# `cmath` – Función matemática para números complejos

This module provides access to mathematical functions for complex numbers. The functions in this module accept integers, floating-point numbers or complex numbers as arguments. They will also accept any Python object that has either a `__complex__()` or a `__float__()` method: these methods are used to convert the object to a complex or floating-point number, respectively, and the function is then applied to the result of the conversion.

Nota

For functions involving branch cuts, we have the problem of deciding how to define those functions on the cut itself. Following Kahan’s «Branch cuts for complex elementary functions» paper, as well as Annex G of C99 and later C standards, we use the sign of zero to distinguish one side of the branch cut from the other: for a branch cut along (a portion of) the real axis we look at the sign of the imaginary part, while for a branch cut along the imaginary axis we look at the sign of the real part.

For example, the `cmath.sqrt()` function has a branch cut along the negative real axis. An argument of `complex(-2.0, -0.0)` is treated as though it lies below the branch cut, and so gives a result on the negative imaginary axis:

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
    -1.4142135623730951j

But an argument of `complex(-2.0, 0.0)` is treated as though it lies above the branch cut:

    >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
    1.4142135623730951j

## Conversión a y desde coordenadas polares

Un numero complejo de Python `z` se almacena internamente usando coordenadas rectangulares o cartesianas. Esta determinado completamente por su parte real `z.real` y su parte imaginaria `z.imag`. Dicho de otra forma:

    z == z.real + z.imag*1j

Las coordenadas polares dan una alternativa a la representación de números complejos. En las coordenadas polares, un número complejo z se define por los módulos r y el ángulo de fase phi. El módulo r es la distancia desde z hasta el origen, mientras que la fase phi es el ángulo que va en contra de las agujas del reloj, medido en radianes, desde el eje positivo de las X hasta el segmento de linea que une el origen con z.

Las siguientes funciones pueden ser usadas para convertir desde coordenadas rectangulares nativas hasta coordenadas polares y viceversa.

cmath.phase(x)

  Return the phase of x (also known as the argument of x), as a float. `phase(x)` is equivalent to `math.atan2(x.imag, x.real)`. The result lies in the range [-π, π], and the branch cut for this operation lies along the negative real axis. The sign of the result is the same as the sign of `x.imag`, even when `x.imag` is zero:

      >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
      3.141592653589793
      >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
      -3.141592653589793

Nota

El módulo (valor absoluto) de un número complejo x puede ser calculado usado la función predeterminada `abs()`. No existe otra función aparte del módulo `cmath` para esta operación.

cmath.polar(x)

  Retorna la representación de x en coordenadas polares. Retorna un par `(r, phi)` donde r es el módulo de x y phi es la fase de x. `polar(x)` es equivalente a `(abs(x), phase(x))`.

cmath.rect(r, phi)

  Retorna el número complejo x con coordenadas polares r y phi. Esto es equivalente a `r*(math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)`.

## Funciones logarítmicas y de potencias

cmath.exp(x)

  Retorna e elevado a la potencia de x, donde e es la base de los logaritmos naturales.

cmath.log(x[, base])

  Returns the logarithm of x to the given base. If the base is not specified, returns the natural logarithm of x. There is one branch cut, from 0 along the negative real axis to -∞.

cmath.log10(x)

  Retorna el logaritmo en base de 10 de x. Tiene el mismo tramo que `log()`.

cmath.sqrt(x)

  Retorna la raíz cuadrada de x. Tiene el mismo tramo que `log()`.

## Funciones trigonométricas

cmath.acos(x)

  Return the arc cosine of x. There are two branch cuts: One extends right from 1 along the real axis to ∞. The other extends left from -1 along the real axis to -∞.

cmath.asin(x)

  Retorna el arcoseno de x. Este tiene los mismos tramos que `acos()`.

cmath.atan(x)

  Return the arc tangent of x. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`.

cmath.cos(x)

  Retorna el coseno de x.

cmath.sin(x)

  Retorna el seno de x.

cmath.tan(x)

  Retorna la tangente de x.

## Funciones hiperbólicas

cmath.acosh(x)

  Return the inverse hyperbolic cosine of x. There is one branch cut, extending left from 1 along the real axis to -∞.

cmath.asinh(x)

  Return the inverse hyperbolic sine of x. There are two branch cuts: One extends from `1j` along the imaginary axis to `∞j`. The other extends from `-1j` along the imaginary axis to `-∞j`.

cmath.atanh(x)

  Return the inverse hyperbolic tangent of x. There are two branch cuts: One extends from `1` along the real axis to `∞`. The other extends from `-1` along the real axis to `-∞`.

cmath.cosh(x)

  Retorna el coseno hiperbólico de x.

cmath.sinh(x)

  Retorna el seno hiperbólico de x.

cmath.tanh(x)

  Retorna la tangente hiperbólica de x.

## Funciones de clasificación

cmath.isfinite(x)

  Retorna `True` si tanto la parte imaginaria como real de x son finitas, y `False` en cualquier otro caso.

  Nuevo en la versión 3.2.

cmath.isinf(x)

  Retorna `True` si la parte real o la imaginaria de x es un infinito, y `False` en el caso contrario.

cmath.isnan(x)

  Retorna `True` tanto si la parte real o imaginaria de x es NaN, y `Falso` en cualquier otro caso.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

  Retorna `True` si los valores a y b son cercanos el uno al otro y `Falso` de otro modo.

  Que dos valores sean o no considerados como cercanos es determinado de acuerdo al valor absoluto y las tolerancias relativas.

  rel_tol es la tolerancia relativa – es el máximo valor permitido de la resta entre a y b, relativo al valor absoluto más grande de a o b. Por ejemplo, para fijar una tolerancia del 5%, usar `rel_tol=0.05`. El valor de tolerancia por defecto es `1e-09`, lo que asegura que los dos valores son los mismos en aproximadamente 9 dígitos decimales. rel_tol debe ser mayor que cero.

  abs_tol es la tolerancia mínima absoluta – útil a la hora de hacer comparaciones cercanas al cero. abs_tol debe ser al menos cero.

  Si no ocurren errores, el resultado será: `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`.

  Los valores especiales IEEE 754 de `NaN`, `inf` y `-inf` serán manejados de acuerdo al estándar de IEEE. Especialmente, `NaN` no se considera cercano a ningún otro valor, incluido `NaN`. `inf` y `-inf` solo son considerados cercanos a sí mismos.

  Nuevo en la versión 3.5.

  Ver también

  PEP 485 – Una función para probar igualdad aproximada.

## Constantes

cmath.pi

  La constante matemática π, como número de coma flotante.

cmath.e

  La constante matemática e, como número de coma flotante.

cmath.tau

  La constante matemática τ, como número de coma flotante.

  Nuevo en la versión 3.6.

cmath.inf

  Números de coma flotante de +infinito. Equivalente a `float('inf')`.

  Nuevo en la versión 3.6.

cmath.infj

  Números complejos con la parte real cero y números positivos infinitos como la parte imaginaria. Equivalente a `complex(0.0, float('inf'))`.

  Nuevo en la versión 3.6.

cmath.nan

  El valor del número de coma flotante «not a number» (NaN) . Equivalente a `float('nan')`.

  Nuevo en la versión 3.6.

cmath.nanj

  Números complejos con parte real cero y como parte imaginaria NaN. Equivalente a `complex(0.0, float('nan'))`.

  Nuevo en la versión 3.6.

Nótese que la selección de funciones es similar, pero no idéntica, a la del módulo `math`. El motivo de tener dos módulos se halla en que algunos usuarios no se encuentran interesados en números complejos, y quizás ni siquiera sepan que son. Preferirían que `math.sqrt(-1)` lance una excepción a que retorne un número complejo. Además fíjese que las funciones definidas en `cmath` siempre retornan un número complejo, incluso si la respuesta puede ser expresada como un número real (en cuyo caso el número complejo tiene una parte imaginaria de cero).

Un apunte en los tramos: Se tratan de curvas en las cuales las funciones fallan a ser continua. Son un complemento necesario de muchas funciones complejas. Se asume que si se necesitan cálculos con funciones complejas, usted entenderá sobre tramos. Consulte casi cualquier(no muy elemental) libro sobre variables complejas para saber más. Para más información en la correcta elección de los tramos para propósitos numéricos, se recomienda la siguiente bibliografía:

Ver también

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; o, Much ado about nothing’s sign bit. En Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165–211.