"cmath" -- Función matemática para números complejos
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Este modulo proporciona acceso a funciones matemáticas para números
complejos. Las funciones de este módulo aceptan números enteros,
números de coma flotante o números complejos como argumentos.
Aceptarán además cualquier objeto de Python que tenga tanto un método
"__complex__()"  o un método "__float__()" : estos métodos son usados
para convertir el objeto a un número complejo o de coma flotante,
respectivamente, y la función es entonces aplicada al resultado de la
conversión.

Nota:

  For functions involving branch cuts, we have the problem of deciding
  how to define those functions on the cut itself. Following Kahan's
  "Branch cuts for complex elementary functions" paper, as well as
  Annex G of C99 and later C standards, we use the sign of zero to
  distinguish one side of the branch cut from the other: for a branch
  cut along (a portion of) the real axis we look at the sign of the
  imaginary part, while for a branch cut along the imaginary axis we
  look at the sign of the real part.For example, the "cmath.sqrt()"
  function has a branch cut along the negative real axis. An argument
  of "complex(-2.0, -0.0)" is treated as though it lies *below* the
  branch cut, and so gives a result on the negative imaginary axis:

     >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
     -1.4142135623730951j

  But an argument of "complex(-2.0, 0.0)" is treated as though it lies
  above the branch cut:

     >>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
     1.4142135623730951j


Conversión a y desde coordenadas polares
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Un numero complejo de Python "z" se almacena internamente usando
coordenadas *rectangulares* o *cartesianas*. Esta determinado
completamente por su *parte real* "z.real``y su *parte
imaginaria*``z.imag". Dicho de otra forma:

   z == z.real + z.imag*1j

*Las coordenadas polares* dan una alternativa a la representación de
números complejos. En las coordenadas polares, un número complejo *z*
se define por los módulos *r* y el ángulo de fase *phi*. El módulo *r*
es la distancia desde *z* hasta el origen, mientras que la fase *phi*
es el ángulo que va en contra de las agujas del reloj, medido en
radianes, desde el eje positivo de las X hasta el segmento de linea
que une el origen con *z*.

Las siguientes funciones pueden ser usadas para convertir desde
coordenadas rectangulares nativas hasta coordenadas polares y
viceversa.

cmath.phase(x)

   Return the phase of *x* (also known as the *argument* of *x*), as a
   float. "phase(x)" is equivalent to "math.atan2(x.imag, x.real)".
   The result lies in the range [-*π*, *π*], and the branch cut for
   this operation lies along the negative real axis.  The sign of the
   result is the same as the sign of "x.imag", even when "x.imag" is
   zero:

      >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
      3.141592653589793
      >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
      -3.141592653589793

Nota:

  El módulo (valor absoluto) de un número complejo *x* puede ser
  calculado usado la función predeterminada "abs()". No existe otra
  función aparte del módulo "cmath" para esta operación.

cmath.polar(x)

   Retorna la representación de *x* en coordenadas polares. Retorna un
   par "(r, phi)" donde *r* es el módulo de *x* y phi es la fase de
   *x*. "polar(x) ``es equivalente a ``(abs(x), phase(x))".

cmath.rect(r, phi)

   Retorna el número complejo *x* con coordenadas polares *r* y *phi*.
   Esto es equivalente a "r*(math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)".


Funciones logarítmicas y de potencias
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cmath.exp(x)

   Retorna *e* elevado a la potencia de *x*, donde *e* es la base de
   los logaritmos naturales.

cmath.log(x[, base])

   Returns the logarithm of *x* to the given *base*. If the *base* is
   not specified, returns the natural logarithm of *x*. There is one
   branch cut, from 0 along the negative real axis to -∞.

cmath.log10(x)

   Retorna el logaritmo en base de 10 de *x*. Tiene el mismo tramo que
   "log()".

cmath.sqrt(x)

   Retorna la raíz cuadrada de *x*. Tiene el mismo tramo que "log()".


Funciones trigonométricas
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cmath.acos(x)

   Return the arc cosine of *x*. There are two branch cuts: One
   extends right from 1 along the real axis to ∞. The other extends
   left from -1 along the real axis to -∞.

cmath.asin(x)

   Retorna el arcoseno de *x*. Este tiene los mismos tramos que
   "acos()".

cmath.atan(x)

   Return the arc tangent of *x*. There are two branch cuts: One
   extends from "1j" along the imaginary axis to "∞j". The other
   extends from "-1j" along the imaginary axis to "-∞j".

cmath.cos(x)

   Retorna el coseno de *x*.

cmath.sin(x)

   Retorna el seno de *x*.

cmath.tan(x)

   Retorna la tangente de *x*.


Funciones hiperbólicas
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cmath.acosh(x)

   Return the inverse hyperbolic cosine of *x*. There is one branch
   cut, extending left from 1 along the real axis to -∞.

cmath.asinh(x)

   Return the inverse hyperbolic sine of *x*. There are two branch
   cuts: One extends from "1j" along the imaginary axis to "∞j".  The
   other extends from "-1j" along the imaginary axis to "-∞j".

cmath.atanh(x)

   Return the inverse hyperbolic tangent of *x*. There are two branch
   cuts: One extends from "1" along the real axis to "∞". The other
   extends from "-1" along the real axis to "-∞".

cmath.cosh(x)

   Retorna el coseno hiperbólico de *x*.

cmath.sinh(x)

   Retorna el seno hiperbólico de *x*.

cmath.tanh(x)

   Retorna la tangente hiperbólica de *x*.


Funciones de clasificación
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cmath.isfinite(x)

   Retorna "True" si tanto la parte imaginaria como real de *x* son
   finitas, y "False" en cualquier otro caso.

   Nuevo en la versión 3.2.

cmath.isinf(x)

   Retorna "True" si la parte real o la imaginaria de *x* es un
   infinito, y "False" en el caso contrario.

cmath.isnan(x)

   Retorna "True" tanto si la parte real o imaginaria de *x* es NaN, y
   "Falso" en cualquier otro caso.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

   Retorna "True" si los valores *a* y *b* son cercanos el uno al otro
   y "Falso" de otro modo.

   Que dos valores sean o no considerados como cercanos es determinado
   de acuerdo al valor absoluto y las tolerancias relativas.

   *rel_tol* es la tolerancia relativa -- es el máximo valor permitido
   de la resta entre *a* y *b*, relativo al valor absoluto más grande
   de *a* o *b*. Por ejemplo, para fijar una tolerancia del 5%, usar
   "rel_tol=0.05". El valor de tolerancia por defecto es "1e-09", lo
   que asegura que los dos valores son los mismos en aproximadamente 9
   dígitos decimales. *rel_tol* debe ser mayor que cero.

   *abs_tol* es la tolerancia mínima absoluta -- útil a la hora de
   hacer comparaciones cercanas al cero. *abs_tol* debe ser al menos
   cero.

   Si no ocurren errores, el resultado será: "abs(a-b) <= max(rel_tol
   * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)".

   Los valores especiales IEEE 754 de "NaN", "inf" y``-inf`` serán
   manejados de acuerdo al estándar de IEEE. Especialmente, "NaN" no
   se considera cercano a ningún otro valor, incluido "NaN". "inf" y
   "-inf" solo son considerados cercanos a sí mismos.

   Nuevo en la versión 3.5.

   Ver también:

     **PEP 485** -- Una función para probar igualdad aproximada.


Constantes
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cmath.pi

   La constante matemática *π*, como número de coma flotante.

cmath.e

   La constante matemática *e*, como número de coma flotante.

cmath.tau

   La constante matemática *τ*, como número de coma flotante.

   Nuevo en la versión 3.6.

cmath.inf

   Números de coma flotante de +infinito. Equivalente a
   "float('inf')".

   Nuevo en la versión 3.6.

cmath.infj

   Números complejos con la parte real cero y números positivos
   infinitos como la parte imaginaria. Equivalente a "complex(0.0,
   float('inf'))".

   Nuevo en la versión 3.6.

cmath.nan

   El valor del número de coma flotante "not a number" (NaN) .
   Equivalente a "float('nan')".

   Nuevo en la versión 3.6.

cmath.nanj

   Números complejos con parte real cero y como parte imaginaria NaN.
   Equivalente a "complex(0.0, float('nan'))".

   Nuevo en la versión 3.6.

Nótese que la selección de funciones es similar, pero no idéntica, a
la del módulo  "math". El motivo de tener dos módulos se halla en que
algunos usuarios no se encuentran interesados en números complejos, y
quizás ni siquiera sepan que son. Preferirían que "math.sqrt(-1)"
lance una excepción a que retorne un número complejo. Además fíjese
que las funciones definidas en "cmath" siempre retornan un número
complejo, incluso si la respuesta puede ser expresada como un número
real  (en cuyo caso el número complejo tiene una parte imaginaria de
cero).

Un apunte en los tramos: Se tratan de curvas en las cuales las
funciones fallan a ser continua. Son un complemento necesario de
muchas funciones complejas. Se asume que si se necesitan cálculos con
funciones complejas, usted entenderá sobre tramos. Consulte casi
cualquier(no muy elemental) libro sobre variables complejas para saber
más. Para más información en la correcta elección de los tramos para
propósitos numéricos, se recomienda la siguiente bibliografía:

Ver también:

  *Kahan, W:  Branch cuts for complex elementary functions; o, Much
  ado about nothing's sign bit.  En Iserles, A., and Powell, M.
  (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press
  (1987) pp165--211*.
