15. Aritmética de Punto Flotante: Problemas y Limitaciones
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Floating-point numbers are represented in computer hardware as base 2
(binary) fractions.  For example, the **decimal** fraction "0.125" has
value 1/10 + 2/100 + 5/1000, and in the same way the **binary**
fraction "0.001" has value 0/2 + 0/4 + 1/8. These two fractions have
identical values, the only real difference being that the first is
written in base 10 fractional notation, and the second in base 2.

Desafortunadamente, la mayoría de las fracciones decimales no pueden
representarse exactamente como fracciones binarias.  Como
consecuencia, en general los números de punto flotante decimal que
ingresás en la computadora son sólo aproximados por los números de
punto flotante binario que realmente se guardan en la máquina.

El problema es más fácil de entender primero en base 10.  Considerá la
fracción 1/3.  Podés aproximarla como una fracción de base 10

   0.3

...o, mejor,

   0.33

...o, mejor,

   0.333

...y así.  No importa cuantos dígitos desees escribir, el resultado
nunca será exactamente 1/3, pero será una aproximación cada vez mejor
de 1/3.

De la misma manera, no importa cuantos dígitos en base 2 quieras usar,
el valor decimal 0.1 no puede representarse exactamente como una
fracción en base 2.  En base 2, 1/10 es la siguiente fracción que se
repite infinitamente:

   0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

Frená en cualquier número finito de bits, y tendrás una aproximación.
En la mayoría de las máquinas hoy en día, los float se aproximan
usando una fracción binaria con el numerador usando los primeros 53
bits con el bit más significativos y el denominador como una potencia
de dos.  En el caso de 1/10, la fracción binaria es "3602879701896397
/ 2 ** 55" que está cerca pero no es exactamente el valor verdadero de
1/10.

La mayoría de los usuarios no son conscientes de esta aproximación por
la forma en que se muestran los valores.  Python solamente muestra una
aproximación decimal al valor verdadero decimal de la aproximación
binaria almacenada por la máquina.  En la mayoría de las máquinas, si
Python fuera a imprimir el verdadero valor decimal de la aproximación
binaria almacenada para 0.1, debería mostrar

   >>> 0.1
   0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

Esos son más dígitos que lo que la mayoría de la gente encuentra útil,
por lo que Python mantiene manejable la cantidad de dígitos al mostrar
en su lugar un valor redondeado

   >>> 1 / 10
   0.1

Sólo recordá que, a pesar de que el valor mostrado resulta ser
exactamente 1/10, el valor almacenado realmente es la fracción binaria
más cercana posible.

Interesantemente, hay varios números decimales que comparten la misma
fracción binaria más aproximada. Por ejemplo, los números "0.1",
"0.10000000000000001" y
"0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625" son todos
aproximados por "3602879701896397 / 2 ** 55".  Ya que todos estos
valores decimales comparten la misma aproximación, se podría mostrar
cualquiera de ellos para preservar el invariante "eval(repr(x)) == x".

Históricamente, el prompt de Python y la función integrada "repr()"
eligieron el valor con los 17 dígitos, "0.10000000000000001".  Desde
Python 3.1, en la mayoría de los sistemas Python ahora es capaz de
elegir la forma más corta de ellos y mostrar "0.1".

Notá que esta es la verdadera naturaleza del punto flotante binario:
no es un error de Python, y tampoco es un error en tu código.  Verás
lo mismo en todos los lenguajes que soportan la aritmética de punto
flotante de tu hardware (a pesar de que en algunos lenguajes por
omisión no *muestren* la diferencia, o no lo hagan en todos los modos
de salida).

Para una salida más elegante, quizás quieras usar el formateo de
cadenas de texto para generar un número limitado de dígitos
significativos:

   >>> format(math.pi, '.12g')  # give 12 significant digits
   '3.14159265359'

   >>> format(math.pi, '.2f')   # give 2 digits after the point
   '3.14'

   >>> repr(math.pi)
   '3.141592653589793'

Es importante darse cuenta que esto es, realmente, una ilusión: estás
simplemente redondeando al *mostrar* el valor verdadero de la máquina.

Una ilusión puede generar otra.  Por ejemplo, ya que 0.1 no es
exactamente 1/10, sumar tres veces 0.1 podría también no generar
exactamente 0.3:

   >>> .1 + .1 + .1 == .3
   False

También, ya que 0.1 no puede acercarse más al valor exacto de 1/10 y
0.3 no puede acercarse más al valor exacto de 3/10, redondear primero
con la función "round()" no puede ayudar:

   >>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
   False

A pesar que los números no pueden acercarse a los valores exactos que
pretendemos, la función "round()" puede ser útil para redondear a
posteriori, para que los resultados con valores inexactos se puedan
comparar entre sí:

   >>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
   True

Binary floating-point arithmetic holds many surprises like this.  The
problem with "0.1" is explained in precise detail below, in the
"Representation Error" section.  See Examples of Floating Point
Problems for a pleasant summary of how binary floating-point works and
the kinds of problems commonly encountered in practice.  Also see The
Perils of Floating Point for a more complete account of other common
surprises.

Como dice cerca del final, "no hay respuestas fáciles".  A pesar de
eso, ¡no le tengas mucho miedo al punto flotante!  Los errores en las
operaciones flotantes de Python se heredan del hardware de punto
flotante, y en la mayoría de las máquinas están en el orden de no más
de una 1 parte en 2**53 por operación.  Eso es más que adecuado para
la mayoría de las tareas, pero necesitás tener en cuenta que no es
aritmética decimal, y que cada operación de punto flotante sufre un
nuevo error de redondeo.

A pesar de que existen casos patológicos, para la mayoría de usos
casuales de la aritmética de punto flotante al final verás el
resultado que esperás si simplemente redondeás lo que mostrás de tus
resultados finales al número de dígitos decimales que esperás.
"str()" es normalmente suficiente, y para un control más fino mirá los
parámetros del método de formateo "str.format()" en Formato de cadena
de caracteres personalizado.

Para los casos de uso que necesitan una representación decimal exacta,
probá el módulo "decimal", que implementa aritmética decimal útil para
aplicaciones de contabilidad y de alta precisión.

El módulo "fractions" soporta otra forma de aritmética exacta, ya que
implementa aritmética basada en números racionales (por lo que números
como 1/3 pueden ser representados exactamente).

If you are a heavy user of floating-point operations you should take a
look at the NumPy package and many other packages for mathematical and
statistical operations supplied by the SciPy project. See
<https://scipy.org>.

Python provee herramientas que pueden ayudar en esas raras ocasiones
cuando realmente *querés* saber el valor exacto de un float. El método
"float.as_integer_ratio()" expresa el valor del float como una
fracción:

   >>> x = 3.14159
   >>> x.as_integer_ratio()
   (3537115888337719, 1125899906842624)

Ya que la fracción es exacta, se puede usar para recrear sin pérdidas
el valor original:

   >>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
   True

El método "float.hex()" expresa un float en hexadecimal (base 16),
nuevamente retornando el valor exacto almacenado por tu computadora:

   >>> x.hex()
   '0x1.921f9f01b866ep+1'

Esta representación hexadecimal precisa se puede usar para reconstruir
el valor exacto del float:

   >>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
   True

Ya que la representación es exacta, es útil para portar valores a
través de diferentes versiones de Python de manera confiable
(independencia de plataformas) e intercambiar datos con otros
lenguajes que soportan el mismo formato (como Java y C99).

Otra herramienta útil es la función "math.fsum()" que ayuda a mitigar
la pérdida de precisión durante la suma.  Esta función lleva la cuenta
de "dígitos perdidos" mientras se suman los valores en un total.  Eso
puede hacer una diferencia en la exactitud de lo que se va sumando
para que los errores no se acumulen al punto en que afecten el total
final:

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True


15.1. Error de Representación
=============================

Esta sección explica el ejemplo "0.1" en detalle, y muestra como en la
mayoría de los casos vos mismo podés realizar un análisis exacto como
este. Se asume un conocimiento básico de la representación de punto
flotante binario.

*Error de representación* se refiere al hecho de que algunas (la
mayoría) de las fracciones decimales no pueden representarse
exactamente como fracciones binarias (en base 2).  Esta es la razón
principal de por qué Python (o Perl, C, C++, Java, Fortran, y tantos
otros) frecuentemente no mostrarán el número decimal exacto que
esperás.

Why is that?  1/10 is not exactly representable as a binary fraction.
Since at least 2000, almost all machines use IEEE 754 binary floating-
point arithmetic, and almost all platforms map Python floats to IEEE
754 binary64 "double precision" values.  IEEE 754 binary64 values
contain 53 bits of precision, so on input the computer strives to
convert 0.1 to the closest fraction it can of the form *J*/2***N*
where *J* is an integer containing exactly 53 bits. Rewriting

   1 / 10 ~= J / (2**N)

...como

   J ~= 2**N / 10

...y recordando que *J* tiene exactamente 53 bits (es ">= 2**52" pero
"< 2**53"), el mejor valor para *N* es 56:

   >>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
   True

O sea, 56 es el único valor para *N* que deja *J* con exactamente 53
bits. El mejor valor posible para *J* es entonces el cociente
redondeado:

   >>> q, r = divmod(2**56, 10)
   >>> r
   6

Ya que el resto es más que la mitad de 10, la mejor aproximación se
obtiene redondeándolo:

   >>> q+1
   7205759403792794

Therefore the best possible approximation to 1/10 in IEEE 754 double
precision is:

   7205759403792794 / 2 ** 56

El dividir tanto el numerador como el denominador reduce la fracción
a:

   3602879701896397 / 2 ** 55

Notá que como lo redondeamos, esto es un poquito más grande que 1/10;
si no lo hubiéramos redondeado, el cociente hubiese sido un poquito
menor que 1/10.  ¡Pero no hay caso en que sea *exactamente* 1/10!

So the computer never "sees" 1/10:  what it sees is the exact fraction
given above, the best IEEE 754 double approximation it can get:

>>> 0.1 * 2 ** 55
3602879701896397.0

Si multiplicamos esa fracción por 10**55, podemos ver el valor hasta
los 55 dígitos decimales:

   >>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
   1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

...lo que significa que el valor exacto almacenado en la computadora
es igual al valor decimal
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625. En lugar de
mostrar el valor decimal completo, muchos lenguajes (incluyendo
versiones más viejas de Python), redondean el resultado a 17 dígitos
significativos:

   >>> format(0.1, '.17f')
   '0.10000000000000001'

Los módulos "fractions" y "decimal" hacen fácil estos cálculos:

   >>> from decimal import Decimal
   >>> from fractions import Fraction

   >>> Fraction.from_float(0.1)
   Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> (0.1).as_integer_ratio()
   (3602879701896397, 36028797018963968)

   >>> Decimal.from_float(0.1)
   Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

   >>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
   '0.10000000000000001'
