`decimal` — Decimal fixed-point and floating-point arithmetic¶

Código fuente: Lib/decimal.py

The decimal module provides support for fast correctly rounded decimal floating-point arithmetic. It offers several advantages over the float datatype:

Decimal «se basa en un modelo de coma flotante que se diseñó pensando en las personas, y necesariamente tiene un principio rector supremo: las computadoras deben proporcionar una aritmética que funcione de la misma manera que la aritmética que las personas aprenden en la escuela.» – extracto (traducido) de la especificación de la aritmética decimal.
Los números decimales se pueden representar de forma exacta en coma flotante decimal. En cambio, números como 1.1 y 2.2 no tienen representaciones exactas en coma flotante binaria. Los usuarios finales normalmente no esperaran que 1.1 + 2.2 se muestre como 3.3000000000000003, como ocurre al usar la representación binaria en coma flotante.
La exactitud se traslada a la aritmética. En coma flotante decimal, 0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.3 es exactamente igual a cero. En coma flotante binaria, el resultado es 5.5511151231257827e-017. Aunque cercanas a cero, las diferencias impiden pruebas de igualdad confiables y las diferencias pueden acumularse. Por estas razones, se recomienda el uso de decimal en aplicaciones de contabilidad con estrictas restricciones de confiabilidad.
El módulo decimal incorpora una noción de dígitos significativos, de modo que 1.30 + 1.20 es 2.50. El cero final se mantiene para indicar el número de dígitos significativos. Esta es la representación habitual en aplicaciones monetarias. Para la multiplicación, el método de «libro escolar» utilizado usa todas las cifras de los multiplicandos. Por ejemplo, 1.3 * 1.2 es igual a 1.56, mientras que 1.30 * 1.20 es igual a 1.5600.
A diferencia del punto flotante binario basado en hardware, el módulo decimal tiene una precisión modificable por el usuario (por defecto es de 28 dígitos decimales) que puede ser tan grande como sea necesario para un problema dado:
```
>>> from decimal import *
>>> getcontext().prec = 6
>>> Decimal(1) / Decimal(7)
Decimal('0.142857')
>>> getcontext().prec = 28
>>> Decimal(1) / Decimal(7)
Decimal('0.1428571428571428571428571429')
```
Tanto la representación en coma flotante binaria como la decimal se implementan de acuerdo a estándares publicados. Mientras que el tipo incorporado float expone solo una pequeña parte de sus capacidades, el módulo decimal expone todos los componentes requeridos del estándar. Cuando es necesario, el desarrollador tiene control total sobre el redondeo y la gestión de las señales. Esto incluye la capacidad de forzar la aritmética exacta, utilizando excepciones para bloquear cualquier operación inexacta.
El módulo decimal fue diseñado para admitir «indiscriminadamente, tanto aritmética decimal exacta sin redondeo (a veces llamada aritmética de coma fija) como la aritmética de coma flotante con redondeo.» – extracto (traducido) de la especificación de la aritmética decimal.

El módulo está diseñado en torno a tres conceptos: el número decimal, el contexto aritmético y las señales.

Un número decimal es inmutable. Tiene un signo, un coeficiente y un exponente. Para conservar el número de dígitos significativos, los ceros iniciales no se truncan. Los números decimales también incluyen valores especiales como Infinity, -Infinity y NaN. El estándar también marca la diferencia entre -0 y +0.

El contexto aritmético es un entorno que permite especificar una precisión, reglas de redondeo, límites en los exponentes, flags que indican el resultado de las operaciones y habilitadores de trampas que especifican si las señales (reportadas durante operaciones ilegales) son tratadas o no como excepciones de Python. Las opciones de redondeo incluyen ROUND_CEILING, ROUND_DOWN, ROUND_FLOOR, ROUND_HALF_DOWN, ROUND_HALF_EVEN, ROUND_HALF_UP, ROUND_UP y ROUND_05UP.

Las señales son grupos de condiciones excepcionales que ocurren durante el cálculo. Dependiendo de las necesidades de la aplicación, las señales pueden ignorarse, tratarse como información o tratarse como excepciones. Las señales existentes en el módulo decimal son Clamped, InvalidOperation, DivisionByZero, Inexact, Rounded, Subnormal, Overflow, Underflow y FloatOperation.

Por cada señal hay un flag y un habilitador de trampa. Cuando ocurre una operación ilegal, su flag se establece en uno, luego, si su habilitador de trampa está establecido en uno, se lanza una excepción. La configuración de los flags es persistente, por lo que el usuario debe restablecerlos antes de comenzar un cálculo que desee monitorear.

Ver también

Especificación general de la aritmética decimal de IBM, The General Decimal Arithmetic Specification.

Tutorial de inicio rápido¶

El punto de partida habitual para usar decimales es importar el módulo, ver el contexto actual con getcontext() y, si es necesario, establecer nuevos valores para la precisión, el redondeo o trampas de señales habilitadas:

>>> from decimal import *
>>> getcontext()
Context(prec=28, rounding=ROUND_HALF_EVEN, Emin=-999999, Emax=999999,
        capitals=1, clamp=0, flags=[], traps=[Overflow, DivisionByZero,
        InvalidOperation])

>>> getcontext().prec = 7       # Set a new precision

Las instancias de la clase Decimal se pueden construir a partir de números enteros, cadenas de caracteres, flotantes o tuplas. La construcción a partir de un número entero o flotante realiza una conversión exacta del valor de ese número. Los números decimales incluyen valores especiales como NaN, que significa «No es un número», Infinity positivo y negativo o -0:

>>> getcontext().prec = 28
>>> Decimal(10)
Decimal('10')
>>> Decimal('3.14')
Decimal('3.14')
>>> Decimal(3.14)
Decimal('3.140000000000000124344978758017532527446746826171875')
>>> Decimal((0, (3, 1, 4), -2))
Decimal('3.14')
>>> Decimal(str(2.0 ** 0.5))
Decimal('1.4142135623730951')
>>> Decimal(2) ** Decimal('0.5')
Decimal('1.414213562373095048801688724')
>>> Decimal('NaN')
Decimal('NaN')
>>> Decimal('-Infinity')
Decimal('-Infinity')

Si la señal FloatOperation es atrapada, la mezcla accidental de decimales y flotantes en constructores o comparaciones de orden lanzará una excepción:

>>> c = getcontext()
>>> c.traps[FloatOperation] = True
>>> Decimal(3.14)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
decimal.FloatOperation: [<class 'decimal.FloatOperation'>]
>>> Decimal('3.5') < 3.7
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
decimal.FloatOperation: [<class 'decimal.FloatOperation'>]
>>> Decimal('3.5') == 3.5
True

Added in version 3.3.

La significación de un nuevo objeto Decimal es determinada únicamente por el número de dígitos ingresados. La precisión y el redondeo establecidos en el contexto solo entran en juego durante las operaciones aritméticas.

>>> getcontext().prec = 6
>>> Decimal('3.0')
Decimal('3.0')
>>> Decimal('3.1415926535')
Decimal('3.1415926535')
>>> Decimal('3.1415926535') + Decimal('2.7182818285')
Decimal('5.85987')
>>> getcontext().rounding = ROUND_UP
>>> Decimal('3.1415926535') + Decimal('2.7182818285')
Decimal('5.85988')

Se lanza una excepción InvalidOperation si durante la construcción de un objeto Decimal se exceden los límites internos de la versión de C:

>>> Decimal("1e9999999999999999999")
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
decimal.InvalidOperation: [<class 'decimal.InvalidOperation'>]

Distinto en la versión 3.3.

Decimals interact well with much of the rest of Python. Here is a small decimal floating-point flying circus:

>>> data = list(map(Decimal, '1.34 1.87 3.45 2.35 1.00 0.03 9.25'.split()))
>>> max(data)
Decimal('9.25')
>>> min(data)
Decimal('0.03')
>>> sorted(data)
[Decimal('0.03'), Decimal('1.00'), Decimal('1.34'), Decimal('1.87'),
 Decimal('2.35'), Decimal('3.45'), Decimal('9.25')]
>>> sum(data)
Decimal('19.29')
>>> a,b,c = data[:3]
>>> str(a)
'1.34'
>>> float(a)
1.34
>>> round(a, 1)
Decimal('1.3')
>>> int(a)
1
>>> a * 5
Decimal('6.70')
>>> a * b
Decimal('2.5058')
>>> c % a
Decimal('0.77')

Y algunas funciones matemáticas también están disponibles para Decimal:

>>> getcontext().prec = 28
>>> Decimal(2).sqrt()
Decimal('1.414213562373095048801688724')
>>> Decimal(1).exp()
Decimal('2.718281828459045235360287471')
>>> Decimal('10').ln()
Decimal('2.302585092994045684017991455')
>>> Decimal('10').log10()
Decimal('1')

El método quantize() redondea un número a un exponente fijo. Este método es útil para aplicaciones monetarias, que a menudo redondean los resultados a un número fijo de dígitos significativos:

>>> Decimal('7.325').quantize(Decimal('.01'), rounding=ROUND_DOWN)
Decimal('7.32')
>>> Decimal('7.325').quantize(Decimal('1.'), rounding=ROUND_UP)
Decimal('8')

Como se muestra arriba, la función getcontext() accede al contexto actual y permite cambiar la configuración. Este enfoque satisface las necesidades de la mayoría de las aplicaciones.

Para trabajos más avanzados, puede resultar útil crear contextos alternativos utilizando el constructor Context(). Para activar un contexto alternativo, usa la función setcontext().

De acuerdo con el estándar, el módulo decimal proporciona dos contextos estándar listos para usar, BasicContext y ExtendedContext. El primero es particularmente útil para la depuración, ya que muchas de las trampas de señales están habilitadas por defecto:

>>> myothercontext = Context(prec=60, rounding=ROUND_HALF_DOWN)
>>> setcontext(myothercontext)
>>> Decimal(1) / Decimal(7)
Decimal('0.142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857')

>>> ExtendedContext
Context(prec=9, rounding=ROUND_HALF_EVEN, Emin=-999999, Emax=999999,
        capitals=1, clamp=0, flags=[], traps=[])
>>> setcontext(ExtendedContext)
>>> Decimal(1) / Decimal(7)
Decimal('0.142857143')
>>> Decimal(42) / Decimal(0)
Decimal('Infinity')

>>> setcontext(BasicContext)
>>> Decimal(42) / Decimal(0)
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#143>", line 1, in -toplevel-
    Decimal(42) / Decimal(0)
DivisionByZero: x / 0

Los objetos Context también tienen flags de señalización para detectar condiciones excepcionales detectadas durante los cálculos. Estos flags permanecen habilitados hasta que se restablecen explícitamente. Por esta razón, suele ser buena idea restablecerlos mediante el método clear_flags() antes de proceder con cada conjunto de cálculos monitorizados.

>>> setcontext(ExtendedContext)
>>> getcontext().clear_flags()
>>> Decimal(355) / Decimal(113)
Decimal('3.14159292')
>>> getcontext()
Context(prec=9, rounding=ROUND_HALF_EVEN, Emin=-999999, Emax=999999,
        capitals=1, clamp=0, flags=[Inexact, Rounded], traps=[])

La entrada flags muestra que la aproximación racional de Pi fue redondeada (los dígitos más allá de la precisión especificada por el contexto se descartaron) y que el resultado es inexacto (algunos de los dígitos descartados no eran cero).

Las trampas de señales se habilitan a través del diccionario expuesto por el atributo traps del objeto Context:

>>> setcontext(ExtendedContext)
>>> Decimal(1) / Decimal(0)
Decimal('Infinity')
>>> getcontext().traps[DivisionByZero] = 1
>>> Decimal(1) / Decimal(0)
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#112>", line 1, in -toplevel-
    Decimal(1) / Decimal(0)
DivisionByZero: x / 0

La mayoría de los programas ajustan el contexto actual una sola vez, al comienzo del programa. Y, en muchas aplicaciones, los datos se convierten a Decimal mediante una única conversión dentro de un bucle. Con el contexto establecido y los decimales creados, la mayor parte del programa manipula los datos de la misma forma que con otros tipos numéricos de Python.

Objetos Decimal¶

class decimal.Decimal(value='0', context=None)¶

Construye un nuevo objeto Decimal basado en value.

value puede ser un entero, una cadena de caracteres, una tupla, un float u otro objeto Decimal. Si no se proporciona value, retorna Decimal('0'). Si value es una cadena, debe ajustarse a la sintaxis de cadena numérica decimal después de que los espacios en blanco iniciales y finales, así como los guiones bajos, sean eliminados:

sign           ::=  '+' | '-'
digit          ::=  '0' | '1' | '2' | '3' | '4' | '5' | '6' | '7' | '8' | '9'
indicator      ::=  'e' | 'E'
digits         ::=  digit [digit]...
decimal-part   ::=  digits '.' [digits] | ['.'] digits
exponent-part  ::=  indicator [sign] digits
infinity       ::=  'Infinity' | 'Inf'
nan            ::=  'NaN' [digits] | 'sNaN' [digits]
numeric-value  ::=  decimal-part [exponent-part] | infinity
numeric-string ::=  [sign] numeric-value | [sign] nan

También se permiten otros dígitos decimales Unicode en aquellos lugares en los que arriba aparece digit. Estos incluyen dígitos decimales de otros alfabetos (por ejemplo, dígitos del alfabeto árabe-índico y devanāgarī) junto con los dígitos de ancho completo desde '\uff10' a '\uff19'.

Si value es un objeto tuple, debe tener tres componentes, un signo (0 para positivo o 1 para negativo), un objeto tuple con los dígitos y un exponente entero. Por ejemplo, Decimal((0, (1, 4, 1, 4), -3)) retorna Decimal('1.414').

If value is a float, the binary floating-point value is losslessly converted to its exact decimal equivalent. This conversion can often require 53 or more digits of precision. For example, Decimal(float('1.1')) converts to Decimal('1.100000000000000088817841970012523233890533447265625').

La precisión de context no afecta a la cantidad de dígitos almacenados. Eso está determinado exclusivamente por el número de dígitos en value. Por ejemplo, Decimal('3.00000') registra los cinco ceros incluso si la precisión del contexto es solo tres.

El propósito del argumento context es determinar qué hacer si value es una cadena de caracteres mal formada. Si el contexto atrapa la señal InvalidOperation, se genera una excepción; de lo contrario, el constructor retorna un nuevo decimal con el valor NaN.

Una vez construidos, los objetos Decimal son inmutables.

Distinto en la versión 3.2: Ahora se permite que el argumento del constructor sea una instancia float.

Distinto en la versión 3.3: Los argumentos float ahora generan una excepción si se establece la trampa FloatOperation. Por defecto, la trampa está desactivada.

Distinto en la versión 3.6: Se permiten guiones bajos para la agrupación, como ocurre en el código con los literales enteros y de punto flotante.

Decimal floating-point objects share many properties with the other built-in numeric types such as float and int. All of the usual math operations and special methods apply. Likewise, decimal objects can be copied, pickled, printed, used as dictionary keys, used as set elements, compared, sorted, and coerced to another type (such as float or int).

Hay algunas pequeñas diferencias entre la aritmética en objetos decimales y la aritmética en enteros y flotantes. Cuando el operador de resto % se aplica a objetos Decimal, el signo del resultado es el signo del dividendo en lugar del signo del divisor:

>>> (-7) % 4
1
>>> Decimal(-7) % Decimal(4)
Decimal('-3')

El operador de división entera // se comporta de manera análoga, retornando la parte entera del cociente verdadero (truncando hacia cero) en lugar del resultado de aplicarle la función suelo. Esto se hace con la finalidad de preservar la identidad habitual x == (x // y) * y + x % y:

>>> -7 // 4
-2
>>> Decimal(-7) // Decimal(4)
Decimal('-1')

Los operadores % y // implementan las operaciones remainder y divide-integer (respectivamente) como se describe en la especificación.

Los objetos de la clase Decimal generalmente no se pueden combinar con flotantes o instancias de fractions.Fraction en operaciones aritméticas: un intento de agregar un objeto Decimal a un float, por ejemplo, lanzará una excepción TypeError. Sin embargo, es posible usar los operadores de comparación de Python para comparar una instancia de Decimal x con otro número y. Esto evita resultados confusos al hacer comparaciones de igualdad entre números de diferentes tipos.

Distinto en la versión 3.2: Las comparaciones de tipo mixto entre instancias de Decimal y otros tipos numéricos ahora son totalmente compatibles.

In addition to the standard numeric properties, decimal floating-point objects also have a number of specialized methods:

adjusted()¶: Retorna el exponente ajustado después de desplazar los dígitos del extremo derecho del coeficiente hasta que solo quede el dígito principal: Decimal('321e+5').adjusted() retorna siete. Se utiliza para determinar la posición del dígito más significativo con respecto al punto decimal.

as_integer_ratio()¶

Retorna un par de enteros (n, d) que representan la instancia de Decimal proporcionada como una fracción irreducible y con un denominador positivo:

>>> Decimal('-3.14').as_integer_ratio()
(-157, 50)

La conversión es exacta. Lanza una excepción OverflowError si se proporcionan valores infinitos y ValueError con valores NaN.

Added in version 3.6.

as_tuple()¶: Retorna una representación en forma de named tuple del número: DecimalTuple(sign, digits, exponent).

canonical()¶: Retorna la codificación canónica del argumento. Actualmente, la codificación de una instancia de Decimal es siempre canónica, por lo que esta operación retorna su argumento sin cambios.

compare(other, context=None)¶

Compara los valores de dos instancias de Decimal. El método compare() retorna una instancia de Decimal, y si alguno de los operandos es un NaN, el resultado es un NaN:

a or b is a NaN  ==> Decimal('NaN')
a < b            ==> Decimal('-1')
a == b           ==> Decimal('0')
a > b            ==> Decimal('1')

compare_signal(other, context=None)¶: Esta operación es idéntica al método compare(), excepto que todos los valores NaN generan una señal. Es decir, si ninguno de los operandos es un NaN señalizador, cualquier operando de NaN silencioso se trata como si fuera un NaN señalizador.

compare_total(other, context=None)¶

Compara dos operandos utilizando su representación abstracta en lugar de su valor numérico. Similar al método compare(), pero el resultado proporciona un ordenamiento total en las instancias de Decimal. Dos instancias de Decimal con el mismo valor numérico, pero diferentes representaciones, se comparan como desiguales usando este orden:

>>> Decimal('12.0').compare_total(Decimal('12'))
Decimal('-1')

Los NaN silenciosos y señalizadores también se incluyen en el ordenamiento total. El resultado de esta función es Decimal('0') si ambos operandos tienen la misma representación, Decimal('-1') si el primer operando es menor en el orden total que el segundo y Decimal('1') si el primer operando es mayor en el orden total que el segundo operando. Consulta las especificaciones para obtener detalles sobre el ordenamiento total.

Esta operación no se ve afectada por el contexto y es silenciosa: no se cambian los flags y no se realiza ningún redondeo. Como excepción, la versión de C puede lanzar InvalidOperation si el segundo operando no se puede convertir exactamente.

compare_total_mag(other, context=None)¶

Compara dos operandos usando su representación abstracta en lugar de su valor, como en compare_total(), pero ignorando el signo de cada operando. x.compare_total_mag(y) es equivalente a x.copy_abs().compare_total(y.copy_abs()).

Esta operación no se ve afectada por el contexto y es silenciosa: no se cambian los flags y no se realiza ningún redondeo. Como excepción, la versión de C puede lanzar InvalidOperation si el segundo operando no se puede convertir exactamente.

conjugate()¶: Simplemente retorna self (el propio objeto al que pertenece el método invocado). Este método existe solo para cumplir con la Especificación decimal.

copy_abs()¶: Retorna el valor absoluto del argumento. Esta operación no se ve afectada por el contexto y es silenciosa: no se modifican los flags y no se realiza ningún redondeo.

copy_negate()¶: Retorna la negación del argumento. Esta operación no se ve afectada por el contexto y es silenciosa: no se cambian los flags y no se realiza ningún redondeo.

copy_sign(other, context=None)¶

Retorna una copia del primer operando pero con el signo establecido para que sea el mismo que el del segundo operando. Por ejemplo:

>>> Decimal('2.3').copy_sign(Decimal('-1.5'))
Decimal('-2.3')

Esta operación no se ve afectada por el contexto y es silenciosa: no se cambian los flags y no se realiza ningún redondeo. Como excepción, la versión de C puede lanzar InvalidOperation si el segundo operando no se puede convertir exactamente.

exp(context=None)¶

Retorna el valor de la función exponencial (natural) e**x en el número dado. El resultado es correctamente redondeado utilizando el modo de redondeo ROUND_HALF_EVEN.

>>> Decimal(1).exp()
Decimal('2.718281828459045235360287471')
>>> Decimal(321).exp()
Decimal('2.561702493119680037517373933E+139')

classmethod from_float(f)¶

Constructor alternativo que acepta únicamente instancias de float o int.

Fíjate que Decimal.from_float(0.1) no es lo mismo que Decimal('0.1'). Dado que 0.1 no es exactamente representable en coma flotante binaria, el valor se almacena como el valor representable más cercano, que es 0x1.999999999999ap-4. Ese valor equivalente en decimal es 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625.

Nota

Desde Python 3.2 en adelante, una instancia de Decimal también se puede construir directamente desde una instancia de float.

>>> Decimal.from_float(0.1)
Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')
>>> Decimal.from_float(float('nan'))
Decimal('NaN')
>>> Decimal.from_float(float('inf'))
Decimal('Infinity')
>>> Decimal.from_float(float('-inf'))
Decimal('-Infinity')

Added in version 3.1.

fma(other, third, context=None)¶

Fusión de la multiplicación y la suma. Retorna self*other+third sin redondeo del producto intermedio self*other.

>>> Decimal(2).fma(3, 5)
Decimal('11')

is_canonical()¶: Retorna True si el argumento es canónico y False en caso contrario. Actualmente, una instancia de Decimal es siempre canónica, por lo que esta operación siempre retorna True.

is_finite()¶: Retorna True si el argumento es un número finito y False si el argumento es un valor infinito o un NaN.

is_infinite()¶: Retorna True si el argumento es un valor infinito positivo o negativo y False en caso contrario.

is_nan()¶: Retorna True si el argumento es un NaN (silencioso o señalizador) y False en caso contrario.

is_normal(context=None)¶: Retorna True si el argumento es un número finito normal. Retorna False si el argumento es cero, subnormal, infinito o un NaN.

is_qnan()¶: Retorna True si el argumento es un NaN silencioso y False en caso contrario.

is_signed()¶: Retorna True si el argumento tiene signo negativo y False en caso contrario. Ten en cuenta que tanto los ceros como los NaN pueden tener signo.

is_snan()¶: Retorna True si el argumento es un NaN señalizador y False en caso contrario.

is_subnormal(context=None)¶: Retorna True si el argumento es subnormal y False en caso contrario.

is_zero()¶: Retorna True si el argumento es un cero (positivo o negativo) y False en caso contrario.

ln(context=None)¶: Retorna el logaritmo natural (base e) del operando. El resultado es correctamente redondeado utilizando el modo de redondeo ROUND_HALF_EVEN.

log10(context=None)¶: Retorna el logaritmo en base diez del operando. El resultado es correctamente redondeado utilizando el modo de redondeo ROUND_HALF_EVEN.

logb(context=None)¶: Para un número distinto de cero, retorna el exponente ajustado de su operando como una instancia de Decimal. Si el operando es cero, se retorna Decimal('-Infinity') y se activa el flag DivisionByZero. Si el operando es infinito, se retorna Decimal('Infinity').

logical_and(other, context=None)¶: logic_and() es una operación lógica que toma dos operandos lógicos (consultar Operandos lógicos). El resultado es el and dígito por dígito de los dos operandos.

logical_invert(context=None)¶: logic_invert() es una operación lógica. El resultado es la inversión dígito a dígito del operando.

logical_or(other, context=None)¶: logical_or() es una operación lógica que toma dos operandos lógicos (consultar Operandos lógicos). El resultado es un or dígito a dígito de los dos operandos.

logical_xor(other, context=None)¶: logic_xor() es una operación lógica que toma dos operandos lógicos (consultar Operandos lógicos). El resultado es la disyunción exclusiva («exclusive or») dígito a dígito de ambos operandos.

max(other, context=None)¶: Como max(self, other), excepto que la regla de redondeo del contexto se aplica antes de retornar y que los valores NaN generan una señal o son ignorados (dependiendo del contexto y de si son señalizadores o silenciosos).

max_mag(other, context=None)¶: Similar al método max(), pero la comparación se realiza utilizando los valores absolutos de los operandos.

min(other, context=None)¶: Como min(self, other), excepto que la regla de redondeo del contexto se aplica antes de retornar y que los valores NaN generan una señal o se ignoran (según el contexto y si son señalizadores o no).

min_mag(other, context=None)¶: Similar al método min(), pero la comparación se realiza utilizando los valores absolutos de los operandos.

next_minus(context=None)¶: Retorna el número más grande representable en el contexto proporcionado (o en el contexto del hilo actual si no se proporciona un contexto) que sea más pequeño que el operando proporcionado.

next_plus(context=None)¶: Retorna el número más pequeño representable en el contexto proporcionado (o en el contexto del hilo actual si no se proporciona ningún contexto) que sea más grande que el operando proporcionado.

next_toward(other, context=None)¶: Si los dos operandos no son iguales, retorna el número más cercano al primer operando en la dirección del segundo operando. Si ambos operandos son numéricamente iguales, retorna una copia del primer operando con el signo establecido para que sea el mismo que el signo del segundo operando.

normalize(context=None)¶

Usado para producir valores canónicos de una clase de equivalencia dentro del contexto actual o del contexto especificado.

Este tiene la misma semántica que el operador unario +, excepto que si el resultado final es finito, entonces se reduce a su forma más simple, eliminando todos los ceros finales y preservando el signo. Es decir, que mientras que el coeficiente sea distinto de cero y múltiplo de 10, el coeficiente se divide por 10 y el exponente se incremente por 1. En otro caso (el coeficiente es cero), el exponente se establece en 0. En todos los casos el signo no se modifica.

Por ejemplo, Decimal('32.100') y Decimal('0.321000e+2') ambos se normalizan al valor equivalente Decimal('32.1').

Fíjate que el redondeo se aplica antes de reducir a la forma más simple.

En las últimas versiones de la especificación, esta operación también era conocida como reduce.

number_class(context=None)¶

Retorna una cadena de caracteres que describe la class del operando. El valor retornado es una de las siguientes diez cadenas de caracteres.

"-Infinity", que indica que el operando es un infinito negativo.
"-Normal", que indica que el operando es un número normal negativo.
"-Subnormal", que indica que el operando es negativo y subnormal.
"-Zero", que indica que el operando es un cero negativo.
"+Zero", que indica que el operando es un cero positivo.
"+Subnormal",que indica que el operando es positivo y subnormal.
"+Normal", que indica que el operando es un número normal positivo.
"+Infinity", que indica que el operando es un infinito positivo.
"NaN", que indica que el operando es un NaN (no es un número) silencioso.
"sNaN", que indica que el operando es un NaN (no es un número) señalizador.

quantize(exp, rounding=None, context=None)¶

Retorna un valor igual al primer operando después de ser redondeado y de asignarle el exponente del segundo operando.

>>> Decimal('1.41421356').quantize(Decimal('1.000'))
Decimal('1.414')

A diferencia de otras operaciones, se genera una señal InvalidOperation si la longitud del coeficiente después de la operación quantize es mayor que la precisión. Esto garantiza que, a menos que exista una condición de error, el exponente cuantificado sea siempre igual al del operando de la derecha.

Además, a diferencia de otras operaciones, quantize nunca genera una señal Underflow, incluso si el resultado es subnormal e inexacto.

Si el exponente del segundo operando es mayor que el del primero, puede ser necesario redondear. En este caso, el modo de redondeo está determinado por el argumento rounding, si se proporciona, o por el argumento context en caso contrario. Si no se proporciona ninguno de estos dos argumentos, se utiliza el modo de redondeo establecido en el contexto del hilo actual.

Se retorna un error siempre que el exponente resultante sea mayor que Emax o menor que Etiny().

radix()¶: Retorna Decimal(10), que es la raíz (base) en la que la clase Decimal hace toda su aritmética. Este método está incluido solo por compatibilidad con la especificación.

remainder_near(other, context=None)¶

Retorna el resto de dividir self entre other. Esto difiere de la operación self % other, en la que el signo del resto se elige para minimizar su valor absoluto. Más precisamente, el valor de retorno es self - n * other, donde n es el número entero más cercano al valor exacto de self / other. Si dos enteros están igualmente cerca, entonces el valor par es el elegido.

Si el resultado es cero, entonces su signo será el signo de self.

>>> Decimal(18).remainder_near(Decimal(10))
Decimal('-2')
>>> Decimal(25).remainder_near(Decimal(10))
Decimal('5')
>>> Decimal(35).remainder_near(Decimal(10))
Decimal('-5')

rotate(other, context=None)¶: Retorna el resultado de rotar los dígitos del primer operando en una cantidad especificada por el segundo operando. El segundo operando debe ser un número entero en el rango comprendido desde -precisión hasta precisión. El valor absoluto del segundo operando da el número de lugares a rotar. Si el segundo operando es positivo, la rotación es hacia la izquierda; de lo contrario, la rotación es hacia la derecha. El coeficiente del primer operando se rellena con ceros a la izquierda para satisfacer la precisión de longitud si es necesario. El signo y el exponente del primer operando no se modifican.

same_quantum(other, context=None)¶

Comprueba si self y other tienen el mismo exponente o si ambos son NaN.

Esta operación no se ve afectada por el contexto y es silenciosa: no se cambian los flags y no se realiza ningún redondeo. Como excepción, la versión de C puede lanzar InvalidOperation si el segundo operando no se puede convertir exactamente.

scaleb(other, context=None)¶: Retorna el primer operando con su exponente ajustado por el segundo. De manera equivalente, retorna el primer operando multiplicado por 10**other. El segundo operando debe ser un número entero.

shift(other, context=None)¶: Retorna el resultado de cambiar los dígitos del primer operando en una cantidad especificada por el segundo operando. El segundo operando debe ser un número entero en el rango comprendido desde -precisión hasta precisión. El valor absoluto del segundo operando da el número de lugares a desplazar. Si el segundo operando es positivo, el desplazamiento es hacia la izquierda; de lo contrario, el desplazamiento es hacia la derecha. Los dígitos desplazados en el coeficiente son ceros. El signo y el exponente del primer operando no se modifican.

sqrt(context=None)¶: Retorna la raíz cuadrada del argumento con precisión total.

to_eng_string(context=None)¶

Convierte a una cadena de caracteres, usando notación de ingeniería si se necesita un exponente.

La notación de ingeniería tiene como exponente un múltiplo de 3. Esto puede dejar hasta 3 dígitos a la izquierda del punto decimal y puede requerir la adición de uno o dos ceros finales.

Por ejemplo, este método convierte Decimal('123E+1') en Decimal('1.23E+3').

to_integral(rounding=None, context=None)¶: Idéntico al método to_integral_value(). El nombre to_integral se ha mantenido por compatibilidad con versiones anteriores.

to_integral_exact(rounding=None, context=None)¶: Redondea al entero más cercano, generando la señal Inexact o Rounded, según corresponda, si se produce un redondeo. El modo de redondeo está determinado por el parámetro rounding si es proporcionado, o por el establecido en el context proporcionado en caso contrario. Si no se proporciona ninguno de estos dos parámetros, se utiliza el modo de redondeo establecido en el contexto actual.

to_integral_value(rounding=None, context=None)¶: Redondea al entero más cercano sin generar la señal Inexact o Rounded. Si se proporciona, se aplica el método de redondeo especificado por rounding; en caso contrario, se utiliza el método de redondeo del context proporcionado o el del contexto actual.

Decimal numbers can be rounded using the round() function:

round(number)

round(number, ndigits)

If ndigits is not given or None, returns the nearest int to number, rounding ties to even, and ignoring the rounding mode of the Decimal context. Raises OverflowError if number is an infinity or ValueError if it is a (quiet or signaling) NaN.

If ndigits is an int, the context’s rounding mode is respected and a Decimal representing number rounded to the nearest multiple of Decimal('1E-ndigits') is returned; in this case, round(number, ndigits) is equivalent to self.quantize(Decimal('1E-ndigits')). Returns Decimal('NaN') if number is a quiet NaN. Raises InvalidOperation if number is an infinity, a signaling NaN, or if the length of the coefficient after the quantize operation would be greater than the current context’s precision. In other words, for the non-corner cases:

if ndigits is positive, return number rounded to ndigits decimal places;
if ndigits is zero, return number rounded to the nearest integer;
if ndigits is negative, return number rounded to the nearest multiple of 10**abs(ndigits).

For example:

>>> from decimal import Decimal, getcontext, ROUND_DOWN
>>> getcontext().rounding = ROUND_DOWN
>>> round(Decimal('3.75'))     # context rounding ignored
4
>>> round(Decimal('3.5'))      # round-ties-to-even
4
>>> round(Decimal('3.75'), 0)  # uses the context rounding
Decimal('3')
>>> round(Decimal('3.75'), 1)
Decimal('3.7')
>>> round(Decimal('3.75'), -1)
Decimal('0E+1')

Operandos lógicos¶

Los métodos logical_and(), logical_invert(), logical_or(), y logical_xor() esperan que sus argumentos sean operandos lógicos. Un operando lógico es una instancia de Decimal cuyo exponente y signo son ambos cero, y cuyos dígitos son todos 0 o 1.

Objetos context¶

Los contextos son entornos para operaciones aritméticas. Gobiernan la precisión, establecen reglas para el redondeo, determinan qué señales se tratan como excepciones y limitan el rango para los exponentes.

Cada hilo tiene su propio contexto actual, al que se accede o se reemplaza usando las funciones getcontext() y setcontext() respectivamente:

decimal.getcontext()¶: Retorna el contexto actual del hilo activo.

decimal.setcontext(c)¶: Establece c como contexto actual para el hilo activo.

También puedes usar la declaración with y la función localcontext() para cambiar temporalmente el contexto activo.

decimal.localcontext(ctx=None, **kwargs)¶

Retorna un gestor de contexto que establecerá el contexto actual para el hilo activo en una copia de ctx al ingresar en la sentencia with y restaurará el contexto anterior al salir de la misma. Si no se especifica ningún contexto, se utiliza una copia del contexto actual. El argumento kwargs se usa para establecer los atributos del nuevo contexto.

Por ejemplo, el siguiente código establece la precisión decimal actual en 42 lugares, realiza un cálculo y luego restaura automáticamente el contexto anterior:

from decimal import localcontext

with localcontext() as ctx:
    ctx.prec = 42   # Perform a high precision calculation
    s = calculate_something()
s = +s  # Round the final result back to the default precision

Usando argumentos de palabra clave, el código sería el siguiente:

from decimal import localcontext

with localcontext(prec=42) as ctx:
    s = calculate_something()
s = +s

Lanza TypeError si kwargs proporciona un atributo que Context no soporta. Lanza también TypeError o ValueError si kwargs proporciona un valor no válido para un atributo.

Distinto en la versión 3.11: localcontext() ahora admite la configuración de atributos de contexto mediante el uso de argumentos de palabra clave.

También se pueden crear nuevos contextos utilizando el constructor de la clase Context que se describe a continuación. Además, el módulo proporciona tres contextos prediseñados:

class decimal.BasicContext¶

Este es un contexto estándar definido por la Especificación general de la aritmética decimal. La precisión se establece en nueve. El redondeo se establece en ROUND_HALF_UP. Se restablecen todos los flags. Todas las trampas están habilitadas (las señales son tratadas como excepciones) excepto Inexact, Rounded y Subnormal.

Debido a que la mayoría de las trampas están habilitadas, este contexto es especialmente útil para la depuración.

class decimal.ExtendedContext¶

Este es un contexto estándar definido por la Especificación general de la aritmética decimal. La precisión se establece en nueve. El redondeo se establece en ROUND_HALF_EVEN. Se restablecen todos los flags. No se habilitan trampas (para que no se generen excepciones durante los cálculos).

Debido a que las trampas están deshabilitadas, este contexto es útil para aplicaciones que prefieren tener un valor NaN o Infinity como resultado en lugar de lanzar excepciones. Esto permite que una aplicación complete una ejecución en presencia de condiciones que, de otra manera, detendrían el programa.

class decimal.DefaultContext¶

Este contexto es utilizado por el constructor de la clase Context como un prototipo para nuevos contextos. Cambiar un campo (como la precisión) tiene el efecto de cambiar el valor predeterminado para los nuevos contextos creados por el constructor de Context.

Este contexto es más útil en entornos con múltiples hilos. Cambiar uno de los campos antes de que se inicien los hilos tiene el efecto de establecer valores predeterminados en todo el sistema. No se recomienda cambiar los campos después de que se hayan iniciado los hilos, ya que requeriría el uso de mecanismos de sincronización para evitar condiciones de carrera entre los hilos.

En entornos de un solo hilo, es preferible no utilizar este contexto en absoluto. En su lugar, simplemente crea contextos explícitamente como se describe a continuación.

Los valores predeterminados son Context.prec=28, Context.rounding=ROUND_HALF_EVEN, y trampas habilitadas para Overflow, InvalidOperation, y DivisionByZero.

Además de los tres contextos proporcionados, se pueden crear nuevos contextos mediante el constructor de la clase Context.

class decimal.Context(prec=None, rounding=None, Emin=None, Emax=None, capitals=None, clamp=None, flags=None, traps=None)¶

Crea un nuevo contexto. Si no se especifica un campo, o es None, los valores predeterminados se copian de DefaultContext. Si el campo flags no está especificado, o es None, se restablecen todas los flags.

prec es un número entero en el rango [1, MAX_PREC] que establece la precisión para las operaciones aritméticas en el contexto.

La opción rounding es una de las constantes enumeradas en la sección Rounding Modes.

Los campos traps y flags enumeran las señales que se deben establecer. Generalmente, los nuevos contextos solo deben establecer trampas y dejar los flags sin establecer.

Los campos Emin y Emax son números enteros que especifican los límites externos permitidos para los exponentes. Emin debe estar en el rango [MIN_EMIN, 0] y Emax en el rango [0, MAX_EMAX].

El campo capitals es 0 o 1 (por defecto). Si se establece en 1, los exponentes se imprimen usando una E mayúscula; de lo contrario, se usa una e minúscula: Decimal('6.02e+23').

El campo clamp es 0 (por defecto) o 1. Si se establece en 1, el exponente e representable en este contexto de una instancia de Decimal está estrictamente limitado al rango Emin - prec + 1 <= e <= Emax - prec + 1. Si clamp es 0, entonces se cumple una condición más laxa: el exponente ajustado de la instancia de Decimal es como máximo Emax. Cuando clamp es 1, cuando sea posible, se reducirá el exponente de un número normal grande y se agregarán el número correspondiente de ceros a su coeficiente, a fin de que se ajuste a las restricciones del exponente; esto conserva el valor del número pero conlleva una pérdida de información causada por los ceros finales significativos. Por ejemplo:

>>> Context(prec=6, Emax=999, clamp=1).create_decimal('1.23e999')
Decimal('1.23000E+999')

Un valor clamp de 1 permite la compatibilidad con los formatos de intercambio decimal de ancho fijo especificados en IEEE 754.

La clase Context define varios métodos de propósito general, así como una gran cantidad de métodos para hacer aritmética directamente en un contexto dado. Además, para cada uno de los métodos de la clase Decimal descritos anteriormente (con la excepción de los métodos adjusted() y as_tuple()) hay un método correspondiente en la clase Context. Por ejemplo, para una instancia de Context C y una instancia de Decimal x, C.exp(x) es equivalente a x.exp(context=C). Cada método Context acepta también un entero de Python (una instancia de int) en cualquier lugar donde se acepte una instancia de Decimal.

clear_flags()¶: Restablece todos los flags a 0.

clear_traps()¶: Restablece todas las trampas a 0.

Added in version 3.3.

copy()¶: Retorna un duplicado del contexto.

copy_decimal(num)¶: Retorna una copia de la instancia de Decimal num.

create_decimal(num)¶

Crea una nueva instancia de Decimal a partir de num pero usando self como contexto. A diferencia del constructor de Decimal, la precisión del contexto, el método de redondeo, los flags y las trampas se aplican a la conversión.

Esto es útil porque las constantes a menudo se proporcionan con una precisión mayor que la que necesita la aplicación. Otro beneficio es que el redondeo elimina inmediatamente los efectos no deseados de los dígitos más allá de la precisión actual. En el siguiente ejemplo, usar entradas no redondeadas significa que agregar cero a una suma puede cambiar el resultado:

>>> getcontext().prec = 3
>>> Decimal('3.4445') + Decimal('1.0023')
Decimal('4.45')
>>> Decimal('3.4445') + Decimal(0) + Decimal('1.0023')
Decimal('4.44')

Este método implementa la operación to-number de la especificación de IBM. Si el argumento es una cadena de caracteres, no se permiten espacios en blanco ni guiones bajos, ni al principio ni al final.

create_decimal_from_float(f)¶

Crea una nueva instancia de Decimal a partir de un flotante f, pero redondeando usando self como contexto. A diferencia del método de clase Decimal.from_float(), la precisión del contexto, el método de redondeo, los flags y las trampas se aplican a la conversión.

>>> context = Context(prec=5, rounding=ROUND_DOWN)
>>> context.create_decimal_from_float(math.pi)
Decimal('3.1415')
>>> context = Context(prec=5, traps=[Inexact])
>>> context.create_decimal_from_float(math.pi)
Traceback (most recent call last):
    ...
decimal.Inexact: None

Added in version 3.1.

Etiny()¶: Retorna un valor igual a Emin - prec + 1 que es el valor mínimo del exponente para resultados subnormales. Cuando ocurre un desbordamiento numérico negativo («underflow»), el exponente se establece en Etiny.

Etop()¶: Retorna un valor igual a Emax - prec + 1.

El enfoque habitual para trabajar con decimales es crear instancias de la clase Decimal y luego aplicar operaciones aritméticas que tienen lugar dentro del contexto actual para el hilo activo. Un enfoque alternativo es utilizar métodos de contexto para calcular dentro de un contexto específico. Los métodos son similares a los de la clase Decimal y aquí solo se relatan brevemente.

abs(x)¶: Retorna el valor absoluto de x.

add(x, y)¶: Retorna la suma de x e y.

canonical(x)¶: Retorna el mismo objeto Decimal x.

compare(x, y)¶: Compara x e y numéricamente.

compare_signal(x, y)¶: Compara los valores de los dos operandos numéricamente.

compare_total(x, y)¶: Compara los dos operandos utilizando su representación abstracta.

compare_total_mag(x, y)¶: Compara los dos operandos utilizando su representación abstracta, ignorando el signo.

copy_abs(x)¶: Retorna una copia de x con el signo establecido en 0.

copy_negate(x)¶: Retorna una copia de x con el signo invertido.

copy_sign(x, y)¶: Copia el signo de y en x.

divide(x, y)¶: Retorna x dividido entre y.

divide_int(x, y)¶: Retorna x dividido entre y, truncando el resultado a un número entero.

divmod(x, y)¶: Divide dos números y retorna la parte entera del resultado.

exp(x)¶: Retorna e ** x.

fma(x, y, z)¶: Retorna x multiplicado por y, más z.

is_canonical(x)¶: Retorna True si x está en forma canónica, en caso contrario retorna False.

is_finite(x)¶: Retorna True si x es un valor finito, en caso contrario retorna False.

is_infinite(x)¶: Retorna True si x es un valor infinito, en caso contrario retorna False.

is_nan(x)¶: Retorna True si x es un valor qNaN o sNaN , en caso contrario retorna False.

is_normal(x)¶: Retorna True si x es un número normal, en caso contrario retorna False.

is_qnan(x)¶: Retorna True si x es un NaN silencioso, en caso contrario retorna False.

is_signed(x)¶: Retorna True si x es un valor negativo, en caso contrario retorna False.

is_snan(x)¶: Retorna True si x es un NaN señalizador, en caso contrario retorna False.

is_subnormal(x)¶: Retorna True si x es un número subnormal, en caso contrario retorna False.

is_zero(x)¶: Retorna True si x es un cero, en caso contrario retorna False.

ln(x)¶: Retorna el logaritmo natural (base e) de x.

log10(x)¶: Retorna el logaritmo en base 10 de x.

logb(x)¶: Retorna el exponente de la magnitud del MSD («dígito más significativo») del operando.

logical_and(x, y)¶: Aplica la operación lógica and entre los dígitos de cada operando.

logical_invert(x)¶: Invierte todos los dígitos en x.

logical_or(x, y)¶: Aplica la operación lógica or entre los dígitos de cada operando.

logical_xor(x, y)¶: Aplica la operación lógica xor entre los dígitos de cada operando.

max(x, y)¶: Compara dos valores numéricamente y retorna el mayor de ellos.

max_mag(x, y)¶: Compara los valores numéricamente ignorando sus signos.

min(x, y)¶: Compara dos valores numéricamente y retorna el menor de ellos.

min_mag(x, y)¶: Compara los valores numéricamente ignorando sus signos.

minus(x)¶: Se corresponde con el operador unario de resta (prefijo) de Python.

multiply(x, y)¶: Retorna el producto de x por y.

next_minus(x)¶: Retorna el número más grande representable menor que x.

next_plus(x)¶: Retorna el número más pequeño representable mayor que x.

next_toward(x, y)¶: Retorna el número más cercano a x, en la dirección de y.

normalize(x)¶: Reduce x a su forma más simple.

number_class(x)¶: Retorna una cadena de caracteres indicando la clase de x.

plus(x)¶: Se corresponde con el operador unario de suma (prefijo) de Python. Esta operación aplica la precisión y el redondeo establecidos en el contexto, por lo que no es una operación de identidad.

power(x, y, modulo=None)¶

Retorna x elevado a la potencia y, reconduciendo al módulo modulo si se proporciona.

Con dos argumentos, calcula x**y. Si x es negativo, entonces y debe ser un entero. El resultado será inexacto, a menos que y sea un entero y el resultado sea finito y pueda expresarse exactamente con los dígitos de la “precisión” establecida. Se utiliza el modo de redondeo establecido en el contexto. Los resultados siempre se redondean correctamente en la versión de Python.

Decimal(0) ** Decimal(0) da como resultado InvalidOperation, y si InvalidOperation no es atrapada, entonces da como resultado Decimal('NaN').

Distinto en la versión 3.3: El módulo C calcula power() en términos de las funciones exp() y ln() redondeadas correctamente. El resultado está bien definido pero sólo «casi siempre correctamente redondeado».

Con tres argumentos, calcula (x**y) % modulo. Para la forma de tres argumentos, se mantienen las siguientes restricciones sobre los argumentos:

los tres argumentos deben ser enteros
y debe ser un valor no negativo
al menos uno, x o y , no debe ser cero
modulo no debe ser cero y tener como mínimo los dígitos de la “precisión”

El valor resultante de Context.power(x, y, modulo) es igual al valor que se obtendría calculando (x**y) % modulo con precisión ilimitada, la diferencia es que se calcula de manera más eficiente . El exponente del resultado es cero, independientemente de los exponentes de x, y y modulo. El resultado siempre es exacto.

quantize(x, y)¶: Retorna un valor igual a x (redondeado), pero que tiene el exponente de y.

radix()¶: Simplemente retorna 10, ya que es Decimal, :)

remainder(x, y)¶

Retorna el resto de la división entera.

El signo del resultado, si no es cero, es el mismo que el del dividendo original.

remainder_near(x, y)¶: Retorna x - y * n, donde n es el número entero más cercano al valor exacto de x / y (si el resultado es 0, entonces su signo será el signo de x).

rotate(x, y)¶: Retorna una copia de x rotada y veces.

same_quantum(x, y)¶: Retorna True si los dos operandos tienen el mismo exponente.

scaleb(x, y)¶: Retorna el primer operando después de agregar el segundo valor a su exponente.

shift(x, y)¶: Retorna una copia de x desplazada y veces.

sqrt(x)¶: Retorna la raíz cuadrada de un número no negativo para la precisión del contexto.

subtract(x, y)¶: Retorna la diferencia entre x e y.

to_eng_string(x)¶

Convierte a una cadena de caracteres, usando notación de ingeniería si se necesita un exponente.

La notación de ingeniería tiene como exponente un múltiplo de 3. Esto puede dejar hasta 3 dígitos a la izquierda del punto decimal y puede requerir la adición de uno o dos ceros finales.

to_integral_exact(x)¶: Redondea a un entero.

to_sci_string(x)¶: Convierte un número en una cadena de caracteres usando notación científica.

Constantes¶

Las constantes detalladas en esta sección solo son relevantes para el módulo de C. Se incluyen también en la versión pura de Python por compatibilidad.

	32-bit	64-bit
decimal.MAX_PREC¶	`425000000`	`999999999999999999`
decimal.MAX_EMAX¶	`425000000`	`999999999999999999`
decimal.MIN_EMIN¶	`-425000000`	`-999999999999999999`
decimal.MIN_ETINY¶	`-849999999`	`-1999999999999999997`

decimal.HAVE_THREADS¶: El valor es True. Está obsoleta, debido ha que Python ahora siempre tiene soporte para hilos.

Obsoleto desde la versión 3.9.

decimal.HAVE_CONTEXTVAR¶: El valor predeterminado es True. Si Python se configura usando --without-decimal-contextvar, la versión de C usa un contexto de hilos-locales en lugar de un contexto de corrutinas-locales y el valor de la constante es False. Esto es algo más rápido en algunos escenarios de contexto anidado.

Added in version 3.8.3.

Modos de redondeo¶

decimal.ROUND_CEILING¶: Redondear hacia Infinity.

decimal.ROUND_DOWN¶: Redondear hacia cero.

decimal.ROUND_FLOOR¶: Redondear hacia -Infinity.

decimal.ROUND_HALF_DOWN¶: Redondear al valor contiguo más cercano, con empates hacia cero.

decimal.ROUND_HALF_EVEN¶: Redondear al valor contiguo más cercano, con empates al entero par contiguo.

decimal.ROUND_HALF_UP¶: Redondear al valor contiguo más cercano, con empates alejándose de cero.

decimal.ROUND_UP¶: Redondear alejándose de cero.

decimal.ROUND_05UP¶: Si el último dígito después de redondear hacia cero es 0 ó 5, redondear alejándose de cero, en caso contrario, redondear hacia cero.

Señales¶

Las señales representan condiciones que surgen durante el cálculo. Cada una se corresponde con un solo flag de contexto y un habilitador de trampas de contexto.

El flag de contexto se establece siempre que se encuentra la condición. Después del cálculo, los flags pueden comprobarse con fines informativos (por ejemplo, para determinar si un cálculo fue exacto). Después de verificar los flags, asegúrate de borrarlos antes de comenzar con el siguiente cálculo.

Si el habilitador de trampas del contexto está configurado para la señal, entonces la condición hace que se lance una excepción de Python. Por ejemplo, si se establece la trampa DivisionByZero, se genera una excepción DivisionByZero al encontrar la condición.

class decimal.Clamped¶

Cambia un exponente para ajustar las restricciones de representación.

Normalmente, la restricción ocurre cuando un exponente cae fuera de los límites Emin y Emax del contexto. Si es posible, el exponente se reduce para ajustar agregando ceros al coeficiente.

class decimal.DecimalException¶: Clase base para otras señales. Es una subclase de ArithmeticError.

class decimal.DivisionByZero¶

Señala la división de un número no infinito entre cero.

Puede ocurrir en la división, en la división modular o al elevar un número a una potencia negativa. Si esta señal no es atrapada, se retorna Infinity o -Infinity, con el signo determinado por las entradas del cálculo.

class decimal.Inexact¶

Indica que se produjo un redondeo y el resultado no es exacto.

Señala que se descartaron dígitos distintos de cero durante el redondeo. Se retorna el resultado redondeado. El flag o la trampa de señal se utiliza para detectar cuando los resultados son inexactos.

class decimal.InvalidOperation¶

Señala que se realizó una operación no válida.

Indica que se solicitó una operación que no tiene lógica. Si esta señal no está atrapada, se retorna NaN. Las posibles causas incluyen:

Infinity - Infinity
0 * Infinity
Infinity / Infinity
x % 0
Infinity % x
sqrt(-x) and x > 0
0 ** 0
x ** (non-integer)
x ** Infinity

class decimal.Overflow¶

Desbordamiento numérico.

Indica que el exponente es mayor que Context.Emax después de que se haya producido el redondeo. Si no está atrapada, el resultado depende del modo de redondeo, ya sea tirando hacia adentro hasta el mayor número finito representable o redondeando hacia afuera a Infinity. En cualquier caso, también se activan las señales Inexact y Rounded.

class decimal.Rounded¶

Se produjo un redondeo, aunque posiblemente no hubo pérdida de información.

Señal lanzada cada vez que el redondeo descarta dígitos; incluso si esos dígitos son cero (como al redondear 5.00 a 5.0). Si no está atrapada, se retorna el resultado sin cambios. Esta señal se utiliza para detectar la pérdida de dígitos significativos.

class decimal.Subnormal¶

El exponente antes del redondeo era menor que Emin.

Ocurre cuando el resultado de una operación es subnormal (el exponente es demasiado pequeño). Si no está atrapada, se retorna el resultado sin cambios.

class decimal.Underflow¶

Desbordamiento numérico negativo con resultado redondeado a cero.

Ocurre cuando un resultado subnormal se lleva a cero mediante redondeo. Inexact y Subnormal también se señalan.

class decimal.FloatOperation¶

Habilita una semántica más estricta para mezclar flotantes y objetos Decimal.

Si la señal no está atrapada (predeterminado), se permite mezclar flotantes y objetos Decimal en el constructor de Decimal, en el método create_decimal() y en todos los operadores de comparación. Tanto la conversión como las comparaciones son exactas. Cualquier ocurrencia de una operación mixta se registra silenciosamente estableciendo FloatOperation a los flags del contexto. Las conversiones explícitas usando from_float() o create_decimal_from_float() no establecen el flag.

En caso contrario (la señal está atrapada), solo las comparaciones de igualdad y las conversiones explícitas permanecen silenciadas. Todas las demás operaciones mixtas lanzan una excepción FloatOperation.

La siguiente tabla resume la jerarquía de señales:

exceptions.ArithmeticError(exceptions.Exception)
    DecimalException
        Clamped
        DivisionByZero(DecimalException, exceptions.ZeroDivisionError)
        Inexact
            Overflow(Inexact, Rounded)
            Underflow(Inexact, Rounded, Subnormal)
        InvalidOperation
        Rounded
        Subnormal
        FloatOperation(DecimalException, exceptions.TypeError)

Floating-Point Notes¶

Mitigación del error de redondeo usando mayor precisión¶

El uso de la coma flotante decimal elimina el error de representación decimal (haciendo posible representar 0.1 de forma exacta). Sin embargo, algunas operaciones aún pueden incurrir en errores de redondeo cuando los dígitos distintos de cero exceden la precisión fija.

The effects of round-off error can be amplified by the addition or subtraction of nearly offsetting quantities resulting in loss of significance. Knuth provides two instructive examples where rounded floating-point arithmetic with insufficient precision causes the breakdown of the associative and distributive properties of addition:

# Examples from Seminumerical Algorithms, Section 4.2.2.
>>> from decimal import Decimal, getcontext
>>> getcontext().prec = 8

>>> u, v, w = Decimal(11111113), Decimal(-11111111), Decimal('7.51111111')
>>> (u + v) + w
Decimal('9.5111111')
>>> u + (v + w)
Decimal('10')

>>> u, v, w = Decimal(20000), Decimal(-6), Decimal('6.0000003')
>>> (u*v) + (u*w)
Decimal('0.01')
>>> u * (v+w)
Decimal('0.0060000')

El módulo decimal permite restaurar las identidades ampliando la precisión lo suficiente para evitar la pérdida de significación:

>>> getcontext().prec = 20
>>> u, v, w = Decimal(11111113), Decimal(-11111111), Decimal('7.51111111')
>>> (u + v) + w
Decimal('9.51111111')
>>> u + (v + w)
Decimal('9.51111111')
>>>
>>> u, v, w = Decimal(20000), Decimal(-6), Decimal('6.0000003')
>>> (u*v) + (u*w)
Decimal('0.0060000')
>>> u * (v+w)
Decimal('0.0060000')

Valores especiales¶

El sistema numérico para el módulo decimal proporciona valores especiales que incluyen: NaN, sNaN, -Infinity, Infinity, y dos ceros, +0 y -0.

Los infinitos se pueden construir directamente con Decimal('Infinity'). Además, pueden surgir al dividir entre cero cuando la señal DivisionByZero no es interceptada. Asimismo, cuando la señal Overflow no es interceptada, un infinito puede resultar del redondeo más allá de los límites del mayor número representable.

Los infinitos tienen signo (afín) y se pueden usar en operaciones aritméticas donde se tratan como números muy grandes e indeterminados. Por ejemplo, adicionar una constante a infinito resulta en otro infinito.

Algunas operaciones son indeterminadas y retornan NaN, o lanzan una excepción si la señal InvalidOperation es atrapada. Por ejemplo, 0/0 retorna NaN que significa «no es un número». Esta variedad de NaN es silenciosa y, una vez creada, fluirá a través de otros cálculos dando siempre como resultado otro NaN. Este comportamiento puede ser útil para una serie de cálculos a los que ocasionalmente les faltan entradas, permitiendo que el cálculo continúe mientras se marcan resultados específicos como no válidos.

Una variante es sNaN, que emite una señal en lugar de permanecer en silencio después de cada operación. Este es un valor de retorno útil cuando un resultado no válido requiere interrumpir un cálculo para un manejo especial.

El comportamiento de los operadores de comparación de Python puede ser un poco sorprendente cuando está involucrado un valor NaN. Una prueba de igualdad donde uno de los operandos es un NaN silencioso o señalizador siempre retorna False` (incluso cuando se hace Decimal('NaN')==Decimal('NaN')), mientras que una prueba de desigualdad siempre retorna True. Un intento de comparar dos objetos Decimal usando cualquiera de los operadores <, <=, > o >= lanzará la señal InvalidOperation si alguno de los operandos es NaN, y retornará False si esta señal no es capturada. Ten en cuenta que la Especificación General de la Aritmética Decimal no especifica el comportamiento de las comparaciones directas. Estas reglas para las comparaciones que involucran a NaN se tomaron del estándar IEEE 854 (consulta la Tabla 3 en la sección 5.7). Utiliza en su lugar los métodos compare() y compare_signal() para garantizar el cumplimiento estricto de los estándares.

Los ceros con signo pueden resultar de cálculos que desbordan la precisión establecida. Mantienen el signo que habría resultado si el cálculo se hubiera realizado con mayor precisión. Dado que su magnitud es cero, los ceros positivos y negativos se tratan como iguales y su signo es solo informativo.

In addition to the two signed zeros which are distinct yet equal, there are various representations of zero with differing precisions yet equivalent in value. This takes a bit of getting used to. For an eye accustomed to normalized floating-point representations, it is not immediately obvious that the following calculation returns a value equal to zero:

>>> 1 / Decimal('Infinity')
Decimal('0E-1000026')

Trabajando con hilos¶

La función getcontext() accede a un objeto Context diferente para cada hilo. Tener contextos de hilo separados significa que los hilos pueden realizar cambios (como getcontext().prec=10) sin interferir con otros hilos.

Asimismo, la función setcontext() asigna automáticamente su objetivo al hilo actual.

Si setcontext() no ha sido invocada antes de getcontext(), entonces getcontext() creará automáticamente un nuevo contexto para usar en el hilo actual.

El nuevo contexto es copiado a partir de un contexto prototipo llamado DefaultContext. Modifica directamente el objeto DefaultContext para controlar los valores predeterminados, de modo que cada hilo utilice los mismos valores en toda la aplicación. Esto debe hacerse antes de que se inicien los hilos, para evitar que tenga lugar una condición de carrera entre los mismos al invocar a getcontext(). Por ejemplo:

# Set applicationwide defaults for all threads about to be launched
DefaultContext.prec = 12
DefaultContext.rounding = ROUND_DOWN
DefaultContext.traps = ExtendedContext.traps.copy()
DefaultContext.traps[InvalidOperation] = 1
setcontext(DefaultContext)

# Afterwards, the threads can be started
t1.start()
t2.start()
t3.start()
 . . .

Casos prácticos¶

A continuación hay algunos casos prácticos que sirven como funciones de utilidad y que muestran formas de trabajar con la clase Decimal:

def moneyfmt(value, places=2, curr='', sep=',', dp='.',
             pos='', neg='-', trailneg=''):
    """Convert Decimal to a money formatted string.

    places:  required number of places after the decimal point
    curr:    optional currency symbol before the sign (may be blank)
    sep:     optional grouping separator (comma, period, space, or blank)
    dp:      decimal point indicator (comma or period)
             only specify as blank when places is zero
    pos:     optional sign for positive numbers: '+', space or blank
    neg:     optional sign for negative numbers: '-', '(', space or blank
    trailneg:optional trailing minus indicator:  '-', ')', space or blank

    >>> d = Decimal('-1234567.8901')
    >>> moneyfmt(d, curr='$')
    '-$1,234,567.89'
    >>> moneyfmt(d, places=0, sep='.', dp='', neg='', trailneg='-')
    '1.234.568-'
    >>> moneyfmt(d, curr='$', neg='(', trailneg=')')
    '($1,234,567.89)'
    >>> moneyfmt(Decimal(123456789), sep=' ')
    '123 456 789.00'
    >>> moneyfmt(Decimal('-0.02'), neg='<', trailneg='>')
    '<0.02>'

    """
    q = Decimal(10) ** -places      # 2 places --> '0.01'
    sign, digits, exp = value.quantize(q).as_tuple()
    result = []
    digits = list(map(str, digits))
    build, next = result.append, digits.pop
    if sign:
        build(trailneg)
    for i in range(places):
        build(next() if digits else '0')
    if places:
        build(dp)
    if not digits:
        build('0')
    i = 0
    while digits:
        build(next())
        i += 1
        if i == 3 and digits:
            i = 0
            build(sep)
    build(curr)
    build(neg if sign else pos)
    return ''.join(reversed(result))

def pi():
    """Compute Pi to the current precision.

    >>> print(pi())
    3.141592653589793238462643383

    """
    getcontext().prec += 2  # extra digits for intermediate steps
    three = Decimal(3)      # substitute "three=3.0" for regular floats
    lasts, t, s, n, na, d, da = 0, three, 3, 1, 0, 0, 24
    while s != lasts:
        lasts = s
        n, na = n+na, na+8
        d, da = d+da, da+32
        t = (t * n) / d
        s += t
    getcontext().prec -= 2
    return +s               # unary plus applies the new precision

def exp(x):
    """Return e raised to the power of x.  Result type matches input type.

    >>> print(exp(Decimal(1)))
    2.718281828459045235360287471
    >>> print(exp(Decimal(2)))
    7.389056098930650227230427461
    >>> print(exp(2.0))
    7.38905609893
    >>> print(exp(2+0j))
    (7.38905609893+0j)

    """
    getcontext().prec += 2
    i, lasts, s, fact, num = 0, 0, 1, 1, 1
    while s != lasts:
        lasts = s
        i += 1
        fact *= i
        num *= x
        s += num / fact
    getcontext().prec -= 2
    return +s

def cos(x):
    """Return the cosine of x as measured in radians.

    The Taylor series approximation works best for a small value of x.
    For larger values, first compute x = x % (2 * pi).

    >>> print(cos(Decimal('0.5')))
    0.8775825618903727161162815826
    >>> print(cos(0.5))
    0.87758256189
    >>> print(cos(0.5+0j))
    (0.87758256189+0j)

    """
    getcontext().prec += 2
    i, lasts, s, fact, num, sign = 0, 0, 1, 1, 1, 1
    while s != lasts:
        lasts = s
        i += 2
        fact *= i * (i-1)
        num *= x * x
        sign *= -1
        s += num / fact * sign
    getcontext().prec -= 2
    return +s

def sin(x):
    """Return the sine of x as measured in radians.

    The Taylor series approximation works best for a small value of x.
    For larger values, first compute x = x % (2 * pi).

    >>> print(sin(Decimal('0.5')))
    0.4794255386042030002732879352
    >>> print(sin(0.5))
    0.479425538604
    >>> print(sin(0.5+0j))
    (0.479425538604+0j)

    """
    getcontext().prec += 2
    i, lasts, s, fact, num, sign = 1, 0, x, 1, x, 1
    while s != lasts:
        lasts = s
        i += 2
        fact *= i * (i-1)
        num *= x * x
        sign *= -1
        s += num / fact * sign
    getcontext().prec -= 2
    return +s

Preguntas frecuentes sobre decimal¶

P. Es engorroso escribir decimal.Decimal('1234.5'). ¿Hay alguna forma de minimizar la escritura cuando se usa el intérprete interactivo?

R. Algunos usuarios abrevian el constructor a una sola letra:

>>> D = decimal.Decimal
>>> D('1.23') + D('3.45')
Decimal('4.68')

P. En una aplicación de coma fija con dos decimales, algunas entradas tienen muchos dígitos decimales y deben redondearse. En cambio, otras no tienen dígitos en exceso y deben ser validadas. ¿Qué métodos deben utilizarse?

R. El método quantize() redondea a un número fijo de decimales. Si se establece la trampa Inexact, también es útil para la validación:

>>> TWOPLACES = Decimal(10) ** -2       # same as Decimal('0.01')

>>> # Round to two places
>>> Decimal('3.214').quantize(TWOPLACES)
Decimal('3.21')

>>> # Validate that a number does not exceed two places
>>> Decimal('3.21').quantize(TWOPLACES, context=Context(traps=[Inexact]))
Decimal('3.21')

>>> Decimal('3.214').quantize(TWOPLACES, context=Context(traps=[Inexact]))
Traceback (most recent call last):
   ...
Inexact: None

P. Si tengo entradas validadas con dos dígitos decimales, ¿cómo mantengo eso invariante en una aplicación?

R. Algunas operaciones como la suma, la resta y la multiplicación por un número entero conservarán automáticamente el punto fijo. Otras operaciones, como la división y la multiplicación de números no enteros, cambiarán el número de lugares decimales y deberá aplicarse quantize() después de ellas:

>>> a = Decimal('102.72')           # Initial fixed-point values
>>> b = Decimal('3.17')
>>> a + b                           # Addition preserves fixed-point
Decimal('105.89')
>>> a - b
Decimal('99.55')
>>> a * 42                          # So does integer multiplication
Decimal('4314.24')
>>> (a * b).quantize(TWOPLACES)     # Must quantize non-integer multiplication
Decimal('325.62')
>>> (b / a).quantize(TWOPLACES)     # And quantize division
Decimal('0.03')

Al desarrollar aplicaciones de coma fija, es conveniente definir funciones para gestionar el paso quantize():

>>> def mul(x, y, fp=TWOPLACES):
...     return (x * y).quantize(fp)
...
>>> def div(x, y, fp=TWOPLACES):
...     return (x / y).quantize(fp)

>>> mul(a, b)                       # Automatically preserve fixed-point
Decimal('325.62')
>>> div(b, a)
Decimal('0.03')

P. Hay muchas formas de expresar un mismo valor. Los números 200, 200.000, 2E2 y .02E+4 tienen todos el mismo valor pero con varias precisiones. ¿Hay alguna manera de transformarlos en un único valor canónico reconocible?

R. El método normalize() mapea todos los valores equivalentes a un solo representante:

>>> values = map(Decimal, '200 200.000 2E2 .02E+4'.split())
>>> [v.normalize() for v in values]
[Decimal('2E+2'), Decimal('2E+2'), Decimal('2E+2'), Decimal('2E+2')]

P. ¿Cuándo se realiza el redondeo en un cálculo?

R. Se realiza después del cálculo. La filosofía de la especificación de decimal es que los números se consideran exactos y se crean independientemente del contexto actual. Pueden incluso tener más precisión que en el contexto actual. Los cálculo se procesan con esas entradas exactas y luego se aplica el redondeo (u otras operaciones de contexto) al resultado del cálculo:

>>> getcontext().prec = 5
>>> pi = Decimal('3.1415926535')   # More than 5 digits
>>> pi                             # All digits are retained
Decimal('3.1415926535')
>>> pi + 0                         # Rounded after an addition
Decimal('3.1416')
>>> pi - Decimal('0.00005')        # Subtract unrounded numbers, then round
Decimal('3.1415')
>>> pi + 0 - Decimal('0.00005').   # Intermediate values are rounded
Decimal('3.1416')

P. Algunos valores decimales siempre se imprimen usando notación exponencial. ¿Hay alguna forma de obtener una representación no exponencial?

R. Para algunos valores, la notación exponencial es la única forma de expresar el número de lugares significativos que tiene el coeficiente. Por ejemplo, expresar 5.0E+3 como 5000 mantiene el valor constante, pero no puede mostrar la significación de dos lugares que tiene el original.

Si una aplicación no necesita preocuparse por el seguimiento de significación, es fácil eliminar el exponente y los ceros finales, perdiendo significación, pero manteniendo el valor sin cambios:

>>> def remove_exponent(d):
...     return d.quantize(Decimal(1)) if d == d.to_integral() else d.normalize()

>>> remove_exponent(Decimal('5E+3'))
Decimal('5000')

P. ¿Hay alguna forma de convertir un flotante regular en un Decimal?

A. Yes, any binary floating-point number can be exactly expressed as a Decimal though an exact conversion may take more precision than intuition would suggest:

>>> Decimal(math.pi)
Decimal('3.141592653589793115997963468544185161590576171875')

P. Dentro de un cálculo complejo, cómo puedo asegurarme de que no he obtenido un resultado adulterado debido a una precisión insuficiente o anomalías de redondeo.

R. El módulo decimal facilita la comprobación de resultados. Una buena práctica es volver a ejecutar los cálculos con mayor precisión y con varios modos de redondeo. La obtención de resultados muy dispares indica una precisión insuficiente, problemas relacionados con el modo de redondeo, entradas mal acondicionadas o un algoritmo numéricamente inestable.

P. Noté que la precisión del contexto se aplica a los resultados de las operaciones pero no a las entradas. ¿Hay algo a tener en cuenta al mezclar valores con distintas precisiones?

R. Sí. El principio es que todos los valores se consideran exactos y también lo es la aritmética de esos valores. Solo se redondean los resultados. La ventaja para las entradas es que «lo que escribes es lo que obtienes». Una desventaja es que los resultados pueden parecer extraños si olvidas que las entradas no se han redondeado:

>>> getcontext().prec = 3
>>> Decimal('3.104') + Decimal('2.104')
Decimal('5.21')
>>> Decimal('3.104') + Decimal('0.000') + Decimal('2.104')
Decimal('5.20')

La solución es aumentar la precisión o forzar el redondeo de las entradas utilizando la operación unaria más:

>>> getcontext().prec = 3
>>> +Decimal('1.23456789')      # unary plus triggers rounding
Decimal('1.23')

Alternativamente, las entradas se pueden redondear en el momento que se crean usando el método Context.create_decimal():

>>> Context(prec=5, rounding=ROUND_DOWN).create_decimal('1.2345678')
Decimal('1.2345')

P. ¿La implementación de CPython es rápida para números grandes?

A. Yes. In the CPython and PyPy3 implementations, the C/CFFI versions of the decimal module integrate the high speed libmpdec library for arbitrary precision correctly rounded decimal floating-point arithmetic [1]. libmpdec uses Karatsuba multiplication for medium-sized numbers and the Number Theoretic Transform for very large numbers.

El contexto debe adaptarse para una aritmética de precisión arbitraria exacta. Emin y Emax siempre deben establecerse en sus valores máximos, clamp siempre debe ser 0 (el valor predeterminado). Establecer prec requiere cierto cuidado.

El enfoque más fácil para probar la aritmética bignum es usar también el valor máximo para prec [2]:

>>> setcontext(Context(prec=MAX_PREC, Emax=MAX_EMAX, Emin=MIN_EMIN))
>>> x = Decimal(2) ** 256
>>> x / 128
Decimal('904625697166532776746648320380374280103671755200316906558262375061821325312')

Para resultados inexactos, MAX_PREC es demasiado grande en plataformas de 64 bits y la memoria disponible será insuficiente:

>>> Decimal(1) / 3
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
MemoryError

En sistemas con sobreasignación (por ejemplo, Linux), un enfoque más sofisticado es establecer prec a la cantidad de RAM disponible. Supongamos que tenemos 8GB de RAM y esperamos 10 operandos simultáneos usando un máximo de 500 MB cada uno:

>>> import sys
>>>
>>> # Maximum number of digits for a single operand using 500MB in 8-byte words
>>> # with 19 digits per word (4-byte and 9 digits for the 32-bit build):
>>> maxdigits = 19 * ((500 * 1024**2) // 8)
>>>
>>> # Check that this works:
>>> c = Context(prec=maxdigits, Emax=MAX_EMAX, Emin=MIN_EMIN)
>>> c.traps[Inexact] = True
>>> setcontext(c)
>>>
>>> # Fill the available precision with nines:
>>> x = Decimal(0).logical_invert() * 9
>>> sys.getsizeof(x)
524288112
>>> x + 2
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  decimal.Inexact: [<class 'decimal.Inexact'>]

En general (y especialmente en sistemas sin sobreasignación), se recomienda estimar límites aún más estrictos y establecer la trampa Inexact si se espera que todos los cálculos sean exactos.

`decimal` — Decimal fixed-point and floating-point arithmetic¶

Tutorial de inicio rápido¶

Objetos Decimal¶

Operandos lógicos¶

Objetos context¶

Constantes¶

Modos de redondeo¶

Señales¶

Floating-Point Notes¶

Mitigación del error de redondeo usando mayor precisión¶

Valores especiales¶

Trabajando con hilos¶

Casos prácticos¶

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