# 15. Floating Point Arithmetic: Issues and Limitations

Floating-point numbers are represented in computer hardware as base 2 (binary) fractions. For example, the decimal fraction

    0.125

has value 1/10 + 2/100 + 5/1000, and in the same way the binary fraction

    0.001

has value 0/2 + 0/4 + 1/8. These two fractions have identical values, the only real difference being that the first is written in base 10 fractional notation, and the second in base 2.

Δυστυχώς, τα περισσότερα δεκαδικά κλάσματα δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ακριβώς ως κλάσματα. Η συνέπεια είναι ότι, γενικά, οι δεκαδικοί αριθμοί κινητής υποδιαστολής που εισάγετε προσεγγίζονται μόνο από τους δυαδικούς αριθμούς κινητής υποδιαστολής που είναι πράγματι αποθηκευμένοι στο μηχάνημα.

Το πρόβλημα είναι πιο κατανοητό στην αρχή με βάση το 10. Θεωρήστε το κλάσμα 1/3. Μπορεί να το προσεγγίσετε ως κλάσμα βάσης 10:

    0.3

ή, καλύτερα,

    0.33

ή, καλύτερα,

    0.333

και ούτω καθεξής. Όσα ψηφία και αν είστε διατεθειμένοι να γράψετε, το αποτέλεσμα δεν θα είναι ποτέ ακριβώς το 1/3, αλλά θα είναι μια ολοένα και καλύτερη προσέγγιση του 1/3.

Με τον ίδιο τρόπο, ανεξάρτητα από το πόσα ψηφία βάσης 2 είστε διατεθειμένοι να χρησιμοποιήσετε, η δεκαδική τιμή 0,1 δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ακριβώς ως κλάσμα βάση 2. Στη βάση 2, το 1/10 είναι το κλάσμα που επαναλαμβάνεται

    0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

Σταματήστε σε οποιονδήποτε πεπερασμένο αριθμό bit και λαμβάνετε μια προσέγγιση. Στις περισσότερες μηχανές σήμερα, οι floats προσεγγίζονται χρησιμοποιώντας τα πρώτα 53 bit ξεκινώντας από το πιο σημαντικό bit και με τον παρανομαστή ως δύναμη του δύο. Στην περίπτωση του 1/10, το δυαδικό κλάσμα είναι `3602879701896397 / 2 ** 55` που είναι κοντά αλλά όχι ακριβώς ίσο με την πραγματική τιμή του 1/10.

Many users are not aware of the approximation because of the way values are displayed. Python only prints a decimal approximation to the true decimal value of the binary approximation stored by the machine. On most machines, if Python were to print the true decimal value of the binary approximation stored for 0.1, it would have to display

    >>> 0.1
    0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

That is more digits than most people find useful, so Python keeps the number of digits manageable by displaying a rounded value instead

    >>> 1 / 10
    0.1

Απλώς θυμηθείτε, παρόλο που το εκτυπωμένο αποτέλεσμα μοιάζει με την ακριβή τιμή του 1/10, η πραγματική αποθηκευμένη τιμή είναι το πλησιέστερο αναπαραστάσιμο δυαδικό κλάσμα.

Είναι ενδιαφέρον ότι υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί δεκαδικοί αριθμοί που μοιράζονται το ίδιο πλησιέστερο κατά προσέγγιση δυαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, οι αριθμοί `0.1` και `0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625` είναι όλα κατά προσέγγιση με `3602879701896397 / 2 ** 55`. Δεδομένου ότι όλες αυτές οι δεκαδικές τιμές μοιράζονται την ίδια προσέγγιση, οποιαδήποτε από αυτές θα μπορούσε να εμφανιστεί διατηρώντας παράλληλα το αμετάβλητο `eval(repr(x)) == x`.

Ιστορικά, το prompt της Python και η ενσωματωμένη συνάρτηση `repr()` θα επέλεγε αυτό με 17 σημαντικά ψηφία, `0.10000000000000001`. Ξεκινώντας με την Python 3.1, η Python (στα περισσότερα συστήματα) είναι πλέον σε θέση να επιλέξει το συντομότερο από αυτά και απλά εμφανίζει το `0.1`.

Note that this is in the very nature of binary floating-point: this is not a bug in Python, and it is not a bug in your code either. You’ll see the same kind of thing in all languages that support your hardware’s floating-point arithmetic (although some languages may not display the difference by default, or in all output modes).

For more pleasant output, you may wish to use string formatting to produce a limited number of significant digits:

    >>> format(math.pi, '.12g')  # give 12 significant digits
    '3.14159265359'

    >>> format(math.pi, '.2f')   # give 2 digits after the point
    '3.14'

    >>> repr(math.pi)
    '3.141592653589793'

Είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσουμε ότι αυτό είναι, με την πραγματική έννοια, μια ψευδαίσθηση: απλά στρογγυλεύετε την παρουσίαση της πραγματικής αξίας του μηχανήματος.

One illusion may beget another. For example, since 0.1 is not exactly 1/10, summing three values of 0.1 may not yield exactly 0.3, either:

    >>> .1 + .1 + .1 == .3
    False

Also, since the 0.1 cannot get any closer to the exact value of 1/10 and 0.3 cannot get any closer to the exact value of 3/10, then pre-rounding with `round()` function cannot help:

    >>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
    False

Though the numbers cannot be made closer to their intended exact values, the `round()` function can be useful for post-rounding so that results with inexact values become comparable to one another:

    >>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
    True

Binary floating-point arithmetic holds many surprises like this. The problem with «0.1» is explained in precise detail below, in the «Representation Error» section. See The Perils of Floating Point for a more complete account of other common surprises.

As that says near the end, «there are no easy answers.» Still, don’t be unduly wary of floating-point! The errors in Python float operations are inherited from the floating-point hardware, and on most machines are on the order of no more than 1 part in 2**53 per operation. That’s more than adequate for most tasks, but you do need to keep in mind that it’s not decimal arithmetic and that every float operation can suffer a new rounding error.

Ενώ υπάρχουν παθολογικές περιπτώσεις, για την πιο περιστασιακή χρήση της αριθμητικής κινητής υποδιαστολής, θα δείτε στο τέλος το αποτέλεσμα που περιμένετε εάν απλώς στρογγυλοποιήσετε την εμφάνιση των τελικών αποτελεσμάτων σας στον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων που περιμένετε. Το `str()` συνήθως αρκεί, και για καλύτερο έλεγχο δείτε τους προσδιοριστές μορφής της μεθόδου `str.format()` σε Format String Syntax.

Για περιπτώσεις χρήσης που απαιτούν ακριβή δεκαδική αναπαράσταση, δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε το module `decimal` που εφαρμόζει δεκαδική αριθμητική κατάλληλη για λογιστικές εφαρμογές και εφαρμογές υψηλής ακριβείας.

Μια άλλη μορφή ακριβούς αριθμητικής υποστηρίζεται από το module `fractions`, η οποία υλοποιεί την αριθμητική με βάση τους ορθολογικούς αριθμούς (έτσι οι αριθμοί όπως το 1/3 μπορούν να αναπαρασταθούν ακριβώς).

If you are a heavy user of floating point operations you should take a look at the NumPy package and many other packages for mathematical and statistical operations supplied by the SciPy project. See <https://scipy.org>.

Python provides tools that may help on those rare occasions when you really do want to know the exact value of a float. The `float.as_integer_ratio()` method expresses the value of a float as a fraction:

    >>> x = 3.14159
    >>> x.as_integer_ratio()
    (3537115888337719, 1125899906842624)

Since the ratio is exact, it can be used to losslessly recreate the original value:

    >>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
    True

The `float.hex()` method expresses a float in hexadecimal (base 16), again giving the exact value stored by your computer:

    >>> x.hex()
    '0x1.921f9f01b866ep+1'

This precise hexadecimal representation can be used to reconstruct the float value exactly:

    >>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
    True

Δεδομένου ότι η αναπαράσταση είναι ακριβής, είναι χρήσιμη για την αξιόπιστη μεταφορά τιμών σε διαφορετικές εκδόσεις της Python (ανεξαρτησία πλατφόρμας) και την ανταλλαγή δεδομένων με άλλες γλώσσες που υποστηρίζουν την ίδια μορφή (όπως Java και C99).

Another helpful tool is the `math.fsum()` function which helps mitigate loss-of-precision during summation. It tracks «lost digits» as values are added onto a running total. That can make a difference in overall accuracy so that the errors do not accumulate to the point where they affect the final total:

    >>> sum([0.1] * 10) == 1.0
    False
    >>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
    True

## 15.1. Σφάλμα Αναπαράστασης

Αυτή η ενότητα εξηγεί το παράδειγμα «0.1» λεπτομερώς και δείχνει πώς μπορείτε να εκτελέσετε μια ακριβή ανάλυση περιπτώσεων όπως αυτή μόνοι σας. Υποτίθεται ότι έχετε βασική εξοικείωση με την αναπαράσταση δυαδικής κινητής υποδιαστολής.

Το Σφάλμα αναπαράστασης (Representation error) αναφέρεται στο γεγονός ότι ορισμένα (τα περισσότερα, στην πραγματικότητα) δεκαδικά κλάσματα δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ακριβώς ως δυαδικά (βάση 2) κλάσματα. Αυτός είναι ο κύριος λόγος για τον οποίο η Python (ή Perl, C, C++, Java, Fortran, και πολλές άλλες) συχνά δεν εμφανίζουν τον ακριβή δεκαδικό αριθμό που περιμένετε.

Why is that? 1/10 is not exactly representable as a binary fraction. Almost all machines today (November 2000) use IEEE-754 floating point arithmetic, and almost all platforms map Python floats to IEEE-754 «double precision». 754 doubles contain 53 bits of precision, so on input the computer strives to convert 0.1 to the closest fraction it can of the form J/2**N where J is an integer containing exactly 53 bits. Rewriting

    1 / 10 ~= J / (2**N)

ως

    J ~= 2**N / 10

and recalling that J has exactly 53 bits (is `>= 2**52` but `< 2**53`), the best value for N is 56:

    >>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
    True

That is, 56 is the only value for N that leaves J with exactly 53 bits. The best possible value for J is then that quotient rounded:

    >>> q, r = divmod(2**56, 10)
    >>> r
    6

Since the remainder is more than half of 10, the best approximation is obtained by rounding up:

    >>> q+1
    7205759403792794

Therefore the best possible approximation to 1/10 in 754 double precision is:

    7205759403792794 / 2 ** 56

Η διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή με δύο μειώνει το κλάσμα σε:

    3602879701896397 / 2 ** 55

Λάβετε υπόψη ότι από τη στιγμή που κάναμε στρογγυλοποίηση, αυτό είναι στην πραγματικότητα λίγο μεγαλύτερο από το 1/10· αν δεν είχαμε στρογγυλοποιήσει προς τα πάνω, το πηλίκο θα ήταν λίγο μικρότερο από το 1/10. Αλλά σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να είναι ακριβώς 1/10!

So the computer never «sees» 1/10: what it sees is the exact fraction given above, the best 754 double approximation it can get:

    >>> 0.1 * 2 ** 55
    3602879701896397.0

If we multiply that fraction by 10**55, we can see the value out to 55 decimal digits:

    >>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
    1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

meaning that the exact number stored in the computer is equal to the decimal value 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625. Instead of displaying the full decimal value, many languages (including older versions of Python), round the result to 17 significant digits:

    >>> format(0.1, '.17f')
    '0.10000000000000001'

The `fractions` and `decimal` modules make these calculations easy:

    >>> from decimal import Decimal
    >>> from fractions import Fraction

    >>> Fraction.from_float(0.1)
    Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

    >>> (0.1).as_integer_ratio()
    (3602879701896397, 36028797018963968)

    >>> Decimal.from_float(0.1)
    Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

    >>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
    '0.10000000000000001'