`, ce qui assure que deux valeurs sont les mêmes à partir de la 9e décimale. rel_tol doit être supérieur à zéro.

  abs_tol est la tolérance absolue minimale -- utile pour les comparaisons proches de zéro. abs_tol doit valoir au moins zéro.

  Si aucune erreur n'est rencontrée, le résultat sera : `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`.

  Les valeurs spécifiques suivantes : `NaN`, `inf`, et `-inf` définies dans la norme IEEE 754 seront manipulées selon les règles du standard IEEE. En particulier, `NaN` n'est considéré proche d'aucune autre valeur, `NaN` inclus. `inf` et `-inf` ne sont considérés proches que d'eux-mêmes.

  Nouveau dans la version 3.5.

  Voir aussi

  PEP 485 -- Une fonction pour tester des égalités approximées

## Constantes

cmath.pi

  La constante mathématique π, en tant que flottant.

cmath.e

  La constante mathématique e, en tant que flottant.

cmath.tau

  La constante mathématique τ, sous forme de flottant.

  Nouveau dans la version 3.6.

cmath.inf

  Nombre à virgule flottante positif infini. Équivaut à `float('inf')`.

  Nouveau dans la version 3.6.

cmath.infj

  Nombre complexe dont la partie réelle vaut zéro et la partie imaginaire un infini positif. Équivalent à `complex(0.0, float('inf'))`.

  Nouveau dans la version 3.6.

cmath.nan

  Un nombre à virgule flottante NaN (Not a number). Équivalent à `float('nan')`.

  Nouveau dans la version 3.6.

cmath.nanj

  Nombre complexe dont la partie réelle vaut zéro et la partie imaginaire vaut un NaN. Équivalent à `complex(0.0, float('nan'))`.

  Nouveau dans la version 3.6.

Notez que la sélection de fonctions est similaire, mais pas identique, à celles du module `math`. La raison d'avoir deux modules est que certains utilisateurs ne sont pas intéressés par les nombres complexes, et peut-être ne savent même pas ce qu'ils sont. Ils préféreraient alors que `math.sqrt(-1)` lève une exception au lieu de renvoyer un nombre complexe. Également, notez que les fonctions définies dans `cmath` renvoient toujours un nombre complexe, même si le résultat peut être exprimé à l'aide d'un nombre réel (en quel cas la partie imaginaire du complexe vaut zéro).

Une note sur les coupures : ce sont des courbes sur lesquelles la fonction n'est pas continue. Ce sont des caractéristiques nécessaires de beaucoup de fonctions complexes. Il est supposé que si vous avez besoin d'utiliser des fonctions complexes, vous comprendrez ce que sont les coupures. Consultez n'importe quel livre (pas trop élémentaire) sur les variables complexes pour plus d'informations. Pour des informations sur les choix des coupures à des fins numériques, voici une bonne référence :

Voir aussi

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165--211.