9.3. Fonctions mathématiques pour nombres complexes — "cmath"
*************************************************************

Ce module est toujours disponible. Il fournit l’accès aux fonctions
mathématiques pour les nombres complexes.Les fonctions de ce module
acceptent les entiers, les nombres flottants ou les nombres complexes
comme arguments. Elles accepteront également tout objet Python ayant
une méthode "__complex__()" ou "__float__()" : ces méthodes sont
utilisées pour convertir l’objet en un nombre complexe ou
respectivement un nombre flottant, et la fonction est ensuite
appliquée sur le résultat de la conversion.

Note: Sur les plate-formes  avec un support système et matériel des
  zéros signés, les fonctions incluant une coupure complexe sont
  continues *de chaque* côté de la coupure : le signe du zéro
  distingue les deux extrémités de la coupure. Sur les plate-formes ne
  supportant pas les zéros signés, la continuité est spécifiée en-
  dessous.


9.3.1. Conversion vers et à partir de coordonnées polaires
==========================================================

Un nombre complexe Python "z" est stocké de manière interne en
coordonnées *cartésiennes*. Il est entièrement défini par sa *partie
réelle* "z.real" et sa *partie complexe* "z.imag". En d’autres termes
:

   z == z.real + z.imag*1j

Les *coordonnées polaires* donnent une manière alternative de
représenter un nombre complexe. En coordonnées polaires, un nombre
complexe *z* est défini par son module *r* et par son argument (*angle
de phase*) *phi*. Le module *r* est la distance entre *z* et
l’origine, alors que l’argument *phi* est l’angle (dans le sens
inverse des aiguilles d’une montre, ou sens trigonométrique), mesuré
en radians, à partir de l’axe X positif, et vers le segment de droite
joignant *z* à l’origine.

Les fonctions suivantes peuvent être utilisées pour convertir à partir
des coordonnées rectangulaires natives vers les coordonnées polaires,
et vice-versa.

cmath.phase(x)

   Renvoie l’argument de *x*, dans un nombre flottant. "phase(x)" est
   équivalent à "math.atan2(x.imag, x.real)". Le résultat se situe
   dans l’intervalle [-π, +π], et la coupure par cette opération se
   situe sur l’axe X négatif, continue par au-dessus. Sur les systèmes
   supportant les zéros signés (ce qui inclut la plupart des systèmes
   utilisés actuellement), cela signifie que le signe du résultat est
   le même que "x.imag" même quand "x.imag" vaut zéro :

      >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
      3.1415926535897931
      >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
      -3.1415926535897931

   Nouveau dans la version 2.6.

Note: Le module (valeur absolue) d’un nombre complexe *x* peut être
  calculé en utilisant la primitive "abs()". Il n’y a pas de fonction
  spéciale du module "cmath" pour cette opération.

cmath.polar(x)

   Renvoie la représentation de *x* en coordonnées polaires. Renvoie
   une paire "(r, phi)" où *r* est le module de *x* et phi est
   l’argument de *x*. "polar(x)" est équivalent à "(abs(x),
   phase(x))".

   Nouveau dans la version 2.6.

cmath.rect(r, phi)

   Renvoie le nombre complexe *x* dont les coordonnées polaires sont
   *r* et *phi*. Équivalent à "r * (math.cos(phi) +
   math.sin(phi)*1j)".

   Nouveau dans la version 2.6.


9.3.2. Fonctions logarithme et exponentielle
============================================

cmath.exp(x)

   Renvoie la valeur exponentielle "e**x".

cmath.log(x[, base])

   Renvoie le logarithme de *x* dans la *base* précisée. Si la *base*
   n’est pas spécifiée, le logarithme *naturel* (népérien) de *x* est
   renvoyé. Il y a une coupure, partant de 0 sur l’axe réel négatif et
   vers "-∞", continue par au-dessus.

   Modifié dans la version 2.4: *base* argument added.

cmath.log10(x)

   Renvoie le logarithme en base 10 de *x*. Elle a la même coupure que
   "log()".

cmath.sqrt(x)

   Renvoie la racine carrée de *x*. Elle a la même coupure que
   "log()".


9.3.3. Fonctions trigonométriques
=================================

cmath.acos(x)

   Renvoie l’arc cosinus de *x*. Il y a deux coupures : une allant de
   1 sur l’axe réel vers ∞, continue par en-dessous ; l’autre allant
   de "-1" sur l’axe réel vers "-∞", continue par au-dessus.

cmath.asin(x)

   Renvoie l’arc sinus de *x*. Elle a les mêmes coupures que "acos()".

cmath.atan(x)

   Renvoie la tangente de *x*. l y a deux coupures : une allant de
   "1j" sur l’axe imaginaire vers "∞j", continue par la droite ;
   l’autre allant de "-1j" sur l’axe imaginaire vers "-∞j", continue
   par la gauche.

   Modifié dans la version 2.6: direction of continuity of upper cut
   reversed

cmath.cos(x)

   Renvoie le cosinus de *x*.

cmath.sin(x)

   Renvoie le sinus de *x*.

cmath.tan(x)

   Renvoie la tangente de *x*.


9.3.4. Fonctions hyperboliques
==============================

cmath.acosh(x)

   Renvoie l’arc cosinus hyperbolique de *x*. Il y a une coupure,
   allant de 1 sur l’axe réel vers "-∞", continue par au-dessus.

cmath.asinh(x)

   Renvoie l’arc sinus hyperbolique de *x*. Il y a deux coupures : une
   allant de "1j" sur l’axe imaginaire vers "∞j", continue par la
   droite ; l’autre allant de "-1j" sur l’axe imaginaire vers "∞j",
   continue par la gauche.

   Modifié dans la version 2.6: branch cuts moved to match those
   recommended by the C99 standard

cmath.atanh(x)

   Renvoie l’arc tangente hyperbolique de *x*. Il y a deux coupures :
   une allant de "1" sur l’axe réel allant vers "∞", continue par en-
   dessous ; l’autre allant de "-1" sur l’axe réel vers "-∞", continue
   par au-dessus.

   Modifié dans la version 2.6: direction of continuity of right cut
   reversed

cmath.cosh(x)

   Renvoie le cosinus hyperbolique de *x*.

cmath.sinh(x)

   Renvoie le sinus hyperbolique de *x*.

cmath.tanh(x)

   Renvoie la tangente hyperbolique de *x*.


9.3.5. Fonctions de classifications
===================================

cmath.isinf(x)

   Return "True" if the real or the imaginary part of x is positive or
   negative infinity.

   Nouveau dans la version 2.6.

cmath.isnan(x)

   Return "True" if the real or imaginary part of x is not a number
   (NaN).

   Nouveau dans la version 2.6.


9.3.6. Constantes
=================

cmath.pi

   La constante mathématique *π*, en tant que flottant.

cmath.e

   La constante mathématique *e*, en tant que flottant.

Notez que la sélection de fonctions est similaire, mais pas identique,
à celles du module "math". La raison d’avoir deux modules est que
certains utilisateurs ne sont pas intéressés par les nombres
complexes, et peut-être ne savent même pas ce qu’ils sont. Ils
préféreraient alors que "math.sqrt(-1)" lève une exception au lieu de
renvoyer un nombre complexe. Également, notez que les fonctions
définies dans "cmath" renvoient toujours un nombre complexe, même si
le résultat peut être exprimé à l’aide d’un nombre réel (en quel cas
la partie imaginaire du complexe vaut zéro).

Une note sur les *coupures* : ce sont des courbes sur lesquelles la
fonction n’est pas continue. Ce sont des caractéristiques nécessaires
de beaucoup de fonctions complexes. Il est supposé que si vous avez
besoin d’utiliser des fonctions complexes, vous comprendrez ce que
sont les coupures. Consultez n’importe quel livre (pas trop
élémentaire) sur les variables complexes pour plus d’informations.
Pour des informations sur les choix des coupures à des fins
numériques, voici une bonne référence :

Voir aussi: Kahan, W:  Branch cuts for complex elementary functions;
  or, Much ado about nothing’s sign bit.  In Iserles, A., and Powell,
  M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon
  Press (1987) pp165–211.
